Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

wr 1 wz

§ 3.. Краевые задачи в круговых областях для уравнений Лапласа и Пуассона

141

С учетом формулы (3.5) имеем

w(r, φ) = a20 + ∑∞ rn(an cos nφ + bn sin nφ).

n=1

Отсюда

w(1, θ) = a20 + ∑∞ (an cos nθ + bn sin nθ) = −18(cos θ + sin θ).

n=1

В итоге a1 = −1/8, b1 = −1/8, все остальные an и bn равны нулю. Таким

образом,

w = −18(r cos φ + r sin φ) = −18(x + y),

u(x, y) =	1	(x3 + x2y + xy2 + y3 − x − y) =	(x + y)	(x2 + y2 − 1).

	8		8

Изложенный вариант нахождения частного решения уравнения (3.7) можно применить в задачах 4.42–4.47. Если же f(x, y) имеет непростой вид, то лучше предложить более общий и надежный способ.

Уравнение (3.7) и слагаемое v сразу записать в полярных координатах:

	∂2u		1 ∂u		1 ∂2u			(3.9)
		+		+			= f(r, φ),
	∂r2				r2	∂φ2
			r ∂r
v = v(r, φ).								(3.10)

Если f(r, φ) = g(r), то v ищется как функция r, v = v(r), являясь частным решением уравнения

rv′′(r) + v′(r) = rg(r), → (rv′(r))′ = rg(r).

(3.11)

Если решение уравнения (3.9) ищется в кольце R1 < r < R2, то при интегрировании (3.11) постоянные можно считать нулевыми. Для круга r < R

v(r) = τg(τ) dτ.

Предлагаем решить этим способом пример 4.46.

142	Глава IV. Уравнения эллиптического типа

В общем случае применяют идею метода собственных функций. Разлагаем f(r, φ) в полный ряд Фурье:

	a0	∞
		∑
f(r, φ) =		+ (an cos nφ + bn sin nφ),
	2	n=1
		n=1
где
		2π
an = an(r) =	1	w f(r, θ) cos nθ dθ,	n = 0, 1, . . . ,
an = an(r) =	π	w f(r, θ) cos nθ dθ,	n = 0, 1, . . . ,
		0
		2π
bn = bn(r) =	1	w f(r, θ) sin nθ dθ,	n	N, —
bn = bn(r) =		w f(r, θ) sin nθ dθ,	n	N, —
	π	0
		0

известные коэффициенты. Функцию v(r, φ) записываем в виде ряда с неизвестными коэффициентами:

v(r, φ) = A0(r) + ∑∞ (An(r) cos nφ + Bn(r) sin nφ). 2

n=1

Подставляя v(r, φ) в (3.9) и приравнивая нулевые слагаемые и коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получаем совокупность дифференциальных уравнений (однородные или неоднородные уравнения Эйлера). Однородные уравнения дают нулевые An(r), Bn(r). При решении задач для круга следует брать решения, ограниченные в точке r = 0.

Задачи

Задачи для уравнений Лапласа в прямоугольнике

I 4.1. Показать, что задачу Дирихле для прямоугольника 0 < x < a,

0 < y < b:

∆u = 0,

u(0, y) = ψ(y), u(a, y) = F (y), 0 6 y 6 b; u(x, 0) = f(x), u(x, b) = φ(x), 0 6 x 6 a,

Задачи	143
причем
ψ(0) = f(0), ψ(b) = φ(0), F (0) = f(a), F (b) = φ(a),	(A)

можно привести к такой же задаче с условием равенства нулю значений граничных функций в угловых точках (условия (A) обеспечивают непрерывность граничного значения искомой функции).

I 4.2. Решить задачу Дирихле для прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b:

∆u1 = 0;

u1(0, y) = ψ(y), u1(a, y) = F (y), 0 6 y 6 b;

u1(x, 0) = 0,

u1(x, b) = 0,

0 6 x 6 a;

ψ(0) = 0,

ψ(b) = 0,

F (0) = 0,

F (b) = 0;

∆u = 0;

2πy

3πy

u(0, y) =

sin

−

sin

u(x, 0) = 0;

u(a, y) =

sin

4πy

sin

5πy

u(x, b) = 0;

∆u = 0;

2πy

4πy

u(0, y) = 2 sin

− 3 sin

u(x, 0) = 0;

u(a, y) = 5 sin

2πy

+ sin

6πy

u(x, b) = 0.

I 4.3. Решить задачи для прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b:

∆u = 0;

u(0, y) = Ay,

u(a, y) = 0;

u(x, 0) = 0,

u(x, b) = 0;

∆u = 0;

u(0, y) = 0, u(a, y) = hy;

u(x, 0) = 0,

u(x, b) = 0;

∆u = 0;

u(0, y) = Ay,

πy

3πy

; u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0.

u(a, y) = 3 sin

− 2 sin

144 Глава IV. Уравнения эллиптического типа

I 4.4. Решить задачи Дирихле для прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b: 1) ∆u2 = 0;

u2(0, y) = 0, u2(a, y) = 0, u2(x, 0) = f(x), u2(x, b) = φ(x),

0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b;

f(0) = 0, f(a) = 0, φ(0) = 0, φ(a) = 0;

2)∆u = 0;

u(0, y) = 0, u(x, 0) = 3 sin πax − sin 3πax; u(a, y) = 0, u(x, b) = 12 sin 2πax;

3)∆u = 0;

u(0, y) = 0, u(x, 0) = 13 sin 2πax + 2 sin 3πax; u(a, y) = 0, u(x, b) = 2 sin 3πax − 12 sin 5πay.

I4.5. Решить задачи для прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b:

1)∆u = 0;

	u(0, y) = 0,	u(a, y) = 0;	u(x, 0) = Ax;	u(x, b) =	3π	sin			3πx		;
	u(0, y) = 0,	u(a, y) = 0;	u(x, 0) = Ax;	u(x, b) =		sin				a	;
					a					a
2)	∆u = 0;
	u(0, y) = 0,	u(a, y) = 0;	u(x, 0) = 0,	u(x, b) = Ax(a − x);
3)	∆u = 0;						2πx
	u(0, y) = 0,	u(a, y) = 0;	u(x, 0) = u0,	u(x, b) = 3 sin			2πx			.
	u(0, y) = 0,	u(a, y) = 0;	u(x, 0) = u0,	u(x, b) = 3 sin						.
I 4.6. Решить							a
I 4.6. Решить		задачу Дирихле 4.1 для прямоугольника						0 < x < a,
0 < y < b, считая выполненными условия:
φ(0) = f(0) = 0,		ψ(b) = φ(0) = 0, F (0) = f(0) = 0, F (b) = φ(a) = 0.

I 4.7. Решить задачи Дирихле для прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b,

если заданы краевые условия:
1) u(0, y) = Ay(b − y), u(x, 0) = B sin	πx	, A, B — const;

	a
u(a, y) = 0; u(x, b) = 0;

Задачи

145

3πy

4πy

πx

3πx

u(0, y) = 2 sin

− 3 sin

u(x, 0) = 2 sin

+ sin

;

u(a, y) = 0,

u(x, b) = 0;

u(0, y) =

sin

2πy

u(x, 0) = 3 sin

πx

;

u(a, y) = 3 sin

3πy

u(x, b) =

sin

4πx

;

u(0, y) = Ay(b − y), u(x, 0) = 0;

u(a, y) = 0,

u(x, b) =

3π

sin

3πx

I 4.8. Решить задачи для прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b:

∆u = 0;

3πx

5πx

u(0, y) = hy,

u(x, 0) = 3 sin

−

sin

;

u(a, y) = 0;

u(x, b) = 0;

∆u = 0;

u(0, y) = 0,

u(x, 0) = 0;

u(a, y) = Ay,

u(x, b) = Bx(a − x);

∆u = 0;

u(0, y) = 0,

u(x, 0) = 2 sin

3πx

;

u(a, y) = u0,

u(x, b) = 3 sin

πx

I 4.9. Найти распределение потенциала электростатического поля u(x, y) внутри прямоугольника 0 < x < a, 0 < y < b, у которого вдоль стороны x = 0, 0 6 y 6 b потенциал равен U0, а три другие стороны заземлены. Электрические заряды внутри прямоугольника отсутствуют.

I 4.10. Решить

смешанные

задачи

для

прямоугольника 0 < x < a,

0 < y < b:

∆u1 = 0;

u1(0, y) = f(y), u1(a, y) = F (y);

∂u1(x, 0)

= 0,

∂u1(x, b)

= 0;

∂y

∆u2 = 0;

u2(0, y) = 0,

u2(a, y) = 0;

∂u2(x, 0)

= φ(x),

∂u2(x, b)

= ψ(x);

∂y

146

Глава IV. Уравнения эллиптического типа

∆u3 = 0;

u3(0, y) = f(y),

∂u3(x, 0)

= φ(x);

∂y

u3(a, y) = F (y),

∂u3(x, b)

= ψ(x);

∂y

∆u = 0;

u(0, y) = 0,

∂u(x, 0)

= 2 sin

πx

−

sin

2πx

;

∂y

u(a, y) = 0,

∂u(x, b)

= 3 sin

πx

sin

3πx

;

∂y

∆u = 0;

u(0, y) = 0,

u(a, y) = 0;

∂u(x, 0)

= u0,

∂u(x, b)

= 0;

∂y

∆u = 0;

u(0, y) = u0,

∂u(x, 0)

= sin

3πx

;

∂y

u(a, y) = sin2

πy

∂u(x, b)

= 0;

∂y

∆u = 0;

u(0, y) = 0,

u(a, y) = Ay;

∂u(x, 0)

= 0,

∂u(x, b)

= 2 sin

πx

;

∂y

∆u = 0;

u(0, y) = b − y,

u(a, y) = 0;

∂u(x, 0)

= 0,

∂u(x, b)

2πx

;

= 3 sin

∂y

∆u = 0;

u(0, y) = 0,

∂u(x, 0)

= 0;

∂y

u(a, y) =

cos

4πy

∂u(x, b)

= 2 sin

πx

;

∂y

10)

∆u = 0;

∂u(x, 0)

4πx

u(0, y) = b − y,

sin

;

∂y

Задачи					147
u(a, y) = u0,	∂u(x, b)	=	1	sin	4πx	.
	∂y
			4		a
I 4.11. Стороны y = 0 и y				= b прямоугольной пластинки 0 6 x 6 a,

0 6 y 6 b теплоизолированы, а на других сторонах поддерживается температура

u(0, y) = A,

u(a, y) = Ay,

0 6 y 6 b, A — const.

Найти стационарную температуру внутри пластины.

4.12. Решить

смешанные

задачи

для прямоугольника 0 < x < a,

0 < y < b:

∆u = 0;

2πy

3πy

u(0, y) =

sin

−

sin

u(x, 0) = 0;

∂u(a, y)

sin

4πy

sin

5πy

u(x, b) = 0;

∂x

∆u = 0;

2πy

4πy

πx

;

u(0, y) = 2 sin

− 3 sin

u(x, 0) = 2 sin

∂u(a, y)

= 5 sin

2πy

+ sin

6πy

u(x, b) = 0;

∂x

∆u = 0;

u(0, y) = Ay,

u(x, 0) = 0;

∂u(a, y)

= 0;

u(x, b) = 2 sin

3πx

;

∂x

∆u = 0;

u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0;

∂u(a, y)

= By; u(x, b) = 4 sin

5πx

;

∂x

5)∆u = 0;

u(0, y) = Ay, u(x, 0) = 2 sin 32πax;

148						Глава IV. Уравнения эллиптического типа
	∂u(a, y)	= 3 sin	πy	− 2 sin	3πy	; u(x, b) = 0.

	∂x		b		b

I 4.13. Найти гармоническую в прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b функцию u(x, y) по одному из следующих условий:

πx

3πx

u(0, y) = 0;

u(x, 0) = 3 sin

− sin

;

u(a, y) = 0;

∂u(x, b)

sin

2πx

;

∂y

u(0, y) = 0;

u(x, 0) =

sin

2πx

+ 2 sin

3πx

;

3πy ∂u(x, b)

3πx 1

5πx

u(a, y) = 2 sin

;

= 2 sin

−

sin

;

∂y

u(0, y) = 3 sin

πy

;

u(x, 0) = Ax;

u(a, y) = 0;

∂u(x, b)

3π

sin

3πx

;

∂y

u(0, y) = 0; u(x, 0) = 0;

5πy

∂u(x, b)

u(a, y) = 5 sin

;

= Ax(a − x).

∂y

I 4.14. Смешанная

задача: найти гармоническую в

прямоугольнике

0 < x < a, 0 < y < b функцию u(x, y) по одному из следующих условий:

u(x, 0) = f(x); u(0, y) = φ(y);

∂u(x, b)

= F (x);

∂u(a, y)

= ψ(y); φ(0) = f(0) = 0;

∂y

∂x

u(x, 0) = f(x);

∂u(0, y)

= ψ(y);

∂x

u(x, b) = φ(x);

∂u(a, y)

= F (y);

∂x

u(x, 0) = A; u(x, b) = Bx;

∂u(0, y)

= 0;

∂u(a, y)

= 0; A, B — const;

∂x

Задачи

149

u(x, 0) = 0; u(x, b) = Bx;

∂u(0, y)

= 0;

u(a, y) = 0;

B — const;

∂x

u(x, 0) = A sin

πx

; u(x, b) = 0;

u(0, y) = B;

∂u(a, y)

= 0;

A, B — const;

∂x

u(0, y) = 3 sin

3πy

; u(x, 0) = u0;

∂u(a, y)

= y;

∂u(x, b)

= 3 sin

3πx

;

∂x

∂y

u(0, u) = 0;

∂u(x, 0)

= φ(x);

∂x

	∂u(a, y)		+ hu(a, y) = 0; u(x, b) = ψ(x).
	∂x

I 4.15. Решить в прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b задачи Неймана для ∆u = 0:

∂u1(0, y)

= 0;

∂u1(x, 0)

= φ1(x);

∂u1(a, y)

= 0;

∂u1(x, b)

= 0;

∂x

∂y

∂x

∂y

∂u2(0, y)

= 0;

∂u2(x, 0)

= 0;

∂u2(a, y)

= 0;

∂u2(x, b)

= φ2(x);

∂x

∂y

∂x

∂y

∂u3(0, y)

= ψ1

(y);

∂u3(x, 0)

= 0;

∂u3(a, y)

= 0;

∂u3(x, b)

= 0;

∂x

∂y

∂x

∂y

∂u4(0, y)

= 0;

∂u4(x, 0)

= 0;

∂u4(a, y)

= ψ2(y);

∂u4(x, b)

= 0.

∂x

∂y

∂x

Указать условия разрешимости каждой из этих задач.

I 4.16. Решить задачи Неймана для уравнения ∆u = 0 в прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b при следующих граничных условиях:

1)	∂u(0, y)	= ψ1(y);	∂u(x, 0)	= φ1(x);
	∂x		∂y

	∂u(a, y)	= ψ2(y);	∂u(x, b)	= φ2(x).
	∂x		∂y

Указать условие разрешимости задачи;

150

Глава IV. Уравнения эллиптического типа

∂u(0, y)

= 3 cos

4πy

;

∂u(x, 0)

cos

πx

;

∂x

∂y

∂u(a, y)

= 2 cos

5πy

;

∂u(x, b)

cos

3πx

;

∂x

∂y

∂u(0, y)

= cos

πy

;

∂u(x, 0)

= 2 cos

2πx

;

∂x

∂y

∂u(a, y)

= cos2

3πy

;

∂u(x, b)

= cos2

5πx

∂x

∂y

Задачи для уравнений Пуассона в прямоугольнике

I 4.17. Привести к задаче Дирихле для уравнения Лапласа ∆u = 0 задачу Дирихле для уравнения Пуассона: ∆u = 2, u ∂B= 0 в прямоугольнике B (0 < x < a, 0 < y < b). Решить эту задачу.

I 4.18. Найти решение уравнения Пуассона: ∆u = −2 в прямоугольнике (0 < x < a, −b/2 < y < b/2), если оно на контуре этого прямоугольника обращается в нуль.

I 4.19. Найти форму равновесия однородной прямоугольной мембраны (0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b), закрепленной по краям, если к мембране приложено нормальное давление P на единицу площади.

Указание. Задача сводится к решению уравнения Пуассона

∆u = −PT

при нулевых граничных условиях на контуре прямоугольника.

Здесь T — первоначальное натяжение мембраны, постоянное число [6, гл. VI, § 1].

I 4.20. Две стороны AC и BC прямоугольной однородной пластинки OACB покрыты тепловой изоляцией, а две другие поддерживаются при температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температуры при условии, что в пластинке выделяется тепло с постоянной плотностью Q.

Указание. Задача приводится к решению уравнения Пуассона

∆u = −Qk ,

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]