Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Справочное пособие по высшей математике. Учебное пособие.pdf
61
Можно показать, что
( )
( )
n
n
n
d y f dx=
( ) ( )
12
,
nn
df x df x∃
12
, Rαα∈
( )
1122 1122
n nn
d f f df dfα +α =α +α
( )
12 1 2
0
n
n k nk k
n
k
d f f C d fdf
−
=
⋅= ⋅ ⋅
∑
( )
( )
,
vx
y ux=
( )
0.ux>
( ) ( )
x
( )
'
ux
( )
( )
y fx=
( )
, 0.F xy =
.
x
y
F
y
F
′
′
= −
′
.
Если
7.5. Логарифмическое дифференцирование.
Производная степенно-показательной функции
Пусть
Тогда
ln ln .y vx ux= ⋅
После дифференцирования обеих частей по
y
Окончательно
= ⋅ ⋅ +⋅
' ' ln .
y ux v x ux vx
( )
7.6. Дифференцирование неявно заданных функций
Пусть дифференцируемая функция
уравнением
где
'
' ln .
v x ux vx
= ⋅ +⋅
( ) ( ) ( )
y ux
vx
( )
и
, то
,
.
, имеем
( )
'
( ) ( ) ( )
В этом случае говорят, что
ux
ux
( )
задана
функция задана неявно. Тогда
62
7.7. Дифференцирование функций, заданных
( )
y fx=
( ) ( )
,,x t y t tT=ϕ =ψ∈
( ) ( )
,
tt
xt yt
′′
∃
( )
0
t
xt′≠
t
y
′
( )
( )
2
,
x
t tt t tt t
xx
t
t
y
yx xy
y
x
x
′
′
′′ ′ ′′ ′
−
′′
= =
′
′
( )
( )
,ab
0
x
0
x
( )
0
0.fx′=
( )
fx
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
, : 0.ab f
′
ξ∈ ξ =
( )
y fx=
[ ]
( )
,ab
( ) ( ) ( ) ( )( )
параметрически
Пусть функция
. Тогда
и т. д.
7.8. Основные теоремы дифференциального
исчисления
Теорема Ферма. Пусть функция
на интервале
тервала принимает наибольшее или наименьшее значе-
ние. Тогда, если в точке
изводная, она равна нулю, т. е.
Теорема Ролля. Если
′
y
x
и в некоторой точке
задана параметрически:
и
t
=
,
′
x
y fx=
существует конечная про-
определена, непрерывна и
, причем
определена
этого ин-
дифференцируема на
ет точка
Теорема Лагранжа. Если функция
лена и непрерывна на
производная на
,:ab f b f a f b a
ξ∈ − = ξ −
,
,ab
fa fb=
и существует конечная
,ab
, то существует точка
′
, то существу-
опреде-
.
63
Последняя формула называется формулой конечных
( )
fx
( )
gx
[ ]
,ab
( ) ( )
,0
( )
,:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
fb fa f
gb ga g
′
−ξ
=
′
−ξ
0
x
0
x
( )
fx
( )
gx
( )
( ) ( )
00
lim lim 0
xx xx
fx gx
→→
= =
( ) ( )
00
lim lim
xx xx
fx gx
→→
= = ∞
( ) ( )
/fx gx
0
xx=
( )
0/0
( )
/,
( )
( )
( )
( )
00
lim lim ,
xx xx
fx f x
gx g x
→→
′
=
′
приращений Лагранжа.
Теорема Коши. Пусть функции
и
опреде-
лены, непрерывны и дифференцируемы на
чем
7.9. Правило Лопиталя раскрытия
неопределенностей
Пусть в некоторой окрестности точки
быть может, самой точки
дифференцируемы и
Если
(или
деленность вида
этого равенства существует.
x ab g x
∀∈ ≠
abξ∈
в точке
′
. Тогда существует точка
.
) функции
0.gx′≠
), т. е. частное
представляет собой неопре-
или
если предел в правой части
(кроме,
и
∞∞
, при-
то
64
Если частное
( ) ( )
/f x gx
′′
0
xx=
( )
( )
/∞∞
( )
fx
′
( )
gx
′
( )
( )
∞−∞
0/0
/∞∞
( ) ( )
( )
( )
gx
x fxϕ=
( )
0,
( )
0
∞
( )
1
∞
( )
0⋅∞
( )
xϕ
( )
( ) ( )
lngx f x
xeϕ=
0
0
lim
0
x
x
x
→
= =
( )
0
ln
0
lim
xx
x
ee
⋅∞
→
= =
0
x
( )
lim
0
0
1
x
x
ee
−
→
= = =
представляет собой неопределенность вида
), и производные
в точке
и
также
(или
0/0
удовлетворяют
предыдущим условиям, то следует применить правило
Лопиталя еще раз, перейдя к отношению вторых производных и т. д.
В случае неопределенности
0⋅∞
или
сле-
дует алгебраически преобразовать данную функцию
так, чтобы привести ее к неопределенности вида
или
и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
При вычислении пределов функций вида
часто возникают неопределенности
вида
или
. Раскрытие указанных не-
0
определенностей можно свести к раскрытию неопределенностей вида
, представив функцию
в
виде
Пример:
.
1
ln /
x
lim
= = =
→
ee
x
lim ln /
0
→
x
( )
x
′
1
x
′
65
7.10. Формулы Тейлора и Маклорена
( )
fx
1n +
0
x
( )
0
k
=
( )
0
k
=
( )
fx
0
x
( ) ( ) ( )
nn
R x fx Px= −
n
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
00
1
0
,
1!
n
n
n
f x xx
Rx xx
n
+
+
+θ −
= −
+
01<θ<
( )
10
1,
!
n
1
01<θ <
n
0
xx→
Пусть функция
некоторой окрестности точки
раз дифференцируемая в
. Тогда имеет место
формула Тейлора
k
n
fx
fx x x R x
( )
Многочлен
( )
= −+
∑
Px xx
( )
n
0
( )
k
!
k
n
fx
= −
∑
k
( )
0
!
k
0
( )
.
( )
n
k
называется
0
многочленом Тейлора функции
функция.
-го порядка.
Остаточный член формулы Тейлора
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
1
n
+
Rx xx
f x xx
= −θ −
( )
n
+θ −
( )
( )
01 0
;
В форме Пеано:
R x ox x= −
n
( )
( )
0
при
в точке
остаточным членом
( )
n
( )
n
;
, а
;
1
+
66
В интегральной форме:
( ) ( )
( )
( )
1
0
1
!
x
n
n
n
x
R x x t f t dt
n
+
= −
∫
0
0x =
2
1! 2! !
n
n
x
θ
3 5 21
n
−
( )
21
n
+
( )
( )
( )
24 2
21
cos 1 ... 1 ,
2! 4! 2 !
n
n
n
xx x
x Rx
n
+
= − + − +− +
( )
.
Если
, то получается формула Маклорена.
7.11. Разложение по формуле Маклорена некоторых
элементарных функций
1)
Rx x
( )
n
2)
sin ... 1 ,
Rx x
2
n
Rx
2
n
e
= <θ<
n
+
( )
xx R x
= − + − +− +
sin
= <θ<
( )
x
≤
( )
2 1!
( )
1
n
+
1!
( )
n
,0 1
xx x
3! 5! 2 1 !
21
n
+
( )
2 1!
n
+
;
+
( )
x
θ
21
n
+
( )
n
;
1
n
−
n
( )
, 0 1,
−
xx x
x
e Rx
1 ... ,
=+ + ++ +
3)
21
n
+
cos
Rx x
21
= <θ<
( )
n
+
( )
θ
( )
+
2 2!
n
x
22
n
+
, 0 1,
( )
2
n
67
( )
( )
22
21
2 2!
n
n
x
Rx
n
+
+
≤
+
;
23
23
n
n
n
11n
+
] [
1; 0 :x ∈−
n
( )
11n
n
x
Rx
x
+
≤
−
( )
( )
2
1
1 1 ...
2!
m
mm
x mx x
−
+ =++ +
( ) ( )
( )
1 ... 1
... ,
!
n
n
mm m n
x Rx
n
− −+
++
( ) ( )
1 1,
!
n
0 1,<θ<
( ) ( )
11
!
nm
n
+−
x x Rx
ln 1 ... 1 ,
4)
+ = − + − +− +
( ) ( ) ( )
Rx
= <θ<
( )
n
xx x
( )
11
nx
+ +θ
( )( )
Rx
n
Rx
n
x
≤
( )
n
( )
= − <θ<
( ) ( )
,0 1
1
+
n
;
+
1
n
1 ,0 1
11
+θ +θ
1
n
+
1
x
−
;
−θ
1
n
−
n
,
1
n
+
x
xx
( )
5)
1 ...
mm m n
Rx x x
= +θ −θ
( )
n
−−
( ) ( )
1 ...
mm m n
Rx x x
≤ +θ
( )
n
−−
1
mn n
−−
1
,
1
n
+
;
68
6)
3 5 21
3 5 21
n
n
+
( )
23
22
.
23
n
n
x
Rx
n
+
+
≤
+
( )
( )
3 5 21
sh ... ;
3! 5! 2 1 !
n
n
xx x
xx Rx
n
−
=+ + ++ +
−
24 2
n
23
2! 3!
n
n
xn
−−
( ) ( )
2
1
1 ... 1 ;
1
n
n
n
xx x Rx
x
= − + − +− +
+
( )
2
1
1 ... ;
1
n
n
xx x Rx
x
=++ ++ +
−
1
arctg ... 1 ,
xx x
xx R x
= − + − +− +
n
( ) ( )
22
+
+
n
Некоторые другие разложения
ch 1 ... ;
ln 1 ... ;
( ) ( )
1
ln 2 ... ;
1 3 5 21
2! 4! 2 !
x x Rx
− =−− − − − +
x xx x
+
= + + ++ +
xx x
3 5 21
x Rx
n
( )
( )
xx x
x Rx
=++++ +
( )
n
n
n
−
( )
n
1
x
−
( )
1 2 3 ... 1 ;
=+ + ++ + +
2
2
x x n x Rx
( ) ( )
n
n
69
( )
( )
( )
( )
1
23
2 1 !!
1 13 5
1 ... 1
2 8 16 2 !!
1
n
n
n
n
x x x x Rx
n
x
−
−
= − + − + +− +
+
( )
( )
( )
( )
23
2 3 !!
11 1
1 1 ... 1
2 8 16 2 !!
n
x x x x x Rx
n
−
−
+ = + − + − +− +
( )
( )
( )
21
35
2 1 !!
1 13
arcsin ...
23 245 2 !! 2 1
n
n
n
x
xx x x Rx
nn
+
−
⋅
=+ + ++ +
⋅ ⋅⋅ +
2 35
1 13
ln 1 ...
23 245
x xx x x
⋅
+ + =− + −+
⋅ ⋅⋅
( )
21
n
Rx
+
( )
;ab
( )
fx
( )
fx
′
( )
;ab
( )
0fx′>
( )
;x ab∈
( )
;ab
( )
fx
2 1 !!
n
−
n
1
+− +
( )
( )
x
2 !! 2 1
nn
+
n
( )
.
8. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
8.1. Условия возрастания и убывания функций
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале
функция
тервале, достаточно, чтобы производная
положительна всюду на
строго возрастала на этом ин-
была
, т. е.
.
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале
функция
возрастала (не убывала) на этом
интервале, необходимо и достаточно, чтобы производ-
,
70
ная
( )
fx
′
( )
;ab
( )
( )
;x ab∈
( )
fx
( )
( )
( )
( )
( )
( )
fx
( )
;ab
( )
;ab
( )
fx
( )
;ab
( )
fx
′′
( ) ( )
( )
00
≥≤
( )
( ) ( )
( )
00fx fx
′′ ′′
><
( )
;x ab∈
( )
fx
( )
;ab
Аналогично, достаточным условием строгого убыва-
ния дифференцируемой функции
ляется условие
необходимым и достаточным условием убывания –
условие
8.2. Условия выпуклости функций
Функция
вверх) на интервале
функции лежат выше (ниже) касательной, проведенной
к графику функции в любой точке интервала
Для того, чтобы функция
цируемая на интервале
(выпуклой вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная
рицательная (неположительная) на этом интервале, т. е.
′′ ′′
fx fx
была неотрицательная всюду на
,
0fx′≥
.
,
0fx′<
,
0fx′≤
называется выпуклой вниз (выпуклой
.
;x ab∈
, если все точки графика
,
;
;x ab∈
, дважды дифферен-
, была выпуклой вниз
.
;x ab∈
,
была неот-
;x ab∈
, т. е.
, яв-
.
Условие
достаточным условием строгой выпуклости вниз
(строгой выпуклости вверх) функции
вале
.
,
является
на интер-