Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы III

251

3.5. 1) u(x, t) = 2

∞

h2 +

λk2

e−(aλk)2t sin λkx wℓ f(x) sin λkx dx,

ℓ(h

k=1

∑

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ;

2) u(x, t) = 2

∞ (

h2 + λk2

− h)

h2 + λk2

e−(aλk)2t sin λkx,

k=1

√λk(ℓ(h2

+ λk√) + h)

∑

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ;

∞

(

h2 + λ2

ℓ

3) u(x, t) = 2

f(x) cos λkx dx e−(aλk)

t cos λkx,

ℓ(h2 + λk2) + h w

k=1

)

∑

где λk — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h;

4) u(x, t) =

2A ∞

(1 + hℓ) cos λkℓ − 1

e−(aλk)2t cos λkx =

ℓ

k=1

cos λkℓ

) )

= 2A ∞

∑ λk (1 + hℓ ( λkℓ

(λk(1 + hℓ) −

λk2 + h2

)

λk2 + h2

e−(aλk)2t cos λkx,

ℓ h2

λ2

k=1

h + √(

+ k) √

∑

где λk — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h;

5) u(x, t) =

∞ ake−(aλk)2tXk(x),

k=1

∑

wℓ f(x)Xk(x) dx,

ak =

Xk(x) = λk cos λkx + h sin λkx,

)

h + ℓ(λk

+ h

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ + λ = 0;

6) u(x, t) =

∞ ake−(aλk)2tXk(x),

Xk(x) = λk cos λkx + h sin λkx,

k=1

∑

ℓ

(

1)k

h2 + λ2

= u0 w

w Xk2(x) dx,

ak = 2u0

−

Xk(x) dx

/ 0

k(ℓ(h +√k) + h)

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ;

∑∞

7) u(x, t) = ake−(aλk)2t(λk cos λkx + h sin λkx),

k=1

252 Ответы к задачам

wℓ

ak = f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx×

0
× (wℓ (λk cos λkx + h sin λkx)2 dx)−1					=
0
=			2	wℓ f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx,
=	ℓ(h	2	2	wℓ f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx,
	ℓ(h		+ λk) + h	0
				0

где λk — положительные корни уравнения h ctg λℓ = λ;

∑∞

8) u(x, t) = ake−(aλk)2t(λk cos λkx + h sin λkx),

k=1

wℓ

ak = f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx×

(w )−1

ℓ

× (λk cos λkx + h sin λkx)2 dx =

wℓ f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx,

ℓ(h

+ λk) + 2h

(

где λk — положительные корни уравнения ctg λℓ =

−

9) u(x, t) = ∞

ake−(aλk)2t(λk cos λkx + h sin λkx),

∑k

ak =

2u0

h2 + λk2

sin λkℓ

ℓ(h2 + λk2) + 2h (λk

2λk2

)

(

где λk — положительные корни уравнения ctg λℓ =

−

3.6. Указание. Можно сделать предварительно замену u = ve−b2t.

1) u(x, t) =

∞

w f(x) sin kπx dx

)

e−(

(

ℓ

)

+b2)t sin kπx;

∑(

ℓ

akπ

ℓ k=1

ℓ

)

;

)

Ответы к задачам главы III

253

u(x, t) = e−(

(

2ℓ

)

+b2)t sin πx

aπ

;

2ℓ

u(x, t) =

8ℓ

∞

(−1)k

e−(a2λk2+b2)t sin λkx, λk =

(2k + 1)π

;

π2

∑k

(2k + 1)2

2ℓ

a e−(

(

)

+b2)t cos kπx

u(x, t) = a0 e−b2t + ∞

ℓ

∑

akπ

k=1

ℓ

ak =

wℓ f(x) cos

kπx

dx,

k = 0, 1, 2, . . . ;

ℓ

∞	1	2 2 2
∑k
∑k	λk(ℓ(h2 + λ2) + h)e−(a λk+b )tXk(x),
5) u(x, t) = 2hu0	λk(ℓ(h2 + λ2) + h)e−(a λk+b )tXk(x),
=1		k
=1

Xk(x) = λk cos λkx + h sin λkx,

где λk — положительные корни уравнения h ctg λℓ = λ.

3.7.u(x, t) = e−3t cos 2x.

3.8.u(x, t) = −e−tex sin x + e−4tex sin 2x.

e−(

(2k

+1)πa

)

∞

sin

(2k + 1)πx

;

3.9. 1) u(x, t) = u0

4u0

ℓ

− π

∑k

2k + 1

ℓ

∞ (−1)ku2

− u1 e−(

ℓ

)

t sin

2) u(x, t) = (u2 − u1)x + u1 + 2

∑k

akπ

ℓ

)

u(x, t) = u x + 2 ∞ 1 u (1 ( 1)k) + ( 1)ku e−(

∑k

(

)

akπ

− −

− 0

ℓ

∞ 1 u (1 ( 1)k) u e−(

) t

u(x, t) = u1 (ℓ x) + 2

ℓ

∑k

(

)

akπ

−

− −

− 1

ℓ

5) u(x, t) = u1 + (u2 − u1)

ℓ

kπℓx;

sin kπℓx;

254 Ответы к задачам

+ 2

∞ 1

u )(1

(

1)k) + (

1)k+1(u

u )

e−(

ℓ

)

t sin kπx

∑k

(

)

akπ

0 − 1

− −

−

1 − 2

;

ℓ

2u0

∞ 1

kπx

∑k

6) u(x, t) = ℓ (ℓ − x) − π

ke−( ℓ

) t sin

ℓ

;

7) u(x, t) = u0 x + 2u0

ℓ

)

t sin kπx.

∞ (−1)k e−(

∑k

akπ

ℓ

2( )

(

)

(

)

πa

(

) +

3.10. u(x, t) =

−

ℓ

− 3

+ 2

6a2

ℓ

2ℓ3

∞

e−(kℓ

) t sin

kπx

∑k

ℓ

π3a2

(2k+1)

gx2

xgℓ

8gℓ2

∞

(−1)k+1

e−(

aπ

)

tsin

(2k + 1)πx

u(x, t) =

2ℓ

3.11.

−2a2

a2π2

∑k

2ℓ .

(2k + 1)2

3.12. u(x, t) =

−

xℓ

+ gx +

2a2

aπ

(2k+1)

8gℓ

∞

(−1)k+1

e−(

)

t sin

(2k + 1)πx

2ℓ

π2

∑k

2ℓ

(2k + 1)2

3.13. u(x, t) = u0x + u0e−(52ℓ )

t sin 52πℓx.

πa

3.14. u(x, t) =

(ℓx2 −

ℓ2x −

) + gx +

2a2

e−(aπ

)

t sin (2k + 1)πx

4ℓ3

∞

(

1)k+1 +

2ℓ

∑

( −

)

(2k+1)

a2π2

k=0

(2k + 1)2

(2k + 1)π

)

2ℓ

u(x, t) = Q x + u

4u0

∞

e−(aπ

2ℓ

t sin (2k + 1)πx

∑k

(2k+1)

3.15.

0 −

2k + 1

2ℓ

Ответы к задачам главы III

255

3.16. u(x, t) = u0 + 3e−(32ℓ

)

t cos 32πℓx.

πa

u(x, t) = x

ℓ + 8ℓ

∞

e−(aπ

2ℓ

)

t cos π(2n + 1)x

∑

(2n+1)

3.17.

−

π2

n=0 (2n + 1)2

+ 1 + e−(

)

2ℓ

3.18. u(x, t) = 3π2a2

(1 − e−(

2ℓ

)

t)sin 32ℓ

2ℓ

t sin 52ℓ .

4ℓ

3πa

πx

5πa

πx

3.19. u(x, t) = x + 2 + 3π2a2

(1 − e−(

2ℓ )

t)sin 32ℓ

− 5e−(

2ℓ

)

t sin 52ℓ .

4ℓ

3πa

πx

5πa

πx

3.20. u(x, t) = 2x + 1 + 3π2a2

(1 − e−(

2ℓ

)

t)sin

32ℓ

− 5e−(

2ℓ

)

t sin

52ℓ .

4ℓ2

3πa

πx

5πa

πx

3.21. u(x, t) = 2x + 1 + 9π2a2

(1 − e−(

2ℓ

)

t)sin

2ℓ

− e−(

2ℓ

)

t sin

2ℓ .

3πa

3πx

5πa

5πx

16ℓ

u(x, t) = 2x

ℓ +

∞

8ℓ

e−(aπ(2ℓ

)

t cos π(2k + 1)x

∑k

k+1)

3.22.

−

π2(2k + 1)2

ℓ

4ℓ2

πx

4ℓ2

πa

πx

3.23. u(x, t) = −

sin

+ 1 + 2x +

e−(

2ℓ ) t sin

a2π2

2ℓ

a2π2

2ℓ

+ 2e−(32ℓ )

t sin 32xℓπ.

πa

3.24. u(x, t) = 2 + 2ℓx − x2 + (

3πa)

sin 32ℓ

− (3πa)

e−(

2ℓ

)

t sin 32ℓ −

2ℓ

πx

2ℓ

3aπ

πx

− 3e−(72ℓ )

t sin 72πℓx.

aπ

3πa)

− 2 + 2e−(

3.25. u(x, t) = x + (

cos 3

ℓ

)

t cos

ℓ

−

ℓ

πx 1 1

2aπ

2πx

− (

3πa)

e−(

ℓ

)

t cos 3

ℓx.

ℓ

3aπ

256	Ответы к задачам

4πa

ℓ

7aπ

3.26. u(x, t) = 2x − 4 + 3e−(

ℓ

)

t cos

(

) cos

(e−(

ℓ

)

ℓ

7aπ

ℓ

5πa

u(x, t) = x − ℓ − (

2ℓ

) cos

3πx

5πx

3.27.

+ 2e−(

2ℓ )

t cos

3πa

2ℓ

3πa

πx

+ (

) e−(

)

2ℓ

t cos

3πa

2ℓ

3.28.

u(x, t) = gx +

A − gℓ

−

∞

e−(

+1)aπ

)

4ℓ(A − g)

(2k

t cos

(2k + 1)πx

ℓ

−

(2k + 1)2

ℓ .

π2

∑k

πx

3.29.

u(x, t) =

(1 − e−(β+(aπ/ℓ)

)t)sin

β + (aπ/ℓ)2

ℓ

∞

(−1)k

3.30. u(x, t) =

u1x

+ 2u1

h2 + λk2

e−(aλk)2t sin λkx,

+ λ2) + h)

1 + ℓh

k=1

ℓ h2

k( (

√ k

∑

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ.

3.31.

u(x, t) =

u2 − hu1

x + u

−

1 + ℓh

−

∞

h2 + λk2

−

(−1)ku2

e−a2

λk2t sin λkx,

λk(ℓ(h2 + λk2) + h)

(

h2 + λk2 )

∑k

где

— положительные корни уравнения h tg λℓ = λ.

√

−

∞

(−1)k2h

e−a2λk2t cos λkx

3.32. u(x, t) = u0

1 +

h2 + λk2

(

k=1

λk(ℓ(h2 + λk2) + h)

)

√

∑

где λk — положительные корни уравнения h ctg λℓ = λ.

∞

(x),

3.33. u(x, t) = w(x) + ∑ake−a

λktXk

)

t − 1 .

			k=1
w(x) = h	u2 − u1	x +	u2 + (1 + ℓh)u1	,
w(x) = h	2 + ℓh	x +	2 + ℓh	,
	2 + ℓh		2 + ℓh

Ответы к задачам главы III

257

Xk(x) = cos λkx +

sin λkx,

(

где λk — положительные корни уравнения ctg λℓ =

−

ℓ

(λ2

+ h2)ℓ + 2h

w Xk2(x) dx =

2λ

λ2

ℓ

2 k

(f(x)

−

w(x))Xk(x) dx.

(λk

+ h )ℓ + 2h

u sh b x

∞

2 2

3.34. u(x, t) =

2π

∑

(−1) nu0

e−a λnt sin

nπx

sh b ℓ

ℓ2

n=1

λn2

ℓ

∞

ℓ

e−a2λn2 t w f(x) sin

)

∑

sin

nπx

dx,

λn2 =

nπ

ℓ n=1

ℓ

(

ℓ

u x, t

u0 sh ab (x − ℓ)

2πu0 ∞

e−a2λk2t

kπx

3.35.

(

) = −

sh ab ℓ

−

∑k

sin

ℓ

ℓ2

λk

∞

ℓ

)

e−a2λk2t w f(x) sin

∑

sin

kπx

dx,

λk2 =

kπ

ℓ k=1

ℓ

(

ℓ

3.36. u(x, t) =

u1 sh ab x − u0 sh ab (x − ℓ)

sh b ℓ

2π

∞ k

(−1)ku1 − u0

e−a2λk2t sin

kπx

ℓ2

∑k

λ2

ℓ

∞

ℓ

)

e−a2λk2t w f(x) sin

∑

sin

kπx

dx,

λk2 =

kπ

ℓ k=1

ℓ

( ℓ

3.37. u(x, t) = u0 − u0

sh ab x + sh ab (ℓ − x)

−

sh ab ℓ

)

258

Ответы к задачам

e−(

+1)2π2a2

+ b2)t

4b2ℓ2u0 ∞

(2k

sin 2kℓ+1 πx

ℓ2

∑k

−

((2k + 1)2π2a2 + b2ℓ2) ·

2k + 1

πa2

+ b2)t sin nℓπx,

3.38. u(x, t) = u0 + w(x) + ∞ ane−(n

ℓ2

∑

π2a2

n=1

w(x) =

(u1 − u0) sh ab (ℓ − x) + (u2 − u0) sh ab x

sh bℓ

an =

wℓ (f(x)

−

w(x)

−

u0) sin

nπ

x dx.

ℓ

∞ ake−(k

+ b2)t cos kπℓx,

3.39. u(x, t) = w(x) + a20 e−b2t +

ℓ2

∑k

2π2a2

w(x) =

Q1 sh

x +

Q2 − Q1 ch ab ℓ

ab sh ab ℓ

ak =

wℓ (f(x)

−

w(x)) cos

kπx

dx, n = 0, 1, 2, . . . .

ℓ

3.40. u(x, t) = w(x) +

∞

ake−(a2λk2+b2)t sin λkx,

∑k

w(x) = u0

b ch ab (ℓ − x) + ha sh ab (ℓ − x)

b ch bℓ + ha sh bℓ

ak =

−

wℓ w(x) sin λkx dx

wℓ sin2 λkx dx =

/ 0

2λk(λ2 + h2)

=−2u0a (a2λ2k + b2)(ℓk(λ2k + h2) + h),

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ.

3.41. u(x, t) = (1 − e−t)ex sin x + ex−4t sin 2x.

Ответы к задачам главы III

259

()

aπ

πx

aπ

3.42. 1) u =

e−t − e−(

ℓ

) t

sin

̸= 1,

aπ

− 1

ℓ

Ate−t

sin

πx

aπ

= 1

ℓ ,

(

)

ℓ

;

(

)

2ℓ

( 2ℓ

)

a2ℓ

− 2

(

−

e−

3aπ

3πx

3aπ

2) u =

(

3π

)

e−2t

2ℓ

cos

= 2,

3πx

3aπ

u = te−2t cos

(

)

= 2;

2ℓ

)

2ℓ

52ℓ

+ 3

(

−

(

5πa

)

3) u =

e3t

e−

2ℓ

cos

5πx

;

aπ

(

−

(

)

32ℓ

+ 1

2ℓ

3πa

4) u = (

πa

)

e−

2ℓ

sin

;

(

−

(

)

72ℓ

+ 2

2ℓ

( )3

e−

7πa

7πx

5) u =

πa

2ℓ

sin

;

( )

52ℓ

2 (

−

(

)

2ℓ

e−

5πa

5πx

6) u(x, t) =

(

πa

2ℓ

cos

;

−

5πa

5πx

7) u(x, t) =

ℓ

− 4

(

e−

−

(

ℓ

)

cos

ℓ

)

e−

;

−2

πa

− 2 ℓ

− 1 (

−

(

)

ℓ

8) u =

e−

0,5

e−

2aπ

2πx

aπ

ℓ

cos

2aπ

1 t

2aπ

при

̸= 1; u = −

e−

−

e−

cos

при

= 1.

ℓ

3.43. u(x, t) =

e−t

sin

cos aℓ

+1)π

2 ∞

2T ℓ

4(−1)kAa2ℓ2

e−(

a(2k

)

t sin

(2k + 1)πx

2ℓ

∑

−

a2(2k + 1)2π2 )

2ℓ .

ℓ k=0 ((2k + 1)π 4ℓ2

)2t − e−t)

3.44. u(x, t) =

e−t +

2Aℓ2

∞

(−1)n (e−(πnaℓ

sin

nπx

∑

ℓ

n(n2π2a2

−

ℓ2)

ℓ

n=1

260 Ответы к задачам

A sin a e−t + 2A ∞

(

1)k+1

kπa2

e−(

ℓ

)

t sin πkx.

∑

πka

sin aℓ

−

(πkℓ

ℓ2

−

(πka)2 )

ℓ

k=1

√

ℓ

√

3.45. u(x, t) = 1 + (√

sin

x − √

√

cos

x)e−2t +

()

aπ

πx

e−2t − e−( ℓ

) t

cos

(

aπ

ℓ

ℓ )

− 2

cos 2x

πx

aπ

9πx

9aπ

3.46. u(x, t) =

e−4t + 3 cos

e−(

2ℓ ) t − 5 cos

e−( 2ℓ

)

cos

2ℓ

3.47. u(x, t) = e4t

a sh a2 x

e4t

e−(a2πℓ )2t

sin

πx

aπ

(

)

+ 4 (

−

)

2ℓ

ch aℓ

2ℓ

aπ

2ℓ

aπ

πx

3.48.

u(x, t) = (

) ((

)

t − 1 + e−(

2ℓ ) t)sin

aπ

2ℓ

At2

3.49.

u(x, t) =

32 ℓ3 ∞

( 1)k

(t2 −

(

2ℓ

3.50.

u(x, t) =

−

t +

a2π4

k=0

(2k + 1)4

(2k + 1)π

)

∑

2ℓ

1 − e−(

aπ(2k+1) 2

sin 2

k + 1

+ 2

(

2ℓ

)

(2k + 1)πa)

2ℓ

πx.

3.51.

u(x, t) =

32 ℓ3 ∞

(−1)k

a2π4

(2k + 1)4 ×

∑k

2ℓ

aπ(2k+1)

k + 1

e−(

2ℓ

)

+ t sin 2

(aπ(2k + 1))

− 1

2ℓ

πx.

∞

aπ

3πx

3.52. u(x, t) = e−(32ℓ

)

t cos

2 ℓ

2ℓ

(2k + 1)

∑k

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]