Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Задачи

I 1.6. 4

∂2u

−

2(x − y)

+ (1 − xy)

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

в полосе 2 < x + y < 5.

I 1.7. x2

∂2u ∂2u

∂2u

∂u ∂u

+ 2x

+ y

−

= 0

∂x2

∂y2

∂x∂y

∂x

∂y

в кольце 1 < x2 + y2 < 7.

I 1.8. x

∂2u

∂u

∂2u

∂u

+ 6

+ (x + y)

− y

= 0

∂x2

∂x

∂y2

∂y

в квадрате 0 < x < 2, 0 < y < 2.

I 1.9. 6

∂2u

∂u

+ y

+ x

= 0

∂x∂y

∂x2

∂y2

∂y

в квадрате 1 < x < 2, 2 < y < 3.

I 1.10.

∂u

∂u ∂2u

∂2u

+ 3

− (x2 − 2)

− 2y

= 0

∂x

∂y

∂x2

∂y2

∂x∂y

в круге x2 + y2 < 1.

I 1.11.

∂2u

− 4x

∂2u

+ 2y

∂2u

+ y

∂u

− u = 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

в прямоугольнике 1 < x < 3, 4 < y < 8.

I 1.12.

∂2u

− 4x

∂2u

+ 2y

∂2u

+ y

∂u

− u = 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

в прямоугольнике 5 < x < 9, −1 < y < 1.

Указать одну из подстановок, приводящих данное уравнение к каноническому виду, указать тип уравнения и ожидаемый канонический вид.


I 1.13.	2	∂2u	− 2		∂2u		+	∂2u	= 0.
		∂x2			∂x∂y			∂y2
I 1.14.	2	∂2u	−	∂2u		− 6		∂2u	= 0.
		∂x2		∂x∂y				∂y2

I 1.15.

∂2u

− 10

∂2u

+ 25

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.16.

∂2u

+ e2x

∂2u

∂u

= 0.

+ y

− x

∂x2

∂y2

∂y

∂x

Глава I. Метод характеристик

I 1.17. e2y

∂2u

+ 2xey

∂2u

+ x2

∂2u

= 0.

∂y2

∂x2

∂x∂y

I 1.18.

∂2u

+ x(2y − 1)

− 2x2

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.19. 9y4

∂2u

+ 6y2 sin x

∂2u

+ sin2 x

∂2u

= 0.

∂x∂y

∂x2

∂y2

I 1.20.

∂2u

− 2xy

+ (4 + y2)

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.21.

∂2u

= 0.

+ (ex − y)

− ex

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.22.

∂2u

+ (1 + x tg x)

∂2u

+ tg x

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.23.

cos2 y

∂2u

− 2 sin x · cos y

∂2u

+ sin2 x

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.24.

∂2u

= 0.

+ (2x2 − y2)

− 2y2

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.25.

∂2u

= 0.

+ 2 cos2 y

+ cos4 y

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.26. sin2 y

∂2u

+ cos2 x

∂2u

= 0.

∂x2

∂y2

I 1.27.

∂2u

∂u

= 0.

− 2x2y

+ y2

+ 3

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

I 1.28.

sin4 x

∂2u

+ 2 sin2 x

∂2u

∂2u ∂u

∂u

= 0.

−

+ sin x

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂x

I 1.29. e2x

∂2u

+ 2

∂2u

+ 2e−2x

∂2u

∂u

= 0.

∂y2

∂x

∂x2

∂x∂y

I 1.30.

cos4 x

∂2u

+ sin4 y

∂2u

∂u

= 0.

− 3

∂x2

∂y2

∂y

I 1.31.

tg2 x

∂2u

+ y2

∂2u

∂u

= 0.

− 2y tg x

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

Задачи

I 1.32.

e2y

∂2u

+ 3ey

∂2u

+ ey

∂u ∂u

= 0.

+ 2

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.33.

∂2u

∂2u ∂u 1 ∂u

+ 4x2

+ 5

−

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.34.

sin2 y

∂2u

∂u ∂u

= 0.

−

4 sin y

+ 4

+ 2 cos y

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.35.

∂2u

∂u

+ 2 ctg x

+ ctg2 x

− cos x

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

I 1.36.

∂2u

∂u

= 0.

tg2 x

+ ctg2 y

− sin x

+ 2 cos y

∂x2

∂y2

∂x

∂y

I 1.37.

∂2u

(x + y)

+ 2y

+ (y

− x)

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.38.

∂2u

(x2 + 9)

− 2xy

+ y2

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.39. x

∂2u

+ (x + x2 + 2y)

∂2u

+ (x2 + 2y)

∂2u

= 0.

∂x∂y

∂y2

∂x2

I 1.40. x2 ∂2u − (1 + xy + x2) ∂2u + (xy + 1)∂2u = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y2

Привести к каноническому виду.

I 1.41.

∂2u

= 0.

∂x∂t

∂t2

I 1.42.

∂2u

∂2u ∂2u

− 2

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.43.

∂2u

∂u ∂u

= 0.

−

− 2

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.44.

∂2u

− 6

∂2u

∂2u ∂u

− 2

∂u

= 0.

+ 8

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.45.

∂2u

∂2u ∂u ∂u

− 2

+ 2

−

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

Глава I. Метод характеристик

I 1.46.

∂2u

∂2u ∂u ∂u

+ 2

−

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.47.

∂2u

∂u ∂u

= 0.

+ 4

+ 2

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.48.

∂2u

∂u ∂u

= 0.

− 6

+ 3

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.49.

∂2u

∂u ∂u

= 0.

− 8

+ 3

+ 2

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.50.

∂2u

∂2u ∂u

∂u

= 0.

+ 6

+ 9

+ 3

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.51.

∂2u

− 2

∂2u

∂2u ∂u ∂u

= 0.

+ 5

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.52.

∂2u

∂2u ∂u

∂u

= 0.

+ 4

+ 2

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.53.

∂2u

∂2u ∂u ∂u

+ 6

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂2u

∂u ∂u

I 1.54.

+ 2

+ 6

(

−

) = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.55.

∂2u

∂u

− 12

+ 4

+ 3

− 2

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂2u

∂u

I 1.56.

− 8

+ 5

+ 3

(

−

) = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂2u

∂u

I 1.57.

+ 5

− 2

+ 7

(

+ 2

) = 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.58.

∂2u

− 2

∂2u

∂u

+ cu = 0.

+ α

+ β

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.59.

∂2u

+ 2

∂2u

− 3

∂2u

+ 2

∂u

+ 6

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.60.

∂2u

∂u ∂u

= 0.

−

− 3

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

Задачи

I 1.61.

x ∂2u y ∂2u 1 ∂u 1 ∂u

−

= 0.

y ∂x2

∂y2

∂x

∂y

I 1.62. (1 + x2)

∂2u

+ (1 + y2)

∂2u

+ x

∂u

+ y

∂u

= 0.

∂x2

∂y

∂y2

∂x

I 1.63.

∂2u

∂u

−

4x3

−

= 0.

∂x2

∂y2

∂x

I 1.64.

∂2u

− 6xy

∂2u

+ 9y2

∂2u

+ 12y

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.65.

∂2u

1 ∂u

4y2

−

= 0.

∂x2

∂y2

∂y

I 1.66.

∂2u

−

∂2u

+ (1 + ey)

∂u

= 0.

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.67.

4y2

∂2u

∂2u 1 ∂u

= 0.

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.68. y2

∂2u

+ 2xy

∂2u

+ 2x2

∂2u

+ y

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y

∂y2

I 1.69. cos2 y

∂2u

∂2u ∂2u

−x cos2 y

∂u

= 0.

−2 cos y

+ (tg y −x cos y)

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.70.

∂2u

+ 2 sin x

− cos2 x

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂2u

sin y

∂u

I 1.71.

sin y

+ (

− ctg y)

= 0.

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.72.

9x2

∂2u

−

6xy

∂2u

+ y2

∂2u

+ y

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.73.

∂2u

− 2x sin y

+ sin2 y

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.74. x2

∂2u

+ cos4 y

∂2u

+ x

∂u

= 0.

∂x2

∂y2

∂x

I 1.75. sin2 y

∂2u

+ 2 sin y

∂2u

+ cos y

∂u

= 0.

∂x2

∂y2

∂x

∂x∂y

Глава I. Метод характеристик

I 1.76.

e2y

∂2u

+ 3ey

∂2u

∂u

= 0.

+ 2

− 2

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.77. y2

∂2u

+ 4

∂2u

∂u

= 0.

∂x2

∂y2

y ∂y

I 1.78.

∂2u

∂u e2x ∂u

− 2yex

+ e2x

− y2

−

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.79.

∂2u

+ 8x2

∂2u 1 ∂u ∂u

= 0.

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.80. y2

∂2u

+ 4x2y

∂2u

+ 4x4

∂2u

+ 2x2

∂u

+ 4xy

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

∂y

∂y2

I 1.81.

∂2u

∂2u ∂2u

∂u

cos2 y

− 4 cos y

+ 4

+ 2 sin y

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

I 1.82.

∂2u

+ ey

∂2u

e2y

∂2u

e2y

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.83.

∂2u

−

2 cos x

− sin2 x

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.84.

sin2 x

∂2u

− 2y sin x

∂2u

+ y2

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

I 1.85.

cth2 x

∂2u

+ y2

∂2u

∂u

= 0.

− 2y cth x

+ 2y

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.86.

∂2u

∂u

= 0.

tg2 x

− 2y tg x

+ y2

+ tg3 x

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

Привести уравнения к каноническому виду в каждой из областей, где

тип уравнения сохраняется.

I 1.87.

∂2u

= 0.

∂x2

∂y2

I 1.88.

∂2u

∂u

= 0, α = const.

+ y

+ α

∂x2

∂y2

∂y

I 1.89.

∂2u

+ x

= 0.

∂x2

∂y2

Задачи

I 1.90.

∂2u

+ y

= 0.

∂x2

∂y2

I 1.91. Найти общее решение уравнений в задачах:

а) 1.41, б) 1.42, в) 1.43, г) 1.44, д) 1.46, е) 1.48, ж) 1.49, з) 1.50,

и) 1.52, к) 1.53, л) 1.55, м) 1.57, н) 1.59, о) 1.60, п) 1.66, р) 1.71.

Найти общее решение следующих уравнений.

I 1.92.

∂2u

∂2u ∂u ∂u

+ 4

−

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.93.

∂2u

∂u

− sin x

+ (sin x − ctg x)

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

I 1.94.

∂2u

− y

∂2u

+ 7

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

I 1.95.

∂2u

+ 4x2

∂2u ∂u

∂u

= 0.

−

+ 2(x − 1)

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.96.

∂2u

∂u

− y

+ 2

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

I 1.97.

∂2u

∂u

= 0.

− y

− 3

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.98.

∂2u

+ 4x2

∂2u 1 ∂u

= 0.

−

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

I 1.99.

∂2u

− 3y

∂2u

− 5

∂u

= 0.

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.100. x

∂2u

− y

∂2u

+ 4

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

I 1.101.

∂2u

+ cos2 x

∂2u

∂u

= 0.

− 2 cos x

− 2

+ (2 cos x + sin x)

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.102. x

∂2u

+ y

∂2u

= 0.

∂x2

∂x∂y

Глава I. Метод характеристик

1.103.

∂2u

∂u

= 0.

− y

+ 3

∂x∂y

∂y2

∂y

∂2u

∂u

= 0.

1.104. x2

− 2xy

+ y2

+ x

+ y

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂2u

1.105. t2

− x2

= 0.

∂t2

∂x2

1.106.

∂2u

− y

∂2u

+ 4

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

1.107.

∂2u

∂u

= 0.

− y

− 2

∂x∂y

∂y2

∂y

1.108.

∂2u

− y

∂2u

+ 5

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂x

I 1.109.

∂2u

− cos2 x

∂2u ∂u

∂u

= 0.

+ 2 sin x

+ (sin x + cos x + 1)

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.110.

∂2u

+ 2 sin x

∂2u

− cos2 x

∂2u

+ cos x

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.111.

∂2u

−

2 sin x

∂2u

− (3 + cos2 x)

∂2u

− cos x

∂u

= 0.

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.112.

∂2u

∂2u ∂u

∂u

= 0.

−2 sin x

−(3+cos2 x)

+(2−sin x−cos x)

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

I 1.113. x2

∂2u

− 3xy

∂2u

+ 2y2

∂2u

∂u

= 0.

+ 3y

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

I 1.114.

∂2u

∂u

= 0.

3x2

− 16xy

+ 16y2

+ 15x

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

I 1.115.

∂2u

2x ∂2u

+ x2 ∂2u 2 ∂u

+ y2 − x2 ∂u

x3 = 0

−

∂x2

y ∂x∂y

y2 ∂y2

∂x

∂y

∂2u

∂u

I 1.116.

− 2x

(

−

) + 1 = 0.

∂x∂y

∂y2

x2 + y

∂x

∂y

В следующих задачах требуется найти решения указанных уравнений при задаваемых начальных условиях.

Задачи

∂2u

∂u

I 1.117. ∂x∂t

+ ∂t2 = 0

(см. задачу 1.41);

u|t=0 = 0,

∂t

t=0 = −x−1.

∂2u

∂u

I 1.118. 3

+ 5

− 2

+ 7

(

+ 2

) = 0

(см. задачу 1.57);

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|x=0 = 1,

∂x

x=0 = 3y.

I 1.119. 5

∂2u

∂2u ∂u ∂u

(см. задачу 1.53);

+ 6

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|x=0 = 2y,

∂x

x=0 = 5y.

I 1.120. 3

∂2u

−

∂2u ∂u ∂u

(см. задачу 1.46);

+ 2

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|x=0 = 2y,

∂x

x=0 = 4y.

I 1.121.

∂2u

∂2u ∂u

∂u

(см. задачу 1.44);

− 6

+ 8

− 2

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|y=0 = 2x,

∂y

y=0 = 3x + 1.

∂u

I 1.122. 4

∂

= 0 (см. задачу 1.49);

∂x2

− 8

∂x∂y

+ 3

∂y2

+ 2

∂x

−

∂y

∂u

u|y=0 = 3x,

∂y

y=0 = 2x + 6.

∂u

I 1.123. 3

∂

y=0 = F (x).

− 2

−

= 0;

u|y=0 = f(x),

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂

∂u

I 1.124. 3

− 5

+ 2

= 0;

u|y=0 = f(x),

y=0 = F (x).

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂

∂u

I 1.125. 2

+ 3

− 5

= 0;

u|y=0 = f(x),

y=0 = F (x).

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂y

∂

∂u

I 1.126. 3

∂x2

− 4

∂x∂y

− 7

∂y2

= 0;

u|y=0 = f(x),

∂y

y=0 = F (x).

40 Глава I. Метод характеристик

∂2u

∂u

1.127.

∂x2

− 5

∂x∂y

+ 6

∂y2

= 0;

u|y=0 = f(x),

∂y

y=0

= F (x).

∂

∂u

1.128.

− 4

− 3

= 0

(см. задачу 1.60);

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂u

u|y=0 = φ(x),

∂y

y=0 = ψ(x).

∂

∂u

1.129.

∂

− 5

−

(см. задачу 1.92);

+ 4

= 0

∂x2

∂x∂y

∂y2

∂x

∂y

∂u

= F (x).

u|y=0 = f(x),

∂y

y=0

1.130. x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.96);

− y

+ 2

= 0

∂x2

∂x∂y

∂x

∂u

u|x=1 = y,

∂x

x=1= 2y3.

1.131.

∂

∂ u

∂u

(см. задачу 1.97);

∂x∂y

− y

∂y2

−

∂y

= 0

∂u

u|y=1 = x4,

∂y

y=1= 3x3.

1.132. x

∂ u

∂u

(см. задачу 1.100);

− y

+ 4

= 0

∂x2

∂x∂y

∂x

∂u

u|x=1 = 3y4,

∂x x=1

= 2y5.

∂ u

∂u

(см. задачу 1.102);

= 2y + 1,

1.133. x∂x2

u|x=1

+ y∂x∂y

= 0

∂x

x=1= y.

1.134.

∂ u

− y

∂ u

∂u

(см. задачу 1.103);

∂x∂y

∂y2

+ 3

∂y

= 0

∂u

u|y=1 = 4x3,

∂y

y=1 = 8x.

I 1.135. 3x ∂2u − y∂2u − 2∂u = 0 (см. задачу 1.107);

∂x∂y ∂y2 ∂y

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]