Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 315 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Задачи

∂u

u|y=1 = x,

∂y

y=1 = 15x2.

I 1.136. 4x

∂

− y

∂ u

+ 3

∂u

= 0

(см. задачу 1.103);

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

u|y=1 = x2 + 1,

= 4.

∂y

y=1

I 1.137. 3x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.107);

− y

− 2

= 0

∂x∂y

∂y2

∂y

u|y=1 = 0,

∂y

y=1= 6x2√3

∂u

∂

∂u

I 1.138. 4x

(см. задачу 1.94);

− y

+ 7

= 0

∂x2

∂x∂y

∂x

∂u

u|x=1 = 3y5,

∂x

x=1= 2y11.

I 1.139. x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.99);

∂x∂y

− 3y

∂y2

− 5

∂y

= 0

∂u

u|y=1 = 4x4,

∂y

y=1

= 2x8.

I 1.140. 3x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.106);

− y

+ 4

= 0

∂x2

∂x∂y

∂x

∂u

u|x=1 = 4y3,

∂x

x=1

= y7.

I 1.141. 2x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.108);

∂x2

− y

∂x∂y

+ 5

∂x

= 0

∂u

u|x=1 = y2,

∂x

x=1 = 2y7.

I 1.142. 3x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.106);

∂x2

− y

∂x∂y

+ 4

∂x

= 0

∂u

u|x=1 = 1 + y4,

∂x

x=1= y4.

42 Глава I. Метод характеристик

I 1.143. 2x

∂2u

− y

∂2u

∂u

= 0 (см. задачу 1.108);

+ 5

∂x2

∂x∂y

∂x

∂u

u|x=1 = 0,

∂x

x=1 = y5.

∂2u

∂u

I 1.144. 2x

= 0;

u|y=1 = 2 + 3x ,

= x .

− 3y

+ ∂y

∂x∂y

∂y2

∂y

y=1

I 1.145. 3x

∂ u

− 2y

∂ u

∂u

= 0;

∂x2

∂x∂y

∂x

∂u

u|x=1 = y5 + 3,

∂x

x=1 = 2y2 − y.

I 1.146. 3x

∂2u

∂u

= 0;

− 4y

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

= 1 − 2x.

u|y=1 = 3x2 + 2x,

∂y

y=1

I 1.147. 2x

∂ u

∂u

= 0;

− 5y

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

u|y=1 = 3x2 + 1,

∂y y=1 = 5x + 2.

∂ u

∂u

I 1.148. 4x

− 3y

−

= 0;

u|x=1 = 1,

x=1 = 3y

∂x2

∂x∂y

∂x

∂2u

∂u

I 1.149. 3x

∂x2

− y

∂x∂y + ∂x = 0;

u|x=1 = 3y ,

∂x x=1 = 1 − y.

I 1.150. 3x

∂2u

∂u

− 2y

+ 2

= 0;

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

u|y=1 = 3x2,

∂y

y=1 = 4 − x2.

∂ u

∂u

I 1.151. 4x

= 0;

u|x=1 = 3y,

x=1

− y

+ 7

= 2y

∂x2

∂x∂y

∂x

∂2u

∂u

I 1.152. t

∂t2

−x

∂x2

= 0 (см. задачу 1.105); u|t=1 = 2x ,

∂t

t=1 = x

Задачи

1.153. x2

∂2u

−

3xy

∂2u

+ 2y2

∂2u

+ 3y

∂u

= 0

(см. задачу 1.113);

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

u|y=1 = 1 + 2x2,

∂y

y=1

= 4x2.

2 ∂

∂

2 ∂

∂u

1.154. 3x

= 0 (см. задачу 1.114);

− 16xy

+ 16y

+ 15x

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂u

u|y=1 = 5x4

3x2,

−

∂y

y=1 = 10x4 − 9x2.

2 ∂ u

∂u

√x.

1.155. t

(см. задачу 1.105);

u|t=1 = 2√x, ∂t

∂t2 −x

∂x2 = 0

t=1 =

1.156. 4x

2 ∂ u

− y

2 ∂ u

+ 8x

∂u

+ y

∂u

= 0;

∂x2

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|x=1 = 2y,

∂x

x=1 = 0.

1.157. x

2 ∂ u

∂u

= 0;

− 9y

+ 6x

+ 6y

∂x2

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|y=1 = 3x,

∂y

y=1 = x2.

2 ∂

∂

∂u

1.158. x

(см. задачу 1.113);

− 3xy

+ 2y

+ 3y

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

u|y=1 = 2x,

∂y

y=1 = x.

2 ∂

∂

2 ∂

∂u

1.159. 3x

= 0 (см. задачу 1.114);

− 16xy

+ 16y

+ 15x

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂u

u|x=1 = 2y2,

∂x

x=1 =

y2.

∂

∂u

1.160.

∂x2

+ 2 sin x

∂x∂y

− cos x

∂y2

∂x

+ (sin x + cos x + 1)

∂u

= 0 (см. задачу 1.109);

∂y

44 Глава I. Метод характеристик

∂u

−

u|y=− cos x = 1 + 2 sin x,

∂y

cos x = sin x.

∂

∂u

I 1.161.

(см. задачу 1.110);

+ 2 sin x

− cos

+ cos x

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

−

u|y=− cos x = 1 + cos x,

∂y

cos x = 0.

∂

∂u

I 1.162.

− 2 sin x

− (3 + cos

− cos x

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂u

(см. задачу 1.111); u|y=cos x = sin x,

∂y

y=cos x

ex.

∂

∂u

I 1.163.

− 2 sin x

− (3 + cos

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

+ (2 − sin x

− cos x)

∂u

(см. задачу 1.112);

= 0

∂y

∂u

u|y=cos x = 0,

∂y

y=cos x = ex/2 cos x.

Уравнение (1.1) приведено к каноническому виду при помощи указанной подстановки (ξ, η). Завершить пример, определив частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

I 1.164.

u|x=0 = 1,

I 1.165.

u|x=0 = 5,

I 1.166.

u|x=0 = 1,

∂2u

∂ξ∂η

∂u ∂x

∂2u

∂ξ∂η

∂u ∂x

∂2u

∂ξ∂η

∂u ∂x

− 2		∂u		= 0,	ξ = 2x + 3y,	η = 4x − 5y;

		∂ξ
		= 2.
x=0
+	1 ∂u			= 0,	ξ = 3x + 8y,	η = 4x − 5y;

	2		∂ξ
		= 7.
x=0
− 4		∂u		= 0,	ξ = 3x + 7y,	η = 4x − 5y;

		∂ξ
		= 2.
x=0

Задачи

I 1.167.

∂2u

+ 3

∂u

= 0,

ξ = 3x − 4y,

η = 5x + 6y;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|x=0 = 2,

= 3.

∂x

x=0

I 1.168.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = 2x + 3y,

η = 5x − 4y;

− 3

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|x=0 = 1,

= 1.

∂x

x=0

I 1.169.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = 5x − 6y,

η = x + 2y;

− 2

∂ξ∂η

∂η

∂u

u|x=0 = 4,

= 1.

∂x

x=0

I 1.170.

∂ u

1 ∂u

= 0,

ξ = 2x − 3y,

η = 3x + 4y;

∂ξ∂η

4 ∂η

∂u

u|x=0 = 2,

= 1.

∂x

x=0

I 1.171.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = 4x − 3y,

η = 5x + 2y;

+ 3

∂ξ∂η

∂η

∂u

u|x=0 = 3,

= 5.

∂x

x=0

I 1.172.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = 3x − 4y,

η = 3x + 5y;

− 3

∂ξ∂η

∂η

∂u

u|x=0 = y,

= 1.

∂x

x=0

I 1.173.

∂ u

+ 2

∂u

= 0,

ξ = 2x + 3y,

η = 3x + 5y;

∂η

∂ξ∂η

∂u

u|y=0 = 2x, ∂y

y=0 = 3.

I 1.174.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = 3x + y,

η = 2y − 5x;

− 4

∂ξ∂η

∂η

46 Глава I. Метод характеристик

∂u

= 4.

u|y=0 = 3x + 5,

∂y

y=0

I 1.175.

∂ u

= 0,

ξ = x

, η = y;

∂ξ∂η

∂u

u|x=1 = 3y3 + 5,

∂x

x=1 = 3y + 1.

I 1.176.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = x2y3,

η = x;

∂ξ∂η

3η ∂ξ

∂u

u|y=1 = 2x,

∂y

y=1 = 3x2 + 1.

I 1.177.

∂ u

2 ∂u

= 0,

ξ = y

η = x;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|y=1 = 2x2,

∂y

y=1 = 3x + 1.

I 1.178.

∂ u

4 ∂u

= 0,

ξ = xy

η = y;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|x=1 = 3y,

∂x

x=1 = 2 + 3y.

I 1.179.

∂ u

1 ∂u

= 0,

ξ = x

η = x;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|y=1 = 2x3,

∂y

y=1 = 3x.

I 1.180.

∂ u

4 ∂u

= 0,

ξ = y

η = y;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

= 3y2.

u|x=1 = 1 + 2y,

∂x x=1

I 1.181.

∂ u

∂u

= 0,

ξ = x3y4,

η = y;

∂ξ∂η

3 η ∂ξ

∂u

u|x=1 = 3y5,

∂x

x=1 = 3y4.

Задачи

I 1.182.

∂2u

4 ∂u

= 0,

ξ = x3y4,

η = y;

∂ξ∂η

3η ∂ξ

∂u

u|x=1 = y,

∂x

x=1 = 3y + 2.

I 1.183.

∂ u

3 ∂u

= 0,

ξ = x

η = y;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|x=1 = 3y2,

∂x

x=1 = 3y + 2.

I 1.184.

∂ u

+ 9

∂u

= 0,

ξ = y2x3,

η = x;

∂ξ∂η

2η ∂ξ

∂u

u|y=1 = x3,

∂y

y=1 = x2 − 2.

I 1.185.

∂2u

2 ∂u

−

= 0,

ξ = x2y3,

η = x;

∂ξ∂η

∂ξ

∂u

u|y=1 = x2 + 1,

∂y

y=1

= x.

I 1.186.

∂2u

∂u

= 0,

ξ = x3y4,

η = x;

∂ξ∂η

3η ∂ξ

∂u

u|y=1 = 4x2,

∂y

y=1 = 6x.

В следующих задачах требуется найти решения заданных уравнений по заданных значениям φ(x), ψ(x) искомых решений на дугах пары независимых характеристик.

I 1.187.	∂2u		∂2u
		=			,	u(x, y) = φ(x) на y + x = 0,
	∂x2		∂y2
u(x, y) = ψ(x) на y − x = 0,								φ(0)	= ψ(0).
I 1.188.	∂2u	+ 6		∂2u		+ 5	∂2u	= 0,	u(x, y) = φ(x) на y − x = 0,
	∂x2			∂x∂y			∂y2
u(x, y) = ψ(x) на 5x − y = 0,								φ(0) = ψ(0).

Глава I. Метод характеристик

I 1.189.

∂2u

∂2u ∂2u

+ 6

+ 5

= 0,

u(x, y) = φ(x) на y = 5x + 3,

∂x2

∂x∂y

∂y2

u(x, y) = ψ(x) на y = x − 1,

φ(−1) = ψ(−1).

I 1.190.

∂2u

∂2u ∂2u

− 6

+ 8

= 0,

u(x, y) = φ(x) на y + 4x = 0,

∂x2

∂x∂y

∂y2

u(x, y) = ψ(x) на y + 2x + 2 = 0,

φ(1) = ψ(1).

I 1.191.

∂2u

+ 2

−

= 0,

u(x, y) = φ(x) на x − y − 1 = 0,

∂x2

∂x∂y

∂y2

u(x, y) = ψ(x) на x + 3y + 1 = 0,

φ (1/2) = ψ (1/2).

I 1.192.

∂2u

−

+ 3

= 0, u(x, y) = φ(x) на x + 2y + 1 = 0,

∂x2

∂x∂y

∂y2

u(x, y) = ψ(x) на 3x + 2y + 2 = 0,

φ (−1/2) = ψ (−1/2).

I 1.193.

∂2u

1 ∂2u

= 0,

(x > 0), u(x, y) = φ(x) на y−1 = 0,

+2x

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

u(x, y) = ψ(x) на x2 − y = 0,

φ(1) = ψ(1).

I 1.194.

∂2u

= 0,

(y > 0),

u(x, y) = φ(x) на y − x2 = 0,

+ 2x

∂x∂y

∂y2

u(x, y) = ψ(y) на x − 2 = 0,

φ(2) = ψ(4).

I 1.195.

∂2u

√

= 0,

(x > 0),

u(x, y) = φ(x) на y − x = 0,

∂x2

∂x∂y

u(x, y) = ψ(x) на y − 2 = 0,

φ(4) = ψ(4).

I 1.196.

∂2u

1 ∂u

= 0,

(x > 0),

u(x, y) = φ(x) на y −x2 = 0,

−4x2

−

∂x2

∂y2

∂x

u(x, y) = ψ(x) на y + x2 − 2 = 0,

φ(1) = ψ(1).

I 1.197.

∂2u

1 ∂u

∂u

+ 2 sh x

−

− th x

= 0,

∂x2

∂x∂y

∂y2

ch x

∂y

∂x

u(x, y) = φ(x) на y − ex = 0,

u(x, y) = ψ(x) на y − e−x = 0,

φ(0) = ψ(0).

Глава II

Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

Вглаве II рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения гиперболического типа, решаемые методом Фурье (методом разделения переменных). В качестве математических моделей берутся уравнения малых колебаний однородных струн или стержней, являющиеся линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Начально-краевая задача ставится для струн и стержней конечной длины и формулируется следующим образом.

Вобласти 0 < x < ℓ, t > 0 найти решение уравнения

∂2u	= A	∂2u	+ B	∂u	+ C	∂u	+ Du + g(x, t),
∂t2		∂x2		∂t		∂x

удовлетворяющее начальным условиям

u(x, 0) = f(x),	∂u	(x, 0) = F (x), 0 < x < ℓ
	∂t

и краевым условиям при x = 0, x = ℓ, продиктованным характером поставленной физической задачи.

В приведенном уравнении A, B, C, D — постоянные. Уравнение будет гиперболическим, если A > 0 (в дальнейшем A = a2, a > 0), g(x, t) — известная функция, не равная нулю при воздействии на физический объект внешней силы.

50	Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

§ 1. Уравнение колебания струны

Струна — туго натянутая нить, практически нерастяжимая, но легко изгибаемая. Пусть она имеет длину ℓ и в положении равновесия занимает отрезок [0, ℓ] оси Ox. Изучаются малые поперечные колебания. Вводим неизвестную функцию u(x, t), равную отклонению точки с абсциссой x от положения равновесия в момент времени t. Известны физические параметры струны: ρ — линейная плотность, T — натяжение струны, p(x, t) — внешняя сила, рассчитанная на единицу длины. Без вывода (см. книги [6, 11]) приведем уравнение колебания (пока без учета сопротивления окружающей среды):

ρ	∂2u	= T	∂2u	+ p(x, t).	(1.1)
	∂t2		∂x2

Если предположить, что сопротивление среды пропорционально ско-

рости движения, т. е. равно k			∂u		, k > 0, то уравнение (1.1) перепишется
рости движения, т. е. равно k			∂t		, k > 0, то уравнение (1.1) перепишется
в виде			∂t
в виде
	∂2u			∂u			∂2u		(1.2)
ρ		+ k				= T		+ p(x, t).
ρ	∂t2	+ k				= T	∂x2	+ p(x, t).
	∂t2			∂t			∂x2

В условиях «малости» колебаний нетрудно показать, что натяжение T — постоянная величина. Предполагая в дальнейшем, что струна однородна, как следствие получим постоянство плотности ρ. Разделим урав-

нение (1.1) на ρ и введем параметр a = T/ρ, после чего (1.1) примет
вид		∂2u				∂2u	√
			= a2				+ g(x, t),		(1.3)
		∂t2				∂x2

где g(x, t) = p(x, t)/ρ.
Та же операция с уравнением (1.2) дает такой результат:
	∂2u	+ 2ν		∂u	= a2		∂2u	+ g(x, t).	(1.4)
	∂t2			∂t			∂x2

Здесь для удобства положили 2ν = k/ρ.

Если внешняя сила отсутствует, p(x, t) = 0, то колебания называются собственными или свободными. Они описываются уравнением

∂2u	= a2	∂2u	(1.5)
∂t2		∂x2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 315 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]