Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
101
11.1. Функции двух переменных
D
( )
;xy
( )
;xy D∈
zR∈
D
( )
,z f xy=
:fD R→
x
z
( )
D Df
z
( )
( )
,z f xy=
( )
;xy D∈
( )
Oxy
D
11.1.1. Основные понятия
Пусть дано множество
. Соответствие f, которое каждой паре чисел
сопоставляет одно и только одно число
, называется функцией двух переменных, опреде-
ленной на множестве
вается в виде
,y называются независимыми переменными (аргу-
ментами), а
Множество
ления функции. Множество значений, принимаемых
в области определения, называется
областью изменения этой функции, обозначается
или E.
Ef
Функцию
мать как функцию точки
кости
быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некото-
рыми линиями. Линию, ограничивающую область,
называют границей области. Точки области, не лежа-
щие на границе, называются внутренними. Область,
состоящая из одних внутренних точек, называется от-
крытой. Область с присоединенной к ней границей
называется замкнутой, обозначается
замкнутой области является круг с окружностью.
– зависимой переменной (функцией).
=
. В частности, областью определения может
упорядоченных пар чисел
со значениями в R, и записы-
или
называется областью опреде-
, где
координатной плос-
;M xy
. При этом
, можно пони-
. Примером
102
Например, функция
22
1z xy=−−
+≤
( )
1R =
( )
,z f xy=
( )
000
A
( )
,z f xy=
0
xx→
0
yy→
( )
( )
000
;;M xy M x y→
0ε>
0δ>
0
xx≠
0
yy≠
( ) ( )
22
00
xx yy− + − <δ
x
y
z
1 1
1
определения круг
полусферой с центром в точке
.
22
1xy
и изображается верхней
имеет областью
и радиусом
0;0; 0O
11.1.2. Предел функции
Пусть функция
окрестности точки
самой этой точки. Число
ции
самое, при
существует
и удовлетворяющих неравенству
при
определена в некоторой
, кроме, быть может,
;M xy
называется пределом функ-
и
такое, что для всех
(или, что то же
), если для любого
,
103
выполняется неравенство
( )
,f xy A− <ε
( )
0
0
lim ,
xx
yy
A f xy
→
→
=
( )
0
lim
MM
A fM
→
=
M
0
M
( ) ( ) ( )
0 0 0 00
0
lim , lim lim , lim lim , .
xx xx yy yy xx
yy
f xy f xy f xy
→ →→ →→
→
= =
0ε>
( )
000
( )
;M xy
0
M
( )
,z f xy=
ε
( )
,z f xy=
( )
fM
( )
000
( )
fM
. Записывают
или
.
Из определения следует, что если предел существует,
то он не зависит от пути, по которому
стремится к
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число
от
сти
меньше, чем на
, найдется такая δ – окрестность точки
, что во всех ее точках
;M xy
, отличных
, аппликаты соответствующих точек поверхно-
отличаются от числа A по модулю
.
11.1.3. Непрерывность функции двух переменных
Функция
рывной в точке
(или
;M xy
) называется непре-
, если она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б) имеет предел
lim
MM
→
0
,
104
в) этот предел равен значению функции z в точке
0
M
( )
( )
( )
( )
0
0
00
lim , ,
xx
yy
fxy fx y
→
→
=
( )
,z f xy=
( )
,z f xy=
x
y
z
x
z∆
( ) ( )
,,
z
( ) ( )
,,
y
z f xy y f xy∆ = +∆ −
т. е.
lim
MM
→
0
fM fM
=
0
или
.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой
области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции
в точке), называются точками разрыва этой функции.
Точки разрыва
могут образовывать целые
линии разрыва.
11.2. Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных
11.2.1. Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование
Пусть задана функция
. Так как x и y –
независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной
чение
неизменным. Тогда z получит приращение,
которое назовем частным приращением
значается
. Итак
приращение x∆, сохраняя зна-
по x и обо-
,
z f x xy f xy∆ = +∆ −
x
Аналогично получаем частное приращение
.
по y:
.
105
Полное приращение z∆ функции z определяется ра-
( ) ( )
,,z f x xy y f xy∆ = +∆ +∆ −
( ) ( )
00
,,
lim lim
x
xx
f x xy f xy
z
xx
∆→ ∆→
+∆ −
∆
=
∆∆
( )
,z f xy=
( )
;M xy
xx
zf
zf
xx
∂∂
′′
∂∂
x
( )
000
( )
0
00
,,
xx
M
f xy f
′′
( )
,z f xy=
( ) ( )
,,
yy
∆∆
( )
x
венством
.
Если существует предел
,
то он называется частной производной функции
в точке
по переменной x и обо-
значается одним из символов:
Частные производные по
значаются символами
,,,
в точке
.
Аналогично определяется и обозначается частная
производная от
′
= =
lim lim
z
y
∆→ ∆→
yy
z
∆
y
00
по переменной y:
f xy y f xy
+∆ −
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как
производная функции одной из независимых переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные
функции
находятся по формулам и по прави-
,f xy
лам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно
или y считаются по-
стоянной величиной).
.
;M xy
обо-
.
106
Геометрический смысл частных производных
( )
z f xy
( )
0
,z f xy=
0
yy=
( )
f xy
′
( )
0
,z f xy=
( )
( )
000 00
;; ,M xyfxy
( )
f xy
′
x
y
z
O
0
x
0
y
α
β
0
M
функции двух переменных
Графиком функции
поверхность. График функции
пересечения этой поверхности с плоскостью
Исходя из геометрического смысла производной для
функции одной переменной, заключаем, что
, tg
00
x
тельной, проведенной к кривой
, где α – угол между осью Ox и каса-
= α
=
является некоторая
,
есть линия
в точке
.
Аналогично
y
.
, tg
00
= β
.
107
11.2.2. Частные производные высших порядков
( ) ( )
,,
,
f xy f xy
xy
∂∂
∂∂
( )
;xy D∈
( )
2
2
2
,
xx
x
zz
z f xy
xx
x
∂∂ ∂
′′ ′′
= = =
∂∂
∂
2
( )
2
,
yx yx
zz
z f xy
y x yx
∂∂ ∂
′′ ′′
= = =
∂ ∂ ∂∂
( )
2
2
2
,
yy
y
zz
z f xy
yy
y
∂∂ ∂
′′ ′′
= = =
∂∂
∂
3
2
,
xy
z
z
xy
∂
′′
∂∂
Частные производные
называются
частными производными первого порядка. Их можно
рассматривать как функции от
. Эти функции
могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они
определяются и обозначаются следующим образом:
,
( )
;
;
;
.
∂∂ ∂
zz
= = =
∂ ∂ ∂∂
x y xy
′′ ′′
z f xy
xy xy
Аналогично определяются частные производные 3-го,
4-го и высших порядков.
Частная производная второго или более высокого
порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Так, например,
.
Теорема (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные
108
одного порядка, отличающиеся лишь порядком диффе-
( )
,z f xy=
22
zz
∂∂
( )
,z f xy=
( )
;M xy
M
( ) ( )
,,z f x xy y f xy∆ = +∆ +∆ −
( )
,z f xy=
( )
z Ax By x y∆= ∆+ ∆+α∆+β∆
( )
,0
( )
,0
0x∆→
0y∆→
( )
x∆
dz
dz A x B y= ∆+ ∆
ренцирования, равны между собой.
В частности, для
11.2.3. Дифференцируемость и полный
дифференциал функции
Пусть функция
окрестности точки
щение функции в точке
Функция
в точке
точке можно представить в виде:
где
Сумма первых двух слагаемых представляет собой
главную часть приращения функции.
Главная часть приращения функции
нейная относительно
дифференциалом этой функции и обозначается симво-
лом
;M xy
xyα=α ∆ ∆ →
.
:
называется дифференцируемой
, если ее полное приращение в этой
,
имеем:
определена в некоторой
. Составим полное прира-
:
xyβ=β ∆ ∆ →
и y∆, называется полным
.
=
∂∂ ∂∂
yx xy
.
,
при
.
, ли-
,z f xy=
,
109
Выражения
Ax∆
By∆
x
x dx∆=
y dy∆=
dz Adx Bdy= +
( )
,z f xy=
( )
,
zz
xy
∂∂
∂∂
zz
AB
xy
∂∂
∂∂
( )
x
z
′
z
′
( )
zz
dz dx dy
xy
∂∂
= +
∂∂
( )
z dz∆≈
ренциалами. Для независимых переменных
лагают
Теорема (необходимое условие дифференцируемости
функции). Если функция
ема в точке
и
,
;M xy
называют частными диффе-
. То есть
.
дифференциру-
, то она непрерывна в этой точке,
и y по-
имеет в ней частные производные
,
= =
Теорема (достаточное условие дифференцируемости
функции). Если функция
ные частные производные
она дифференцируема в этой точке и ее полный диффе-
ренциал выражается формулой:
11.2.4. Применение полного дифференциала
к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции
следует, что при достаточно малых
место приближенное равенство:
.
имеет непрерыв-
,z f xy=
и
в точке
y
.
x∆
.
, причем
, то
;M xy
,z f xy=
и y∆ имеет
110
Т. к. полное приращение
( ) ( )
,,z f x xy y f xy∆ = +∆ +∆ −
( ) ( ) ( ) ( )
xy
′′
( )
,z f xy=
2 22
22 2
22
2
z zz
d z dx dxdy dy
xy
xy
∂ ∂∂
=++
∂∂
∂∂
2
2
d z dx dy z
xy
∂∂
= +
∂∂
n
n
d z dx dy z
xy
∂∂
= +
∂∂
( )
,z f xy=
y
( ) ( )
( ) ( )
( )
,z f xt yt=
t
это равенство можно переписать в виде:
f x xy y f xy f xy x f xy y
Этой формулой пользуются в приближенных расчетах.
11.2.5. Дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал функции называют также
дифференциалом первого порядка.
Пусть функция
изводные второго порядка. Дифференциал второго по-
рядка определяется по формуле:
Символически это записывается так:
В общем случае:
11.2.6. Производная сложной функции.
Полная производная
Пусть
, каждая из которых является функцией независимой
переменной
ция
ной независимой переменной
промежуточные переменные.
, ,, ,
+∆ +∆ ≈ + ∆ + ∆
имеет непрерывные про-
.
.
– функция двух переменных x и
. В этом случае функ-
; переменные x и y –
:,t x xt y yt= =
является сложной функцией од-
,
.
.