Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Задачи

121

I 3.29.

∂u

∂2u

πx

= a2

− βu + sin

u(0, t) = u(ℓ, t) = u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

ℓ

I 3.30.

∂u

= a2

∂2u

∂t

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u(ℓ, t)

+ hu(ℓ, t) = u1,

u(x, 0) = 0,

h > 0.

∂x

I 3.31.

∂u

= a2

∂2u

∂t

∂x2

u(0, t) = u1,

∂u(ℓ, t)

+ hu(ℓ, t) = u2,

u(x, 0) = 0,

h > 0.

∂x

I 3.32.

∂u

= a2

∂2u

∂t

∂x2

∂u(0, t)

∂u(ℓ, t)

= 0,

+ h(u(ℓ, t) − u0) = 0, u(x, 0) = 0.

∂x

I 3.33.

∂u

= a2

∂2u

, u(x, 0) = f(x),

∂t

∂x2

∂u(0, t)

∂u(ℓ, t)

− h(u(0, t) − u1) = 0,

+ h(u(ℓ, t) − u2) = 0.

∂x

I 3.34.

∂u

= a2

∂2u

− b2u,

u(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = u0,

u(x, 0) = f(x).

∂t

∂x2

I 3.35.

∂u

= a2

∂2u

− b2u,

u(0, t) = u0,

u(ℓ, t) = 0,

u(x, 0) = f(x).

∂t

∂x2

I 3.36.

∂u

= a2

∂2u

− b2u,

u(0, t) = u0,

u(ℓ, t) = u1,

u(x, 0) = f(x).

∂t

∂x2

I 3.37.

∂u

= a2

∂2u

− b2(u − u0), u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0, u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

I 3.38.

∂u

= a2

∂2u

− b2(u − u0),

∂t

∂x2

u(0, t) = u1,

u(ℓ, t) = u1,

u(x, 0) = f(x).

I 3.39.

∂u

= a2

∂2u

− b2u,

∂t

∂x2

∂u(0, t)

= Q1,

∂u(ℓ, t)

= Q2,

u(x, 0) = f(x).

∂x

122							Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
I 3.40.	∂u	= a2		∂2u		− b2u,
	∂t			∂x2
u(x, 0) = 0,		u(0, t) = u0,							∂u(ℓ, t)	+ hu(ℓ, t) = 0.

									∂x
I 3.41.	∂u		∂2u				∂u	+ u + ex sin x, 0 < x < π, t > 0,
		=			− 2
	∂t		∂x2				∂x
u(0, t) = 0,		u(π, t) = 0,						u(x, 0) = ex sin 2x.

Задачи с показательной неоднородностью

I 3.42. В полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 решить смешанные задачи для

уравнения

∂u = a2 ∂2u + f(x, t) ∂t ∂x2

с начальным условием u(x, 0) = 0 и со следующими краевыми условиями:

u(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = 0, f(x, t) = Ae−t sin

πx

;

ℓ

∂u(0, t)

= 0,

u(ℓ, t) =

f(x, t) = e−2t cos

3πx

;

∂x

2ℓ

∂u(0, t)

= 0,

u(ℓ, t) =

f(x, t) = 4e3t cos

5πx

;

∂x

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u(ℓ, t)

f(x, t) = Aet sin

3πx

;

∂x

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u(ℓ, t)

f(x, t) = 3e2t sin

7πx

;

∂x

2ℓ

∂u(0, t)

f(x, t) = 3e−2t cos

5πx

5aπ

= √

= u(ℓ, t) = 0

∂x

2ℓ ,

2ℓ

;

∂u(0, t)

∂u(ℓ, t)

= 0

f(x, t) = 3e−4t cos

5πx

5πa

= 2

;

∂x

ℓ ,

ℓ

∂u(0, t)

= 0,

∂u(ℓ, t)

= 0,

f(x, t) = e−t sin2

πx

∂x

ℓ

Задачи

123

Решить задачи с показательными неоднородностями:

I 3.43.

∂u

= a2

∂2u

∂t

∂x2

u(0, t) = 0

∂u(ℓ, t)

= Ae−t

u(x, 0) = T

(2k + 1)πa

= 1 k = 0, 1, . . .

∂x

2ℓ

I 3.44.

∂u

= a2

∂2u

∂t

∂x2

nπa

u(0, t) = 0

u(ℓ, t) = Ae−t

u(x, 0) = A

= 1 k

ℓ

ℓ ,

̸ ,

∂u

2 ∂2u

+ e−

πx aπ

√

= a

cos

I 3.45. ∂t

∂x2

ℓ

∂u(0, t)

∂u(ℓ, t)

= e−2t,

∂x

√

ℓ

x + 1.

u(x, 0) = −√

a√

cos

x + √

sin

I 3.46.

∂u

= a2

∂2u

∂u(0, t)

= 0,

u(ℓ, t) = e−4t,

∂t

∂x2

∂x

cos 2x

πx

9πx

π(1 + 2k)a

u(x, 0) =

+ 3 cos

− 5 cos

̸= 2,

k = 0, 1, 2, . . .

cos

2ℓ

I 3.47.

∂u

= a2

∂2u

+ 2e4t sin

πx

∂t

∂x2

2ℓ

∂u(ℓ, t)

a sh

u(0, t) = 0,

= 2e4t,

u(x, 0) =

∂x

2ℓ

Задачи с неоднородностями общего вида

Следующая серия примеров содержит неоднородности общего вида, когда либо свободный член, либо правые части краевых условий, либо и то, и другое содержат переменную t. При решении прежде всего проверяем, однородны ли краевые условия и, если это не так, то одним из подробно изложенных в п. 5.3 второй главы способов сводим задачу к варианту с однородными краевыми условиями. В итоге получаем задание: проинтегрировать уравнение, например

∂u = a2 ∂2u + f(x, t), ∂t ∂x2

124	Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

с одним из видов однородных граничных условий, рассмотренных в данном разделе, и обычным начальным условием u(x, 0) = φ(x).

Наиболее простой способ решения проблемы — сразу применить метод собственных функций (см. п. 5.3 главы II). Пусть для начала φ(x) ≡ 0, тогда решение уравнения представляем в виде

∑∞

u(x, t) = Tk(t)Xk(x),

k=1

где Xk(x), а далее λk — соответственно собственные функции и собственные значения сопутствующей краевой задачи для дифференциального

уравнения X′′ + λ2X = 0. Тут же f(x, t) раскладываем в ряд Фурье—

∑∞

Бесселя по Xk(x): f(x, t) = fk(t)Xk(x). Для Tk(t) получаем дифферен-

k=1

циальные уравнения

T ′	t	a2λ2T	t	f t , k	, , . . . ,
k	( ) = −	k	k( ) +	k( )	= 1 2

решаемые с начальными условиями Tk(0) = 0.

Если φ(x) ̸≡0, то можно предложить два варианта решения задачи. 1. Решение u(x, t) представляем в виде суммы

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t).

Функция v(x, t) решает задачу, рассмотренную в предыдущем абзаце, w(x, t) будет решением однородной задачи с начальным условием

w(x, 0) = φ(x).

2. Функцию φ(x) представляем рядом Фурье—Бесселя

∑∞

φ(x) = φkXk(x).

k=1

Решение u(x, t) сразу представляем в виде указанного ряда. Tk(t) ищутся как частные решения соответствующего уравнения с начальным условием

Tk(0) = φk.

I 3.48.	∂u	= a2	∂2u	+ t sin	πx	, u(0, t) = 0,	∂u(ℓ, t)	= 0, u(x, 0) = 0.
	∂t		∂x2		2ℓ		∂x

Задачи

125

I3.49.

I3.50.

I3.51.

I3.52.

∂u(0, t)

∂x

∂u

∂2u

∂u(0, t) ∂u(ℓ, t)

= a2

+ At,

= u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

∂u

∂2u

∂u(ℓ, t)

= a2

+ xt2,

u(0, t) = 0,

= 0,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

∂u

∂2u

∂u(ℓ, t)

= a2

+ tx,

u(0, t) = 0,

= 0,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

∂u

= a2

∂2u

+ (x − ℓ)t,

∂t

∂x2

= 0, u(ℓ, t) = 0,

u(x, 0) = cos

3πx

2ℓ

I 3.53.

∂u

= a2

∂2u

+ (x − ℓ)t,

∂u(0, t)

= 0, u(ℓ, t) = 0, u(x, 0) = 1.

∂t

∂x2

∂x

I 3.54.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = At,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

I 3.55.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = At,

u(ℓ, t) = 0,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

I 3.56.

∂u

−

∂2u

∂u

− u = ex sin x − t,

+ 2

∂t

∂x2

∂x

u(0, t) = 1 + t,

u(π, t) = 1 + t,

u(x, 0) = 1 + ex sin 2x.

I 3.57.

∂u

= a2

∂2u

∂u(0, t)

= 0,

∂u(ℓ, t)

= Q,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.58.

∂u

= a2

∂2u

∂u(0, t)

= At,

∂u(ℓ, t)

= T ,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.59.

∂u

= a2

∂2u

∂u(0, t)

= 0,

∂u(ℓ, t)

= t,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.60.

∂u

= a2

∂2u

∂u(0, t)

= 0,

∂u(ℓ, t)

= t, u(x, 0) = cos

5πx

∂t

∂x2

∂x

2ℓ

∂x

ℓ

I 3.61.

∂u

= a2

∂2u

−

1 − t

∂t

∂x2

ℓ

− 2ℓ,

∂u(0, t)

= t,

∂u(ℓ, t)

= 1,

u(x, 0) = 0.

∂x

126

Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

I 3.62.

∂u

= a2

∂2u

u(x, 0) = 0,

∂t

∂x2

∂u(ℓ, t)

u(0, t) = A(1 − e−αt),

+ Hu(ℓ, t) = 0,

> 0, H > 0.

∂x

I 3.63.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

= a2

= t2,

u(ℓ, t) = 1,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.64.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

= a2

+ 2xt,

= t2,

u(ℓ, t) = t3, u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.65.

∂u

= a2

∂2u

+ x − ℓ + 3t cos

3πx

∂t

∂x2

2ℓ

∂u(0, t)

= t,

u(ℓ, t) = 0, u(x, 0) = 0.

∂x

I 3.66.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = 1,

∂u(ℓ, t)

= t2,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.67.

∂u

= a2

∂2u

+ x + 3t sin

3πx

∂t

∂x2

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u(ℓ, t)

= t, u(x, 0) = 0.

∂x

I 3.68.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = t2,

∂u(ℓ, t)

= 1,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.69.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = 0,

∂u(ℓ, t)

= t2,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.70.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = t2,

∂u(ℓ, t)

= 1,

u(x, 0) = x.

∂t

∂x2

∂x

I 3.71.

∂u

∂2u

∂u(ℓ, t)

= a2

+ x, u(0, t) = t2,

= t,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.72.

∂u

= a2

∂2u

u(0, t) = A sin ωt,

u(ℓ, t) = 0,

u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

I 3.73.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

∂u(π, t)

+ u + 2 cos t,

= u(x, 0) = 0.

∂t

∂x2

∂x

I 3.74.

∂u

−

∂2u

− u = xt(2 − t) + 2 cos t,

∂t

∂x2

∂u(0, t)

= t2,

∂u(π, t)

= t2,

u(x, 0) = cos 2x.

∂x

Задачи

127

Задачи о теплопроводности шарообразных тел

I 3.75. Дан однородный шар радиуса R, центр которого расположен в начале координат. Известно, что начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния r этой точки от центра шара. Во все время наблюдения внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Определить температуру любой точки внутри сферы в момент времени t > 0.

I 3.76. Решить задачу 3.75, предполагая, что поверхность шара все время свободно охлаждается в среде, имеющей равную нулю температуру.

I 3.77. В шаре 0 6 r < R найти ограниченное решение u = u(r, t) урав-

	∂u		1	∂		∂u		∂u
нения		= a2∆u, где ∆u =			(r2		), по условиям		(R, t) = 0,
	∂t		r2	∂r		∂r		∂r

u(r, 0) = f(r).

I 3.78. Однородный шар радиуса R находится при постоянной температуре u0 и окружен сферической оболочкой из того же материала толщиной R, находящейся при равной нулю температуре. Все это охлаждается в среде с равной нулю температурой. Найти температуру в точках внутри шара на расстоянии r от центра в момент времени t > 0.

I 3.79. Однородное твердое тело ограничено двумя концентрическими сферами с радиусами R и 2R. Внутренняя поверхность тела непроницаема для тепла. Шаровой слой нагрет до температуры u0 и затем охлаждается в среде с нулевой температурой. Найти температуру в точках внутри шарового слоя в момент времени t > 0.

I 3.80. Начальная температура однородного шара 0 6 r < R равна T . Найти температуру шара при t > 0 для случаев, когда:

а) поверхность шара поддерживается при постоянной температуре P ; б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен со сре-

дой, имеющей температуру P .

I 3.81. Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R. Внутри шара, начиная с момента времени t = 0, действует источник тепла с постоянной плотностью Q, а поверхность поддерживается при равной нулю температуре. Начальная температура шара равна нулю.

128	Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

I 3.82. Решить задачу 3.81 при условии, что поверхность шара все время свободно охлаждается в среде, имеющей равную нулю температуру.

I 3.83. В однородном шаре 0 6 r < R, начиная с момента t = 0, действует источник тепла постоянной плотности Q. Начальная температура шара равна T . Определить распределение температуры в шаре при t > 0, если:

а) поверхность шара поддерживается при постоянной температуре u0; б) на поверхности шара происходит теплообмен с внешней средой, тем-

пература которой равна P .

I 3.84. Дан однородный шар радиуса R при температуре равной T . Шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком Q. Найти радиальное распределение температуры внутри шара в любой момент времени t > 0.

I3.85. В однородном шаре 0 6 r < R, начиная с момента t = 0 действует источник тепла постоянной плотности Q. Начальная температура шара равна T . Определить распределение температуры в шаре при t > 0, если с поверхности шара происходит теплоотдача потоком постоянной плотности q.

I3.86. В шаре 0 6 r < R найти ограниченное решение u = u(r, t) урав-

нения

∂u

= a2∆u + Be−t,

∂t

∂

∂u

где

∆u =

(r2

), при следующих условиях:

∂r

а) u(R, t) = Ae−t, u(r, 0) = f(r);

б)

∂u(R, t)

= Ae−t, u(r, 0) = f(r);

∂r

в)

∂u(R, t)

+ hu(R, t) = Ae−t, u(r, 0) = f(r).

∂r

I 3.87. В шаре 0 6 r < R найти ограниченное решение u = u(r, t) урав-

нения

∂u = a2∆u − β2u + g(r, t),

() ∂t

где ∆u =	1 ∂	r2	∂u	, при следующих условиях:

	r2 ∂r		∂r

Задачи		129
а) g(r, t) ≡ 0, u(R, t) = 0, u(r, 0) = f(r);
б) g(r, t) ≡ 0,	∂u(R, t)	= 0, u(r, 0) = f(r);

	∂r
	∂u(R, t)	u0, 0 6 r 6 R/2,
в) g(r, t) ≡ 0,		= 0, u(r, 0) = { 0, R/2 < r < R;
	∂r
г) g(r, t) ≡ 0,	∂u(R, t)	+ hu(R, t) = 0, u(r, 0) = f(r);

	∂r

д) g(r, t) ≡ A, u(R, t) = 0, u(r, 0) = f(r).

Глава IV

Уравнения эллиптического типа

§1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона

впространстве и на плоскости

Дифференциальные уравнения

Лапласа:

∂2u ∂2u ∂2u

∂2u ∂2u

= 0,

∂x2

∂y2

∂z2

∂x2

∂y2

и Пуассона:

∂2u ∂2u ∂2u

∂2u ∂2u

= f(x, y, z),

= f(x, y)

∂x2

∂y2

∂z2

∂x2

∂y2

являются простейшими дифференциальными уравнениями эллиптического типа. Эти уравнения описывают стационарные, установившиеся процессы, такие как установившаяся в теле температура, форма мембраны, натянутой на пространственную кривую и находящейся в состоянии равновесия, потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля.

Большинство предлагаемых задач решается методом Фурье. Считается, что функции, входящие в краевые условия, если это требуется при решении задачи, разлагаются в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям соответствющей краевой задачи. Вопросы обоснования решения не затрагиваются, т. е. задача считается решенной, если найдено формальное решение. Дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие в области B уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]