Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3131

Ответы к задачам главы VI

301

∞

˜n

6.45. а) u(r, φ, z) = C

∑∑

µk r

ch λk (h − z)

(an cos nφ+bn sin nφ),

−n=0 k=1

(

R )

˜λkn sh ˜λknh

C = const,

˜n

/R,

λk =

µk

где µ˜kn — положительные корни уравнения Jn′ (x) = 0.

R 2π

Условие разрешимости: w w f(r, φ) dr dφ = 0.

R 2π

r r

rf(r, φ)Jn(˜λknr) cos nφ dr dφ

akn =

0 0

, k = 1, 2, . . . , n = 0, 1, 2, . . . ,

επ rR rJn2(˜λknr) dr

при

n = 0,

ε = { 1

при

n > 0,

R 2π

r r

rf(r, φ)Jn(˜λknr) sin nφ dr dφ

bkn =

0 0

k = 1, 2, . . . , n = 1, 2, . . . ;

π rR rJn2(˜λknr) dr

∞

˜n

∑∑

µ˜k r

ch λk z

б) u(r, φ, z) = C − n=0 k=1 Jn (

)

˜λkn sh ˜λknh

(ak cos nφ + bk sin nφ),

µ˜kn

R 2π

C = const,

˜λkn =

ε =

при

n = 0,

w w g(r, φ) dr dφ = 0,

при

{ 1

n > 0,

0 0

2π R

r r

rg(r, φ) cos nφJn(˜λknr) dr dφ

akn =

0 0

k = 1, 2, . . . , n = 0, 1, . . . ;

επ rR rJn2(˜λknr) dr

2π R

r r

rg(r, φ) sin nφJn(˜λknr) dr dφ

bkn =

0 0

k = 1, 2, . . . , n = 1, 2, . . . ;

π rR rJn2(˜λknr) dr

302 Ответы к задачам

∞ ∞

hIn

kπr

kπz

в) u(r, φ, z) = C +

cos

(akn cos nφ + bkn sin nφ),

πR

kπIn′

(

k )

C = const,

n=0 k=0

∑∑

(

)

2π h

kπz

akn =

w w F (φ, z) cos nφ cos

dz dφ, k = 0, 1, . . . , n = 0, 1, . . . ,

δ γ

k n 0

γn = {

при

k = 0,

2π

при

n = 0,

δk = { h/2

при

k > 0,

при

n > 0,

2π h

kπz

bkn =

w w F (φ, z) sin nφ cos

dz dφ,

k = 0, 1, . . . , n = 1, . . .

δ γ

k n 0

w2πwh

Условие разрешимости: F (φ, z) dz dφ = 0;

0 0

г) учесть решение задач а, б, в. Ответ и условия разрешимости очевидны.

∞

˜n

∑∑k

sh λk (h − z)

(an cos nφ + bn sin nφ)Jn(˜λnr),

6.46. а) u(r, φ, z) =

˜n

n=0

sh λk h

˜λn =

µ˜n

, J′

(µ˜n) = 0,

2π R

r r

rf(r, φ)Jn(˜λknr) cos nφ dr dφ

при

n = 0,

0 0

ak =

ε = { 1

при

n > 0,

˜n

επ r

rJn

(λk r) dr

n = 0, 1, . . . , k = 1, 2, . . . ,

2π R

r r

rf(r, φ)Jn(˜λknr) sin nφ dr dφ

bkn =

0 0

, n = 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . ;

π rR rJn2(˜λknr) dr

∑∞ ∑∞

б) u(r, φ, z) = −

n=0 k=1

˜n

Jn(λk

˜n

r) sh λk z (an cos nφ + bn sin nφ).

˜n k k

sh λk h

Ответы к задачам главы VI

303

Коэффициенты ank , bnk определяются формулами из решения задачи а, в которых f(r, φ) заменено на g(r, φ);

∞

kπr

kπz

в) u(r, φ, z) =

sin

(akn cos nφ + bkn sin nφ),

kπR

n=0 k=1 kh In′(

)

2π h

∑∑

(

akn =

w w F (φ, z) cos nφ

sin

kπz

dz dφ, ε =

при

n = 0,

при

επh

0 0

{

n > 0,

2 2π h

kπz

bkn =

w w F (φ, z) sin nφ · sin

dz dφ.

πh

6.47. а) u(r, φ, z) =

∞

∞ e−λknzJn(λnr)(an cos nφ + bn sin nφ),

n=0

µkn

∑∑k

λn =

, Jn(µn) = 0,

2π R

akn =

w w rf(r, φ) cos nφJn(λknr) dr dφ,

επ r

rJn2(λknr) dr 0 0

k = 1, 2, . . . , n = 0, 1, . . . , ε = 2 при n = 0, ε = 1 при n > 0,

2π R

bkn =

w w rf(r, φ) sin nφJn(λknr) dr dφ,

π r rJn2(λknr) dr 0 0

k = 1, 2, . . . , n = 1, 2, . . . ;

б) u(r, φ, z) =

∞

(

kπz

n=0 k=1 In

)

(akn cos nφ + bkn sin nφ) · sin

h ,

∑∑

akn и bkn определяются теми же формулами, что и в решении зада-

чи 6.43в;

в) учесть решение задач а, б.

∞ ∞

˜n

e−~λknz

6.48. а) u(r, φ, z) = C −

Jn(λk r)

(ak cos nφ + bk sin nφ),

˜n

n=0

λk

C = const J′

∑∑k

(˜λnR) = 0

и условия разрешимости те же, что

304

Ответы к задачам

и в решении задачи 6.45а;

kπr

kπz

∞ ∞

∑∑

(

)cos

б) u(r, φ, z) = C − n=0 k=1 hIn

(akn cos nφ + bkn sin nφ),

C = const, akn, bkn и условия разрешимости те же, что и в решении

задачи 6.45в;

в) использовать решение задач а, б.

mπx

nπy

6.49. а) λmn = π2

(

umn = sin

· sin

;

m, n = 1, 2, . . . ;

µn

б) λnk = (

) ,

n = 0, 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . , где

µk — корни урав-

нения Jn(µ) = 0. Каждому собственному значению λnk соответствуют

две собственные функции

µn

Jn (

r)cos nφ,

Jn (

r)sin nφ.

Указание. Записать уравнение ∆u + λu = 0 в полярных координатах

и разделить в нем переменные;

mπ

µn

в) λmnk = (

)

+ (

)

; m = 0, 1, . . . ; k = 1, 2, . . .

Здесь R — радиус основания цилиндра, h — его высота,

µn

mπ

cos nφ,

umnk = Jn (

)sin

z ·

{ sin nφ.

Указание. Записать уравнение ∆u + λu = 0 в цилиндрических координатах и искать его решение, удовлетворяющее краевым условиям

= 0 в виде u(r, θ, z) = v(r, θ)Z(z). После раз-

z=0= 0, u

z=h= 0, u

r=R

деления

переменных

для v(r, θ) получим задачу б), а для Z(z) задачу

z′′ + µz = 0, z(0) = z(h) = 0.

6.50. а) λmn = π (

umn = cos

m x

· cos

n y

; m, n = 0, 1, 2, . . . ;

˜n 2

˜n

cos nφ,

µk

б) λkn = (

)

, ukn = Jn (

r){ sin nφ,

, Jn′ (µ˜k ) = 0,

Ответы к задачам главы VI

305

k = 1, 2, . . . ; n = 0, 1, 2, . . . ;

	mπ		2		µ˜n		2
в) λmnk = (		)	+	(	k	)	, umnk = Jn
	h				R
n = 0, 1, 2, . . . ; m, k = 1, 2, . . .
Указание. См. указание к задаче 6.49.
∞ ∞
∑ ∑
6.52. u(x, y) =			AmnXmn,

m=1 n=1

	˜n		mπz	cos nφ,
µ
(	k	r)sin		{ sin nφ.
	R		h

Amn =

−

gmn

, gmn =

wa wb g(x, y)Xmn(x, y) dx dy,

λmn

mπx

nπy

λmn = π2

(

Xmn(x, y) = sin

· sin

λmn и Xmn(x, y) — собственные значения и собственные функции краевой

задачи (см. задачу 6.49а) ∆u + λu = 0, u ∂T = 0.

∞ ∞

µk r

6.53. u(r, θ) = n=0 k=1

(Akn cos nθ + Bkn sin nθ)Jn (

∑∑

gkn

hkn

Akn = −

, Bkn =

−

;

λkn

λkn — собственные значения краевой задачи ∆u + λu = 0, u

∂K= 0,

µknr

(r, θ) = cos nθJn

(r, θ) = sin nθJn

—

( R )

собственные функции (см. задачу 6.49б).

2π

(

µknr

gkn =

w cos nθ dθ w rg(r, θ)Jn

dr, εn =

при

n = 0,

εnπ

)

{

при

n > 0,

2π

µknr

hkn =

w sin nθ dθ w rg(r, θ)Jn

dr,

R )

(

k = 1, 2, . . . , n = 0, 1, 2, . . .

Литература

1.Алексеев А. Д., Кудряшов С. Н., Радченко Т. Н. Уравнения в частных производных в примерах и задачах. — Ростов н/Д : Изд-во ЮФУ, 2009. — 80 с.

2.Алексеев А. Д., Радченко Т. Н., Рогожин В. С., Хасабов Э. Г. Практикум по уравнениям математической физики: методическое пособие для студентов вузов. — Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1992.

3.Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции: учебное пособие. — М.: Наука, 1984. — 384 с.

4.Бицадзе А. В., Калиниченко А. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1977. — 222 с.

5.Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физики: учебное пособие. — М.: Наука, 1972. — 430 с.

6.Глинер Э. Б., Смирнов М. М., Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики: учебник для вузов. — М.: Физматиз, 1962. — 776 с.

7.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 13-е изд., испр. — М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997.

8.Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям: учебное пособие для студентов ВУЗов. — Казань: Изд-во КГУ, 1970. — 212 с.

9.Николенко В. Н. Уравнения математической физики: учебно-методическое пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1981. — 392 с.

10.Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики: учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1975. — 128 с.

11.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: учебное пособие для студентов университетов. — М.: Наука, 1972. — 735 с.

12.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 3. — 728 с.

Учебное издание

КУДРЯШОВ Станислав Никифорович РАДЧЕНКО Тамара Николаевна

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В КУРСЕ «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Редактор	Л. С. Шутько
Корректор	Л. С. Шутько
Компьютерная вёрстка	Е. В. Ширяевой
Дизайнер обложки	А. В. Киреев

Сдано в набор 17.06.11. Подписано в печать 17.06.11. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,9. Уч. изд. л. 10,0. Тираж 500 экз. (1-й з-д 1—100). Заказ № 1835.

Издательство Южного федерального университета.

Отпечатано в типографии ЮФУ. 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1.

Тел. (863) 247–80–51

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3131

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]