Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
11
2. Решение системы находится по формулам Крамера:
∆
∆
∆
∆
∆
( 1,2,... )jn=
A
123
1 23
123
32 4 6
31
25 4 3
xxx
x xx
xx x
+−=−
− +=−
−+=
32 4
1 31
2 54
A
−
= −
−
1
2
3
x
Xx
x
=
6
1
3
B
−
= −
3 2 46
1 311
2 5 43
A
− −
=−−
−
23
3 2 4 III 5 3 0
det 1 3 1 1 3 1 1
2 5 4 4 II 2 7 0
AA
−+ −
=− = − =⋅=
− −⋅ −
1
x∆=
где
– определитель матрицы A;
,
1
x∆=
2
2
, ....,
x∆=
n
n
,
j
–
определитель матрицы, полученной из матрицы A за-
меной j-го столбца на столбец свободных членов.
3. Метод Гаусса заключается в приведении матри-
к трапецевидному виду (прямой ход) и, затем,
цы
последовательного вычисления вектора неизвестных
(обратный ход метода Гаусса).
Пример: Рассмотрим систему алгебраических уравнений
.
Матрица системы и матрицы-столбцы неизвест-
ных и свободных членов имеют вид
,
,
.
Расширенная матрица имеет вид
.
Определитель матрицы A равен
12
53
27
= −
(5 7 ( 2) ( 3)) 29 0=− ⋅ −− ⋅− =− ≠
rang rangAA=
21
21
24
(1) (24 (5)(4)) 12
54
A
+
−
=− =− ⋅ −− ⋅− =
−
13
13
13
(1) 1(5) 2(3) 1
25
A
+
−
=− = ⋅− − ⋅− =
−
( 1)
23
+
−
−
.
Следовательно rang A = 3. Ранг расширенной мат-
рицы не может быть больше 3. Значит
т.е. по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
а) Найдем решение системы с помощью обратной
матрицы. Вычислим алгебраические дополнения матрицы A:
31
−
11
11
54
−
+
(1) 341(5) 7
A
=− =−⋅ − ⋅− =−
.
24
31
−
11
24
34
+
24
34
+
11
−
( )( )
−
−
31
+
( 1) 2 1 3 4 10
A
=− = ⋅−− − =−
31
12
+
( 1) (1 4 2 1) 2
A
=− =−⋅−⋅ =−
12
22
( 1) 3 4 2 ( 4) 20
A
=− = ⋅ − ⋅− =
22
32
( 1) (3 1 1 ( 4)) 7
A
=− =− ⋅ −⋅− =−
32
,
23
25
−
32
23
+
( 1) 3 5 2 2 19
A
=− =− ⋅− − ⋅ =
( )
( )
13
33
−−
=−− −
1
7 12 10 6 0 0
11
2 20 7 1 29 1
29 29
1 19 11 3 58 2
X AB
−
− −−
= =− − − ⋅− =− − =
−−
1
0x =
2
1x =
3
2x =
1 31 0
−−
∆
∆
∆
1 311
=−−
13
−
32
33
+
( 1) 3( 3) 1 2 11
A
=− = − −⋅ =−
Обратная матрица имеет вид
−
A
2 20 7
29
1 19 11
7 12 10
1
1
Получим решение системы
.
−
Итак,
,
,
.
б) Найдем решение методом Крамера
62 4
∆=− − =
1
3 54
−
32 6
1 3 1 58
∆= − −=−
3
2 53
−
−
,
.
264
−−
1 1 1 29
∆= − =−
2
23 4
Решение системы
1
,
1
0x∆= =
2
,
2
1x∆= =
3
3
в) Применим метод Гаусса к решению системы.
Для этого преобразуем расширенную матрицу к трапецивидному виду (прямой ход метода Гаусса).
− −
3 2 46
A
2 5 43
−
1 311
− −
~
2 5 43 2
− −⋅
3 2 46 3II
− − −⋅
;
.
2x∆= =
~
14
1 311
( )
131 1
01 2 5
0 0 29 58
: 29
− −
−−
−
1 23
23
3
31
25
2
x xx
xx
x
− +=−
+=
=
1 23
23
3
13
52
2
x xx
xx
x
=−+ −
= −
=
3
2x =
2
5 22 1x =−⋅=
1
1 31 2 0x =−+⋅− =
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
... ,
... ,
............................................
... .
nn
nn
m m mn n m
ax ax ax b
ax ax ax b
ax a x ax b
+ ++ =
+ ++ =
+ ++ =
0
i
b =
i
b
− −
~
0 1 25
0 11 7 3 11 II
~
−− − ⋅
1 311
− −
0 1 25 , где , , номер строки
0012
~
В результате система приняла вид
I II III
~
−
.
или
Теперь можно последовательно получить значения
неизвестных, проделав обратный ход метода Гаусса:
,
,
1.7. Системы m линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными. Фундаментальная
система решений
Общий вид системы m линейных алгебраических
уравнений с n неизвестными:
У однородной системы все
ной – хотя бы один свободный член
; у неоднород-
отличен от нуля.
Матричная запись системы имеет вид
AX=B,
.
15
где A – матрица системы, составленная из коэффициен-
12
, ,...
n
xx x
12
, ,...
m
bb b
12
m m mn
1
2
n
x
x
X
x
=
m
11 12 1
1
21 22 2 2
12
...
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m
m m mn
aa a
b
aa ab
A
b
aa a
=
оо чн
XX X= +
оо
X
чн
X
тов при неизвестных, X и B – матрицы-столбцы из неизвестных
и свободных членов
:
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
=
A
... ... ... ...
aa a
...
n
...
n
;
;
...
Расширенная матрица системы:
По теореме Кронекера-Капелли система совместна
(имеет решение), если
rang rangA Ar= =
рассмотрен в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим
случай r < n.
Общее решение системы линейных алгебраиче-
ских уравнений (СЛАУ) имеет вид
,
где
– общее решение системы однородных линей-
ных алгебраических уравнений (СОЛАУ),
либо частное решение системы неоднородных линей-
ных алгебраических уравнений (СНЛАУ).
В общем случае, если существует хотя бы одно
ненулевое решение СОЛАУ, то имеем бесконечное
множество решений. Число линейно независимых решений системы равно p = n – r. Линейно-независимые
b
1
b
2
B
=
.
b
.
. Случай r = n
– какое-
16
решения образуют фундаментальную систему реше-
12
, ,...,
p
XX X
11 2 2
... ,
pp
X CX CX C X= + ++
,...,
CC−
A
11 1 2
221 2
12
( , ,..., )
( , ,..., )
.....................................
( , ,..., ).
rr n
rr n
r rr r n
x xx x x
x xx x x
x xx x x
++
++
++
=
=
=
12
, ,...,
rr n
xx x
++
12
, ,..,
r
xx x
...
10 0
01 0
00 1
rr n
xx x
ний:
.
Любое решение СОЛАУ можно получить из линейной комбинацией этих решений:
где
1
про-
p
звольные постоянные.
Для получения фундаментальной системы решений необходимо преобразовать расширенную матрицу
с помощью элементарных преобразований таким
образом, чтобы в левом верхнем углу был минор r-го
порядка, не равный нулю. После этого, решая систему,
выражаем r базисных неизвестных через p = n – r сво-
бодных неизвестных
Задавая свободным неизвестным
произвольные линейно независимые значения и опре-
деляя базисные неизвестные
, получаем фун-
даментальную систему решений. При решении удобно
использовать метод Гаусса. Свободным неизвестным
обычно присваивают значения 0 и 1.
12
++
... ... ... ...
17
Пример: Решить однородную систему:
++−=
12 4 3 1 2 4 3
35 6 4 3 0 1 6 5
~~
4 5 2 3 4 0 3 18 15 3
3 8 24 19 3 0 2 12 10 2
I
A
I II
I II
−−
− −⋅ − −
=
− −⋅ − − −⋅
− −⋅ − +⋅
−−
{
234
++−=
+−=
3
x
4
x
1
x
2
x
{
134
2 34
8 7,
xxx
x xx
= −
=−+
2 4 3 0,
xxxx
++−=
1234
3 5 6 4 0,
xx xx
++− =
1234
4 5 2 3 0,
xx xx
+−+=
1234
3 8 24 19 0.
xx x x
12 3 4
Преобразуем матрицу системы с помощью элементарных преобразований к трапецевидной форме
(прямой ход метода Гаусса)
1 2 4 3 124 3
0 1 6 5 ( 1) ~ 0 1 6 5
− − ⋅− −
~
0 0 0 0 000 0
0 0 0 0 000 0
Ранг матрицы системы равен 2.
После преобразования система приняла вид
2 4 3 0,
xxxx
1234
Примем за свободные неизвестные
базисные неизвестные примем
зисные неизвестные через свободные (обратный ход
метода Гаусса)
6 5 0.
xxx
и
.
и
, а за
. Выразим ба-
6 5.
18
Полагая
3
1x =
4
0x =
1
8x =
2
6x = −
3
0x =
4
1x =
1
7x = −
2
5x =
1
2
11 2 2
X CX CX= +
a
b
c
a
b
a
b
ab c+=
В случае
,
,
, получим
, имеем
,
,
. Итак,
фундаментальная система решений имеет вид
T
(8; 6; 1; 0)
X = −
,
X = −
T
( 7; 5; 0;1)
.
Общее решение системы линейных алгебраических уравнений:
.
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Понятие о векторе
Вектор – отрезок прямой, имеющий определен-
ную длину и направление (обозначается
,AB a
). Далее
рассматриваем свободные векторы.
Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы,
лежащие на одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.
и
Суммой векторов
точке, называется вектор
лью параллелограмма, построенного на векторах
, приложенных к одной
, совпадающий с диагона-
и
с началом в данной точке.
.
19
Разностью векторов
a
b
c
a
b
a
λ
ba
,, длины векторовb a ba=λ⋅ −
b
a
0λ>
0λ<
(,,)
xyz
a aaa=
(,,)
xyz
a
b
(1,0,0)
(0,0,1)k =
xyz
=++
xyz
=++
222
xyz
a aaa= ++
a
b
c ab= −
равный сумме вектора
го
.
и
называется вектор
и вектора, противоположно-
,
Произведением вектора
ло
называется вектор
1)
2)
сонаправлен
направлен при
2.2. Операции над векторами в координатной форме
Пусть
ление векторов
по базису
i =
Другая форма записи:
a ai a j ak
Длина вектора есть
в противном случае.
и
в декартовой системе координат
,
на действительное чис-
такой, что
= λ
при
и
(0,1, 0)j =
,
b bi b j bk
и противоположно
b bbb=
,
;
– представ-
.
.
.
20
Вектор
0
a
aa=
a
a
a
a
,,i jk
cos
x
a
a
α=
a
cos
z
a
a
γ=
2 22
a
b
(, ,)
x xy yz z
c ab a ba ba b=+= + + +
– орт вектора
, вектор единич-
ной длины, сонаправленный с
.
Направляющими косинусами вектора
ся косинусы углов между ортом вектора
называют-
и
лежащих на осях системы координат (см. рис. 1)
β=
y
a
и
,
.
есть вектор
,
,
cos cos cos 1α+ β+ γ=
Сумма векторов
cos
.
,