Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
261
21.2. Отыскание оригинала по изображению
si
()
()
n
Mp
Mp
()
m
Mp
()
n
Mp
1
n
k
()
pt
F pe
а) Теорема обращения и ее следствие. Нахождение
оригинала с помощью теории вычетов
Теорема обращения преобразования Лапласа. Если
f(t) – оригинал, являющийся дополнительно на каждом
отрезке кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной
функцией, и s
– его показатель роста, то для всех точек
0
t, в которых f(t) непрерывна,
si
+∞
f(t) =
1
∫
2
i
π
−∞
pt
() , ;
F p e dp s s
>
интеграл берется по прямой s = const.
С помощью теоремы обращения можно доказать
следующую теорему.
Теорема. Любая правильная рациональная дробь F(p) =
m
=
, где
и
– многочлены степе-
ней m и n соответственно (m < n), является изображением некоторого оригинала, который можно найти по
формуле
pt
f t F pe
=
( ) Res [ ( ) ]
∑
pp
=
k
=
;
вычеты берутся по всем особым точкам функции
.
б) Нахождение оригинала с помощью таблицы и
свойств преобразования Лапласа
В основе этого метода нахождения оригинала ле-
жит применение свойств изображений к известному
0
262
изображению более простого оригинала в процессе по-
()
()
n
Mp
Mp
()
m
Mp
()
n
Mp
A
pa
A
∈≥
2
2
, 4 0.
Bp C
bc
p bp c
+
−<
++
A
pa
at
Ae
1
k
At
−
22
24
Bp C Bp C
bb
pc
++
следовательного его преобразования в заданный оригинал. Особо отметим, что в случае, когда изображение
является правильной рациональной дробью, т. е.
F(p) =
, где
и
– многочлены
m
степеней m и n соответственно (m < n), можно использовать возможность разложения F(p) в сумму более простых слагаемых. Приведем соответствующую теорему.
Теорема. Каждая правильная рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде
суммы элементарных дробей четырех видов:
I.
III.
IV.
II.
.
−
+
Bp C
2
++
p bp c
( )
, , 2.
k Nk
k
pa
−
( )
2
−< ∈ ≥
b c k Nk
, 4 0, , 2.
k
Найдем оригиналы для дробей первых трех видов,
используя свойства линейности и смещения.
÷
−
;
pa
−
( )
в дроби III сначала выполним преобразования
=
p bp c
++
+ +−
k
2
( 1)!
k
at
Ae
÷
;
−
263
и введем обозначения
2
,.
24
bb
= −=ω
( )
( )
( ) ( )
2 22
22
22
22
()
()
.
Bp C Bp C B p a C Ba
p bp c
pa pa
p a C Ba
B
pa pa
+ + + +−
= = =
++
+ +ω + +ω
+−ω
=⋅ +⋅
ω
+ +ω + +ω
Bp C C Ba
−−
+−
( ) ( 1)
01 1
nn
nn
−
[ ] ()Ly ft=
01 1
nn
−
( ) ( ), ( ) ( ).yt Y p f t F p÷÷
Получим
Отсюда
ac
2
at at
cos sin .
Be t e t
2
++
p bp c
÷ ω+ ω
ω
21.3. Дифференциальные уравнения и системы.
Решение операторным методом
Уравнение
+ ++ + = =
a y ay a y a y f t y yt
... ( ), ( )
′
−
запишем кратко
,
( ) ( 1)
nn
= + ++ +
[ ] ...
Ly ay ay a y a y
где
ный дифференциальный оператор с постоянными ко-
эффициентами, а функция f(t) – оригинал. Обозначим
−
′
– линей-
264
Тогда по свойству дифференцирования оригинала
( ) ( ) (0),y t pY p y
′
÷−
2
( ) 1 ( 1)
( ) ( ) (0) ... (0).
nnn n
y t pY p p y y
−−
÷ − −−
0
−−
1
... [ ( ) (0)] ( ) ( )
nn
a pYp y aYp Fp
−
+ −+ =
( )
≡
1
01 1
... ( )
nn
nn
ap ap a p a Lp
−
−
+ ++ + =
′′ ′
( ) ( ) (0) (0),y t p Y p py y
÷ −−
---------------------------------
Применяя преобразование Лапласа к обеим частям
уравнения, получим
nn n
[ ( ) (0) ... (0)] ...
a pY p p y y
1 ( 1)
− −− +
или
nn
ap ap a p a Y p Gp Fp
+ ++ + + =
01 1
Здесь G(p) – многочлен, определяемый начальными
условиями y(0), y′(0), …, y
нулевые, G(p)
1
−
... () () ().
nn
−
(n-1)
(0). Если все эти условия
0. Обозначим
,
тогда
−
Fp Gp
LpYp Gp Fp Yp
()() () (); () .
+= =
() ()
Lp
()
Уравнение решено в изображениях. Остается пе-
рейти к оригиналу y(t).
Замечание. В случае нулевых начальных условий
можно избежать нахождения изображения для правой
265
части f(t). В этом случае G(p) = 0 и
()
() .
()
Fp
Yp
Lp
=
1
()Lp
0
0
Если
найти оригинал h(t) для
можно найти как свертку оригиналов h(t) и f(t) (используем свойство 9 изображений):
t
() ( ) ( )
yt h f t d= τ −τ τ
∫
Эта формула называется формулой Дюамеля.
или
, то оригинал дляY(p)
t
() ()( )
yt f ht d= τ −τ τ
∫
.
266
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................................ 3
1.1. Матрицы. Основные определения ........................... 3
1.2. Операции над матрицами .......................................... 4
1.3. Определители ............................................................. 6
1.4. Обратная матрица ...................................................... 8
1.5. Ранг матрицы .............................................................. 8
1.6. Решение системы n линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными ............................................ 9
1.7. Системы m линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными. Фундаментальная
система решений ............................................................. 14
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ............................................ 18
2.1. Понятие о векторе .................................................... 18
2.2. Операции над векторами в координатной
форме ............................................................................... 19
2.3. Скалярное произведение векторов ......................... 21
2.4. Векторное произведение векторов ......................... 23
2.5. Смешанное произведение трех векторов ............... 25
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .......................... 26
3.1. Прямая на плоскости ............................................... 26
3.2. Плоскость в декартовой системе
координат ......................................................................... 29
3.3. Прямая в пространстве ............................................ 33
3.4. Взаимное расположение плоскости и прямой ....... 34
4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ......................... 35
4.1. Понятие функции. Способы задания ...................... 35
4.2. Основные характеристики поведения
функций. Начальный этап исследования функции ...... 37
267
4.3. Сложная функция. Обратная функция ................... 38
4.4. Основные элементарные функции ......................... 39
4.5. Классификация функций ......................................... 40
4.6. Параметрическое задание функций ........................ 40
4.7. Полярная система координат .................................. 42
4.8. Простейшие методы построения графиков
в декартовой системе координат ................................... 43
5. ПРЕДЕЛЫ.................................................................... 44
5.1. Числовая последовательность и ее предел ............ 44
5.2. Предел числовой функции ...................................... 47
5.3. Замечательные пределы .......................................... 49
5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Сравнение бесконечно малых функций ....... 50
6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ................................... 52
6.1. Непрерывность функции в точке
и на множестве ................................................................ 52
6.2. Точки разрыва функции и их классификация ....... 52
6.3. Действия над непрерывными функциями.............. 53
6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке ........ 54
7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ ............................................................... 55
7.1. Производная и дифференциал ................................ 55
7.2. Правила дифференцирования ................................. 56
7.3. Таблица производных элементарных
функций ........................................................................... 57
7.4. Производные и дифференциалы высших
порядков ........................................................................... 58
7.5. Логарифмическое дифференцирование.
Производная степенно-показательной функции .......... 61
7.6. Дифференцирование неявно заданных функций .. 61
268
7.7. Дифференцирование функций, заданных
параметрически ............................................................... 62
7.8. Основные теоремы дифференциального
исчисления ....................................................................... 62
7.9. Правило Лопиталя раскрытия
неопределенностей ......................................................... 63
7.10. Формулы Тейлора и Маклорена ........................... 65
7.11. Разложение по формуле Маклорена
некоторых элементарных функций ............................... 66
8. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ ............................... 69
8.1. Условия возрастания и убывания функций ........... 69
8.2. Условия выпуклости функций ................................ 70
8.3. Точки перегиба ......................................................... 71
8.4. Экстремумы функции .............................................. 72
8.5 Асимптоты функции ................................................. 74
8.6. Построение графиков .............................................. 75
9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........................... 76
9.1. Первообразная функции и неопределенный
интеграл .......................................................................... 76
9.2. Основные свойства неопределенного
интеграла ......................................................................... 76
9.3. Основные правила интегрирования ....................... 77
9.4. Таблица основных неопределенных
интегралов ....................................................................... 77
9.5. Основные методы интегрирования ........................ 79
9.6. Интегрирование простейших рациональных
дробей .............................................................................. 79
9.7. Интегрирование рациональных дробей ................. 80
9.8. Интегрирование тригонометрических
выражений ....................................................................... 82
269
9.9. Интегрирование иррациональных функций .......... 85
9.10. Тригонометрические подстановки ....................... 86
10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................. 87
10.1. Интегральная сумма.
Понятие определенного интеграла ................................ 87
10.2. Основные свойства определенного
интеграла ......................................................................... 89
10.3. Основные методы вычисления
определенного интеграла ............................................... 90
10.4. Несобственные интегралы .................................... 91
10.5. Геометрические и механические
приложения определенного интеграла ......................... 95
11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ...... 100
11.1. Функции двух переменных ................................. 101
11.1.1. Основные понятия ............................................ 101
11.1.2. Предел функции ................................................ 102
11.1.3. Непрерывность функции двух
переменных ................................................................... 103
11.2. Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных ............................................... 104
11.2.1. Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование ............................. 104
11.2.2. Частные производные высших порядков ........ 107
11.2.3. Дифференцируемость и полный
дифференциал функции ............................................... 108
11.2.4. Применение полного дифференциала
к приближенным вычислениям ................................... 109
11.2.5. Дифференциалы высших порядков ................. 110
11.2.6. Производная сложной функции.
Полная производная ..................................................... 110
270
11.2.7. Дифференцирование неявно заданной
функции ......................................................................... 111
11.3. Касательная плоскость и нормаль
поверхности ................................................................... 112
11.4. Экстремум функции двух переменных .............. 113
11.4.1. Основные понятия ............................................ 113
11.4.2. Необходимые и достаточные условия
экстремума ..................................................................... 114
11.4.3. Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области ..................................... 115
12. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ..................................... 116
12.1. Объем цилиндрического тела.
Двойной интеграл ......................................................... 116
12.2. Замена переменных в двойном интеграле ......... 122
12.3. Двойной интеграл в полярных координатах ..... 122
12.4. Приложения двойных интегралов ...................... 124
13. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ...................................... 125
13.1. Масса неоднородного тела.
Тройной интеграл ......................................................... 125
13.2. Вычисление тройных интегралов ....................... 127
13.3. Приложения тройных интегралов ...................... 129
14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ...................... 131
14.1. Криволинейный интеграл по длине
(1-го рода) ...................................................................... 131
14.2. Криволинейный интеграл по координатам
(2-го рода) ...................................................................... 135
14.3. Криволинейный интеграл по замкнутому
контуру ........................................................................... 138
14.4. Формула Грина ..................................................... 139
14.5. Условие независимости криволинейного
интеграла 2-го рода от пути интегрирования ............. 139