Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
191
17.4. Системы дифференциальных уравнений
t
( ) ( )
xt x t
( ) ( ) ( )
,,xt yt zt
{
2 1,
3 4 6.
x xyt
y xyt
′
= + ++
′
=−+
3 12
′′ ′
( ) ( )
( )
17.4.1. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений
Существуют процессы, где одной функции недостаточно для описания процесса. Далее
переменная;
функций не больше трех) - неизвестные функции.
Определение. Системой дифференциальных уравнений
называют совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимые переменные, искомые функции и их производные.
,...,
1
(или
n
– независимая
, если
Примеры: 1)
3 2 0,
+− =
tx x x x
1 2 13
2)
Решением системы дифференциальных уравнений
называют совокупность функций
которая при подстановке в уравнения превращает их в тождества. Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида
Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе.
′′ ′′
2 2 0,
+− =
x x tx
23 1
′
++=
2 0.
x x tx
x xt x x t= =
11
′
=
x f tx x
111
...............................
′
=
x f tx x
nn n
,..., ,
nn
, ,..., ,
( )
n
, ,..., .
1
192
1
5
{
2 12
′′
+ −=
{
13
24
xx
xx
′
13
24
32
42 3
,
,
,
2.
xx
xx
x tx
xx x
′
=
′
=
′
= −
′
= −
n
( )
,, , .x f txx x
′′′ ′ ′′
=
,.yxz y x
′ ′ ′′
= = =
,,, .
′
= −+
3 2 2,
x xyt
′′
+ −=
2 0,
Пример:
Некоторые системы дифференциальных уравнений
нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем.
Система дифференциальных уравнений, содержащая
производные высших порядков, может быть приведена
к нормальной системе.
Пример.
функции
x yx
{
′′
− +=
3. 1
x y yt
x tx
12
′′ ′
x xx
=
′
=
0,
+=
2 0.
,
Тогда
.
⇒
Введем дополнительные
( )
5
′
= +−
y x yt
( )
.
Одно дифференциальное уравнение
может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений.
Пример:
Нормальная система дифференциальных уравнений,
обычно, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы.
′
=
,
xy
′
=
,
yz
′
=
z f txyz
( )
-го порядка
193
Пример:
,
,
.
xy
yz
z xyz
′
=
′
=
′
=−+
,,x y zx z x y z
′′ ′ ′′′ ′
= = = =−+ ⇒
.x xx x
′′′ ′ ′′
=−+
(
)
( )
32 2
1 1 1 0.rrr r r− +−= + − =
, 0, 1, 1.ri s=± α= β= =
3
1, 1, 0, 1.rs= α= β= =
12 3
=++
12 3 12 3
tt
=−+ =− −
,
,
.
xx
yz
zy
′
=
′
=
′
=
,.x xy z y
′ ′′ ′
= = =
12 12 3
−−
=+==−=
( )
( )
111
1
, ,..., ,
................................,
, ,...,
n
nn n
x f tx x
x f tx x
′
=
′
=
( )
( )
11 1
1
, ,..., ,
.................................,
, ,..., ,
n
nn n
x tC C
x tC C
= ϕ
= ϕ
1,2
t
x Ce C t C t
y Ce C t C t z Ce C t C t
Обратный случай, когда система дифференциальных
уравнений не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению.
Пример:
Решение. Первое уравнение не зависит от остальных.
Поэтому имеем два уравнения
y Ce C e z y Ce C e x Ce
Теорема. Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений
cos sin .
sin cos , cos sin .
tt tt t
, ,.
′
имеет вид
194
где
1
,...,
n
CC
1
,...,
n
CC
0
0
nn
x xx x
( )
1,...,
i
Ci n=
( )
( )
1 0 1 10
01 0
, ,..., ,
....................................,
, ,..., .
n
n nn
tC C x
tC C x
ϕ=
ϕ=
0 10 20 0
, , ,..., ,
n
tx x x
( )
00
,t ht h−+
( ) ( )
( ) ( )
nn
( ) ( )
11 1
,...,
n
xt xt
– произвольные постоянные.
могут входить не во все решения.
Задание начальных условий
=
tt
=
,...,
= =
1 10 0
tt
дает частное решение системы дифференциальных уравнений, при этом
находятся из условий
Теорема. Если правые части нормальной системы
дифференциальных уравнений непрерывны вместе со
своими частными производными в окрестности значений
вале
функций
,..., ,
xt x t
1
то в достаточно малом интер-
существует единственная система
являющаяся решением систе-
n
мы и удовлетворяющая начальным условиям.
17.4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений
А) Однородная система линейных дифференциальных уравнений
′
= ++
x a tx a tx
1 11 1 1
..............................................,
′
= ++
x a tx a tx
11
n n nn n
... ,
( ) ( )
... .
1) Если известно частное решение
стемы линейных дифференциальных уравнений, то
си-
195
( ) ( )
1 11 1 1
,...,
n
Cx t Cx t
тоже является решением системы,
1
C
( ) ( )
( ) ( )
xt x t
( ) ( ) ( ) ( )
nn
xtxt xtxt++
n
( ) ( )
11 1
n
( ) ( )
1
n nn
nn
x Cx C x
( ) ( )
11 1
,..., ;
n
xt xt
( ) ( )
1
,...,
n nn
xt x t
( ) ( ) ( )
0
0
nn
– произвольная постоянная.
где
2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений
,..., ,
12 2
то
n
11 12 1 2
xt xt
11 1
,...,
тоже является решением системы.
3) Если известны
ний системы
частных линейно независимых реше-
11
…;
,..., ,
xt x t
... ,
...
,..., ;
xt xt
= ++
1 1 11 1
.....................................,
= ++
x Cx C x
n n n nn
является общим решением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Совокупность линейно независимых решений
…;
образует фундаментальную систему решений
Б) Общее решение неоднородной системы линейных
дифференциальных уравнений
′
= ++ +
x a tx a tx b t
1 11 1 1 1
.........................................................,
′
= ++ +
x a tx a tx b t
11
n n nn n n
... ,
nn
...
( ) ( ) ( )
есть сумма общего решения однородной системы и
частного решения неоднородной системы.
При заданных начальных условиях
x xx x
1 10 0
tt
=
,...,
= =
tt
=
получают частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подста-
,...,
и
n
то
196
вить начальные условия в общее решение системы. По-
1,1 1,
,1 ,
0.
n
n nn
xx
W
xx
= ≠
... ,
x ax ax
′
= ++
11
rt rt
nn
1
,..., ,
n
k kr
лучим алгебраическую систему уравнений
Cx C x x
.........................................
Cx C x x
...
++ =
1 1,1 1, 10
1 ,1 , 0
n n nn n
nn
...
++ =
.
Решая систему, получим частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы
система алгебраических уравнений имела единственное
решение, необходимо, чтобы определитель Вронского
17.4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений
1 11 1 1
...................................., .
′
= ++
x ax ax
11
n n nn n
nn
... ,
=
a const
ij
(*)
Будем искать решения в виде
где
– неопределенные постоянные. Диффе-
ренцируя решения и подставляя в (*), имеем
rt rt rt
k re a k e a k e
= ++
1 11 1 1
...................................................,
rt rt rt
k re a k e a k e
= ++
11
n n nn n
x ke x k e= =
... ,
,..., ,
nn
... .
197
Отсюда
( )
( )
11 1 1
11
... 0,
...........................................,
... 0.
nn
n nn n
a rk a k
a k a rk
− ++ =
++ − =
( )
n
1
r
( )
( )
( )
11 1 1 12 2 13 3
21 1 22 1 2 23 3
31 1 32 2 33 1 3
0,
0,
0.
a rk ak ak
ak a rk ak
ak ak a rk
−+ + =
+− + =
+ +− =
1
r
( ) ( )
11
12
,,
(**)
Чтобы система линейных однородных алгебраиче-
ских уравнений имела ненулевое решение, необходимо
и достаточно, чтобы определитель системы равнялся
нулю
ar a
−
11 1
a ar
1
n nn
n
−
( )
=
0.
Раскрыв определитель, получим характеристическое
алгебраическое уравнение
-й степени.
А) Предположим, что корни характеристического уравнения действительные и простые. Рассмотрим решение
на примере системы трех уравнений. Пусть корень характеристического уравнения равен
. Тогда из (**)
(***)
Определитель системы равен нулю. Если
корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го по-
рядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений (***)
следует из остальных.
Пусть первые два уравнения линейно независимы.
Тогда одно из решений будет
a C Ca r
kk
12 1 1 22 1
= =
a rC C a
−
22 1 2 2 12
−
– простой
198
1
21 22 1
a ar
12
,CC
( ) ( ) ( )
111
123
,,kkk
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
111
222
333
111
123
222
123
333
123
,,;
,,;
,,.
rt rt rt
rt rt rt
rt rt rt
ke ke ke
ke ke ke
ke ke ke
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
12
3
12
3
12
123
11 2 3
11 1
123
21 2 3
22 2
123
31 2 3
33 3
,
,
.
rt
rt r t
rt
rt r t
rt
rt r t
x Ck e C k e Ck e
x Ck e C k e Ck e
x Ck e C k e Ck e
=++
=++
=++
,
4 4,
.
xz
y xy z
zy
′
=
′
=− −−
′
= −
13
rk k
( )
ar a
−
где
=
3
11 1 12
k
– произвольные постоянные.
,
−
Все остальные решения получаются умножением чисел
на одну и ту же произвольную посто-
янную. Поступая так со всеми корнями характеристического уравнения, найдем три системы функций, каждая из которых является решением системы линейных
дифференциальных уравнений
Эти решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений имеет вид
Пример:
− +=
Решение.
− −+ − =
k rk k
4 1 4 0,
( )
1 23
−− =
k rk
23
0,
0.
199
−
123
1, 2, 2.rr r=−=−=
( ) ( )
( ) (
)
( ) ( ) ( )
11
11 1
13
1
12 3
11
23
0,
1, 1, 1, 1.
0,
kk
r kk k
kk
+=
=− = =−=−
−+ =
11 1
,,.
ttt
xe y e z e
−−−
= =−=−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
22 2
13
2
12 3
22
23
2 0,
2, 1, 4, 2.
2 0,
kk
r kk k
kk
+=
=− ==−=−
−+ =
222
22 2
ttt
−−−
==−=−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
33
33 3
13
3
12 3
33
23
2 0,
2, 1, 4, 2.
2 0,
kk
r kk k
kk
− +=
= ==−=
−− =
2 22
33 3
, 4, 2.
t tt
xe y e z e==−=
22
22
12 3
22
12 3
4 4,
2 2.
t tt
t tt
t tt
=−− −
4 1 4 4 4 4 1 0.
−−+ −=−− + +=− +=
01
Возьмем 1-е и 3-е уравнения.
r rr r rr
( )
−−
32 2
r
( )
)
(
01
r
xe y e z e
Общее решение
Б) Если среди простых корней характеристического
уравнения есть комплексно сопряженные, то решение
будет в виде комплексных функций действительной
, 4, 2.
−−
x Ce C e Ce
=++
12 3
y Ce Ce C e
z Ce Ce Ce
−−
−−
=−− +
,
200
переменной. Чтобы перейти к действительной форме,
1 21 21 2
,,x ix y iy z iz+++
( )
111
,,xyz
( )
222
,,xyz
{
7,
y xy
=−+
=−−
=+ +=
1,2
6.ri=−±
( )
1 12 1 2
( )
66
tt
yie ettiett
−−
22
tt
tt
2
6ri=−−
( )
( ) ( )
( )
6
12
6
12
cos sin ,
cos sin cos sin .
t
t
xe C tC t
ye C t t C t t
−
−
= +
= −+ +
используют следующее: если
являются решением, то
решения.
′
Пример:
Решение.
x xy
′
2 5.
71
r
−−
25
− −−
r
2
12 37 0.
rr
и
тоже
6 , 1 0, 1, 1 .r i ik k k k i=−+ −− + = = = +
6
it
−+
x e e t ie t
= = +
1 cos sin cos sin .
=+ = −+ +
( )
66
−−
x e ty e t t
11
x e ty e t t
зависимым с ними. В итоге общее решение:
Подбор частного решения для системы неоднородных
уравнений можно производить сведя систему к одному
уравнению высшего порядка и используя методы, изложенные ранее (см. п. 17.3.5, 17.3.6, 17.3.8).
cos , cos sin ,
= = −
66
−−
sin , cos sin .
= = +
приведет к тем же решениям или линейно
66
tt
−−
cos sin ,
6
it
−+
( )
( ) ( )
( )
( )