Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
221
1
∞
=
.x∀
n
( )
.
n
Sx
2 22
11 1
nn
k kk
∞∞ ∞
=+=+ =+
∑∑∑
n
r
D
[ ]
1nn
∞
1nn
ux
∞
D
( ) ( )
1
.
n
n
Sx u x
∞
=
′′
=
∑
Пример: Мы показали, что ряд
равномерно
Следовательно его сумма непрерывна.
Другое дело, что сумму найти трудно. Возьмем
нов ряда. Их сумма равна
sinnnx
2
n
сходится
∑
чле-
Оценим предельную
абсолютную ошибку
sin
sin 1
rx r
= ≤ ≤=
( )
kn kn kn
Остаток ряда
kx
зависит от n и не зависит от .x
kx
.
Теорема 2. Если ряд из непрерывных функций равномерно сходится в
bb b
S x dx u x dx u x dx= ++ +
( ) ( ) ( )
∫∫ ∫
aa a
, то для
1
,ab D⊂
... ...
n
.
Теорема 2 справедлива и для переменного верхнего
предела
xx
S x dx u x dx a x b
( ) ( )
∫∫
aa
∞
= ≤≤
∑
n
1
n
=
.
Теорема 3. Если ряд из функций, имеющих непрерыв-
ные производные,
ряд из производных
, то
u x Sx
( ) ( )
∑
=
′
( )
∑
=
сходится в D, а
=
сходится равномерно в
222
18.3. Степенные ряды
0
n
∞
0
0,x =
0
n
∞
=
0
n
=
x
0
xx−
0
n
∞
0
0,x ≠
( )
00
,.
0
,xx=
:.
∀>
0.x =
1
nn
n
∞
18.3.1. Теорема Абеля. Интервал и радиус
сходимости
Определение. Степенным рядом называют функцио-
нальный ряд
n
.
−
0
n
.
n
Если
axx
( )
∑
n
=
то имеем ряд
∑
ax
В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды
∞
n
вида
∑
, так как они сводятся к рядам вида пер-
ax
n
вого вида подстановкой вместо
Теорема Абеля. Если степенной ряд
в точке
xx−
то он сходится абсолютно в интервале
выражения
ax
∑
=
Следствие. Если степенной ряд расходится при то он расходится
xx x
0
Область сходимости. Возможны три случая:
1) Область сходимости состоит только из одной точки
.
nx
Пример:
∑
=
n
n
.
сходится
223
а)
0: 1
nn
x N n N nx∀≠ ∃ ∀> >
0
0: 0
nn
n
x nx
∞
=
= =
∑
0x =
( )
,.
1
n
n
=
:1
x
xN nN
n
∀ ∃ ∀> <
nN>
( )
,.D = −∞ ∞
D
1
n
=
( )
1,1 .D = −
::R xxR∀<
:xx R∀>
( )
,RR−
0,R =
,R = +∞
1.R =
0
n
=
;
б) если
2) Область сходимости
∞
Пример:
∑
x
.
n
n
. Область сходимости:
D = −∞ ∞
и для
члены ряда мень-
ше сходящейся геометрической прогрессии. Значит
область сходимости
3) Область
Пример:
ограничена.
∞
n
,
x
∑
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда
называется такое число
ряд сходится,
– расходится.
Интервал
называется интервалом сходимо-
сти.
В первом примере
тьем –
во втором –
в тре-
Для определения радиуса сходимости нужно исследо-
∞
n
.
ax
вать ряд. Рассмотрим ряд
∑
n
.
224
а) Применим признак д’Аламбера к знакоположитель-
0
n
∞
11 1
nn
ua
0
n
na∀≠
0
n
n
n
aR
∞
=
∑
1
.
lim
n
n
n
R
a
→∞
=
0
n
=
0
n
∞
1
lim .
n
p
n
n
a
R
a
→∞
+
=
0
n
∞
( )
Nn
n
n
ному ряду
∑
=
u aR a
nn n
++ +
lim lim lim 1.
nn n
→∞ →∞ →∞
Тогда радиус сходимости
б) Если
.
aR
n
1
n
+
= = <
aR
n
R
n
lim .
=
→∞
n
R
a
n
a
1
+
n
, то применяя радикальный признак
Коши д’Аламбера к знакоположительному ряду
получим радиус сходимости
∞
Рассмотрим ряд
ax p
∑
n
np
, 2,3, 4,... .
=
Применяя
признак д’Аламбера к знакоположительному ряду
pn
n
, получим
∑
aR
=
Рассмотрим ряд
функция аргумента
Nn
( )
∑
ax
=
,
n
где
. Для определения области схо-
произвольная
димости применяют признак д’Аламбера.
В следующих примерах найти область сходимости
степенных рядов.
225
Примеры: 1.
0
n
n
=
( )
( )
1!
lim , ,
!
n
n
Rx
n
→∞
+
= = ∞ ∈ −∞ +∞
1
n
n
=
1
lim 1
n
n
R
n
→∞
+
= =
( )
1
n
=
( )
1
1
1
n
n
x
n
∞
=
−
=−⇒
∑
[
)
( )
( )
21
1
2
1
1
21
n
n
n
x
n
−
∞
+
=
−
−
∑
( )
( )
( )
( )
2
2
21 21
lim lim 1
21
21
nn
nn
R
n
n
→∞ →∞
++
= = =
−
−
( )
1,1x∈−
1
21
n
+
( ) ( )
( )
( )
( )
1 21
22
11
11 1
1
21 21
nn n
nn
x
nn
+−
∞∞
= =
−− −
=−⇒ =
−−
∑∑
[ ]
1,1 .x∈−
∞
x
2.
∑
,
n
сходимости
∞
x
,
∑
!
n
. На «концах» интервала
∞
:
x
1
= ⇒
1,1x∈−
1
– ряд расходится,
∑
n
– ряд сходится условно. Оконча-
.
тельно
3.
1,1 .x∈−
,
На «концах» области сходимости
∞
1
−
x
= ⇒
1
∑
n
1
=
( )
( )
дится. Окончательно
– ряд сходится,
2
n
−
.
:
– ряд схо-
226
4.
( )
1
1
,
2
n
n
n
x
n
∞
=
−
⋅
∑
1
2
n
n
+
⋅
xR−<⇒
x xx
( ) ( )
11
12 1
1
2
nn
n
n
nn
x
n
n
∞∞
= =
−−
=−⇒ =
⋅
∑∑
11
21
3
2
n
n
nn
x
n
n
∞∞
= =
=⇒=
⋅
∑∑
[
)
1, 3 .x∈−
0
,
n
n
n
ax
∞
=
∑
( )
.RR≤∞
( )
Sx
[ ]
( )
, ,.bb RR− ⊂−
n
=
n
+⋅
R
( )
lim 2.
= =
n
→∞
12
n
1
1 2, 2 1 2, 1 3
− < − < −< −< <
.
– ряд сходится услов-
но;
тельно
– ряд расходится. Оконча-
18.3.2. Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
(*)
имеющий радиус сходимости
Сумма ряда
есть функция определенная внутри интервала
сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд
сходится.
Лемма 1. Степенной ряд равномерно сходится в любом
интервале
Лемма 2. Степенной ряд, составленный из производ-
ных ряда (*)
∞
∑
na x
n
−
11n
(**)
227
имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*).
.R
( )
0
1
.
1
n
n
x Sx
x
∞
=
= =
−
∑
( )
Sx
1.x =
1x <
00
nn
aa
∞∞
∑∑
( )
( )
( )
1
01
nn
nn
nn
ax nax S x
∞∞
−
= =
′
′
= =
∑∑
Если составить ряд из производных ряда (**), то у
него тоже радиус сходимости равен
Таким образом
все степенные ряды, полученные последовательным
дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.
Свойства. 1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
Пример:
Функция
рывна всюду, за исключением точки
ляется суммой ряда только при
(см. пример в
п. 18.3.1.).
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости и при этом
xx
S x dx a x dx
∫∫
= =
( )
= =
n
n
ax
n
n
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости и при этом
непре-
Но она яв-
1
+
n
.
1
+
.
228
Действия над степенными рядами. Если
1
R
0
,
n
n
n
ax
∞
=
∑
2
R
0
n
=
,αβ
0 00
nn n
n nn
= = =
{ }
12
min ,x RR≤
{ }
12
min ,x RR≤
[ ]
( )
11
00
,, ,;
xx
nn
nn
nn
a t dt a t dt x R R
∞∞
= =
αα
= α ⊂−
∑∑
∫∫
1
1
01
,.
nn
nn
nn
ax nax x R
∞∞
−
= =
′
= ≤
∑∑
( )
fx
– радиус
сходимости ряда
∞
ряда
n
,
bx
∑
n
∞ ∞∞
ax bx a b x
α +β = α +β
∑ ∑∑
n n nn
– числа, то
– радиус сходимости
( )
;
∞∞ ∞
nn n
ax bx ab x
∑ ∑ ∑∑
n n knk
0 0 00
n n nk
= = = =
=
n
;
18.4. Разложение функций в степенные ряды
18.4.1. Ряд Тейлора
Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное
число раз дифференцируема в интервале сходимости.
Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утвер-
ждать, что функция
является суммой некоторого
ряда?
,
,
−
229
Определение. Рядом Тейлора функции
( )
fx
0
x
0
n
∞
=
( )
0
,xx−
n
a
( )
fx
0
x
( )
!
fx
( )
fx
( )
0
n
( )
fx
( )
n
Px
( )
0
k
=
( ) ( ) ( )
.
nn
R x fx Px= −
ности точки
называется степенной ряд
fx a x x
= −
( )
∑
( )
n
n
0
в окрест-
относительно разности
рого
ее производных в точке
выражаются через значения функции
:
n
( )
an=
n
0
18.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора
При каких условиях ряд Тейлора для функции
n
∞
fx
( )
0
xx
−
n
!
( )
∑
=
сходится и его сумма равна
Обозначим
– многочлен n-й степени (частич-
ная сумма ряда Тейлора)
k
n
fx
( )
Px xx
= −
( )
n
∑
0
!
k
Остаточный член ряда
коэффициенты кото-
и
n
0
?
k
.
( )
0
230
Сходимость ряда к функции
( )
fx
( ) ( )
lim
n
n
Px fx
→∞
=
( ) ( )
( )
( )
nn
nn
−= =
( )
n
Rx
( )
fx
( )
Px
( )
fx
n
( )
!
n
23
32
( )
1x −
0
1x =
( )
1
x
( ) ( ) ( )
1
1 2 12 10, 1 12
x
f xf
=
′′ ′′′
=−+ = =
( )
( ) ( )
1 0 4,5,...
k
fk= =
( ) ( )
( )
23
23
3 2 1515121.xx x x x x−+−+ =−+−+−+−
( )
fx
0
x
или
означает, что
lim lim 0.
fx Px R x
→∞ →∞
– ошибка аппроксимации функции
.
n
Пусть
ренцируем
нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов
= + − ++ −
fx fx f x xx x x
( )
Пример. Разложить функцию
по степеням
Решение.
=− =−+ =
1 1, 1 1 2 6 5,
f f xx
( ) ( )
18.4.3. Остаточный член ряда Тейлора Теорема. Если
тервала, содержащего точку
– многочлен n-й степени. Продиффе-
раз. Последующие производные равны
( ) ( )( )
′
0 00 0
.
.
′
. Тогда
во всех точках некоторого ин-
... .
fx x x x=−+ − +
( )
2
=
, имеет производную
многочленом
n
fx
( )
0
( )
,
n