Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы VI

291

∞

(µk√

6.7. u(x, t) = k=1 (ak cos aλkt + bk sin aλkt)J0

ℓ ),

∑

wℓ f(x)J0 µk

ak =

dx,

√ℓ )

ℓJ1 (µk) 0

(

wℓ F (x)J0

bk =

µk

dx,

ℓ )

aλkℓJ1 (µk) 0

(

√

µ2

ω 2

λk = √

(

) , µk > 0, J0(µk) = 0.

−

4ℓ

6.8. u(r, t) =

wR(f(ρ) + tF (ρ))ρ dρ +

∞

µkat

+ bk sin

µkat

µkr

+ k=1

(ak cos ℓ

ℓ

)J0

(

∑

)

ℓ

µ ρ

w ρf(ρ)J0

ak =

dρ,

J0 (µk) 0

( R )

bk =

wℓ ρF (ρ)J0

µkρ

dρ,

)

aRµkJ0

(µk) 0

(

где µk — положительные корни уравнения J0′(µ) = 0.

∞

µk

aµ t

µ r

6.9. u(r, t) =

k=1 (h2R2 +

(µk2))J02(µk) sin

R J0

)

∑

(

где µk — положительные корни уравнения µJ0′(µ) + hRJ0(µ) = 0.

P 1

∞

aµkt

(

µkr

)),

6.10. u(r, t) = T

(4(R2 − r2) − 2R2

k=1 µk3J1(µk) cos

∑

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

F a2u

u0R

6.11. u(r, t) = (

)t2

−

292								Ответы к задачам
− 2Ru0	∞		1	aµkt	J0	(	µkr
− 2Ru0	k=1	µk2J0(µk) cos		R	J0	(	R ),
	∑

где µk — положительные корни уравнения J0′(µ) = 0.

Решение искать в виде u(r, t) = v(r, t) + w(r) + At2, где A — постоянная, w(r) + At2 — удовлетворяет уравнению и граничным условиям.

6.12. u(r, t) =	a2P0	(	J0 (ωr/a)		− 1)sin ωt −
	T ω2		J0 (ωR/a)

− 2aP0ωR3 ∑∞ sin(µnat/R)J0 (µnr/R) ,

Tn=1 µ2n(ω2R2 − a2µ2n)J0′(µn)

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

ωr

6.13. u(r, t) =

J0 (

)sin ωt +

J0 (ωR/a)

∞

aµnt

(

µnr

+ 2ωaRu0 n=1 (ω2R2 − a2µn2 )J1(µn) sin

R ),

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

ωr

2a2u0

6.14. u(r, t) = −

(

)cos ωt +

ωJ1 (ωR/a)

ω2R2

+ 2a2u0

∞

aµkt

(

µkr

k=1

(ω2R2 − a2µk2)J0(µk) cos

∑

где µn — положительные корни уравнения J1(µ) = 0.

q cos ωt

ωr

ωR

6.15. а) u(r, t) =

(J0

(

) − J0

(

)) +

ρ ω2J0 (ωR/a)

2qR2 ∞

(ω2R2

aµkt

(

µkr

k=1

− a2µk2)J1(µk) cos

R ),

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

ahJ

ωr/a

б) u(r, t) =

(

0 (

)

− 1)cos ωt +

ρ ω2

ahJ0 (ωR/a)

ωJ1 (ωR/a)

−

Ответы к задачам главы VI

293

2q ∞

µ2J1(µk)

(

a2hR

)cos

aµkt

(

µkr

−

ρω2

k=1 (R2h2 + µk2)J02(µk)

µk

a2µk2

−

ω2R2

∑

)

где µn — положительные корни уравнения µJ0′(µ) + RhJ0(µ) = 0.

6.16.

∞

aγkt

(

γkr

u(r, t) = h

+ k=1 ak cos

ℓ

∑

где γk — положительные корни уравнения ℓhJ0(γ) + γJ0′(γ) = 0,

hℓ 2

−1

ak = ((1 + (

) )J02(γk))

(γk).

γk

hγk

6.17.

J0 (2r/a)

∞

2a2µk cos(aµk/ℓ)t

(

µkr

u(r, t) = J0 (2ℓ/a) cos 2t + k=1

J1(µk)(4ℓ2 − (aµk)2)J0

ℓ

∑

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

(

aJ0 (2r/a)

)

6.18. u(r, t) =

2J0′ (2ℓ/a)

−

sin 2t +

1 a2

∞

4ℓ2a

aγ

γkr

+ (

)t + k=1

· sin

t · J0

(

ℓ

((aγk)2

−

4ℓ2)γkJ0(γk)

ℓ

∑

)

— положительные корни уравнения

J′(γ) = 0 aγ /ℓ = 2

где

∞ J0 (µnr/R)

AR2

aµnt

6.19.

u(r, t) =

(R2

−

r2) + u0

−

+ u0

cos

n=1 µnJ1(µn)

( µn

)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

∞ cos(aµnt/R)

(

µnr

6.20. u(r, t) = u0 − 2u0 n=1

µnJ1(µn)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

∞

γ J

(γ ) cos aγnt

(

γ r

6.21. u(r, t) = 2ha2 + 4a2 (R

) − ha2

− r

n=1 (γn2

+ (hℓ)2)J02(γn)J0

∑

где γn — положительные корни уравнения ℓhJ0(γ) + γJ0′(γ) = 0.

294 Ответы к задачам

u (4a2 + ω2) + AR2

Ar2

6.22.

u(r, t) = (

(

r) −

)cos ωt +

(4a2 + ω2)J0 (ωR/a)

4a2 + ω2

2AR2

∞

(µn2 − 4) cos(aµnt/R)J0

µnr

∑

(

)

4a2 + ω2 n=1

µn3 J1(µn)

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

u0aJ0 (ωr/a)

2u0a2

∞

cos(aγnt/R)

γnr

6.23. u(r, t) =

−

∑

(

ωJ0′

(ωR/a)

Rω2

n=1

(aγn)2 − (ωR)2

где γn — положительные корни уравнения J0′(γ) = 0.

6.24. u(r, t) = 8u0

∞

J0 (µnr/R)

e−

µna

∑k

µ3 J1(µn)

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

6.25. u(r, t) = u0R

+ 4u0R2

∞

e−(aRk ) tJ0

µkr

∑

(

)

k=1 µkJ0(µk)

где µk — положительные корни уравнения J1(µ) = 0.

∞

µn2 a2t

∑

µn

2 e− R2

J0 (

2 nr/R) w ρf(ρ)J0

dρ,

6.26. u(r, t) = 22

(

µ ρ

)

R n=1 µn + h R

J0 (µn)

где µn — положительные корни уравнения µJ0′(µ) + hRJ0(µ) = 0.

6.27. u(r, t) = e−h2t

∞ 2J02(µ2kr/R)

e−(aRk )

t w

ρφ(ρ)J0

µkρ

dρ,

∑

(

)

k=0

R J0 (µk)

где µk — положительные корни уравнения J0′(µ) = 0, µ0 = 0.

∞

4hR

hR µ2

aµk 2

µ r

∑

+ (2 −

)

e−( R

) tJ0

6.28. u(r, t) = 2u0R2

2 2

)J0(µk)

R )

k=1 µk(µk

+ h R

(

где µk — положительные корни уравнения µJ0′(µ) + hRJ0(µ) = 0.

∞

J0(λnd)e−a2λn2 t

∑

[N0(λnb)J0(λnr) − J0(λnb)N0(λnr)],

−

J0(λnd)

6.29. u(r, t) = πu0 n=1 J0(λnb)

Ответы к задачам главы VI

295

где λn — положительные корни уравнения

J0(λb)N0(λd) − J0(λd)N0(λb) = 0.

t),

∞ J0 (µnr/R)

e−

µn2 a2

6.30. u(r, t) = u0 (1 + 2 n=1

µnJ0′

(µn)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

∞

(u0R

4u0R

µkr

6.31. u(r, t) = T +

−

T )µk −

e−(aRk )

tJ0

k=1

µkJ1(µk)

(

R )

∑

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

∞

µ2 T

QR2

e−(

aµn

)

(

6.32. u(r, t) = T +

(R2

−

r2)

−

tJ0

n=1

kµnJ1(µn)

)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

a2µ2

a2t

∞

2e−

µnr

6.33. u(r, t) = u0 +

−

) − n=1

µ2 J

(µ )

−

(

)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0′(µ) = 0.

Указание. Решение искать в виде u(r, t) = At + v(r) + w(r, t), где A — постоянная, At + v(r) удовлетворяет уравнению и граничным условиям.

6.34. u(r, t) = u1 + 2(u1

∞

J1(µn)

a2µn2 t

(

µnr

R2 J0

− u0) n=1

µn[J02(µn) + J12(µn)] e−

∑

где µn — положительные корни уравнения µJ0′(µ) + hRJ0(µ) = 0.

a2µ2

T J0

ihra

+ ∞ Ane−(

+ h2)tJ0

µnr

6.35. u(r, t) =

)

n=1

(i a

(

) 2

∑

wR ρJ0

( )

An =

µnρ

hρ

dρ,

(µn)

− R2J1 (µn)J0

i a

)

(

R )

(

a )

(

где µn — положительные корни уравнения J0(µ)= 0. Заметим, что J0(ix) — вещественнозначная функция для −∞ < x < ∞.

296 Ответы к задачам

6.36. u(r, t) =

−

Ar2

(2ℓ + hℓ2) −

4a2

4a2h

Aℓ ∞

γ J (γ )

e−(

aγn

)

ℓ

tJ0

r ,

− a

h n=1 (γn

+ ℓ h

)J0

(γn)

( ℓ

)

∑

где γn — положительные корни уравнения γJ0′(γ) + ℓhJ0(γ) = 0.

9 J0

2 r

1 ∞

aµn

µnr

6.37. u(r, t) =

(

−

)e−4t +

e−(

ℓ )

4 J0

ℓ

n=1

µnJ1(µn)

ℓ

)

(

)

∑

где µ — положительные корни уравнения J

(µ) = 0.

(

)

− r

∞

2ℓ

µn

aµn

6.38. u(r, t) =

ℓ

+ 2

ℓ

e−

ℓ

4a2

− k=1

(

a2µn3

µn

)

J1((µn))

(

)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

aJ0

2a2

∞

e−(

aγn

)

ℓ

γk

6.39. u(r, t) =

e−t +

+ 2a2ℓ

− J1

)

ℓ

k=1

(ℓ2

ℓ

−

a2γk)J0(γk)

(

∑

)

где γ — положительные корни уравнения J′(γ) = 0.

(

)

6.40. а) u(r, t) = T +

+ π(u0 − T )

∞

J02(λnb)e−a2λn2 t

[N0(λnd)J0(λnr) − J0(λnd)N0(λnr)],

J12(λnb)

−

J02(λnd)

n=1

∑

где λn — положительные корни уравнения

N0(λd)J1(λb) − J0(λd)N1(λb) = 0;

б) u(r, t) = w(r) + T +

π2 ∞

J02(λnd)e−a2λnt

n=1

[wb

ρw(ρ)Φ0(λnρ) dρ]Φ0(λnr),

J02(λnd)

−

J02(λnb)

∑

Q(d2 − b2)

w(r) =

(d2

r2)

−

4k ln db

Φ0(λnr) = N0(λnb)J0(λnr) − J0(λnb)N0(λnr), где λn — положительные корни уравнения

N0(λb)J0(λd) − J0(λb)N0(λd) = 0.

Ответы к задачам главы VI

297

6.41. а) u(r, t) = u0

(J0

(

) − J0

(

))e−h

th−2J0−1

(

) −

∞

µnr

2u0R2

e−(aRn )

tJ0

−

n=1

µn(a

µn

− h

)J1(µn)

( R

)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0;

T e−h2t

∞

e−

aµn 2t

µ r

б) u(r, t) =

2a2T

( a )−

n=1

a2µn

−

h R

(

)

(

)

∑

где µn — положительные корни уравнения J0(µ) = 0;

(

)

2a2T

в) u(r, t) =

e−h

t +

e−γ t) +

−hJ1

γ2

−

Rh2 −

∞

( a )

a2T RJ µ

aµk

µ r

− 2 n=1

J02(µk) a2µk2 − h2R2 e−( R )

( R

∑

где µn — положительные корни уравнения J1(µ) = 0;

г) u(r, t) = (

0 a

−

)e−h

t +

h2 J0′ Rh

+ aJ0

(

)

∞

( (µkr)

( ))

a2 k

+ k=1 Ake−

tJ0 (

∑

Ak =

µkr

rJ0

( R ) dr

× w r (ψ(r) − (

)J0

rµ

) dr,

−

J0′

+ aJ0

(

)

(

)

где µ

— положительные корни уравнения µJ

′(µ) + hRJ

(µ) = 0.

(

)

(

))

(

r) dr

∞ fk sh

rf(r)J0

µm

6.42. а) u(r, z) =

µk0

−

z)J0

µk0

,fm

k=1

( R

)

µm0

∑

rJ0

r dr

(

)

Здесь J0(x) — функция Бесселя нулевого порядка первого рода,

298	Ответы к задачам

µ0k (k = 1, 2, . . . ) — ее положительные корни.

Формулу для коэффициентов fm можно упростить, воспользовавшись равенством

0	( R		)	2
wR rJ02		µm0	r dr =	R2	J12(µm0 ),
wR rJ02			r dr =		J12(µm0 ),

в котором J1(x) — функция Бесселя первого порядка первого рода. Указание. 1. Так как граничные значения искомой функции u не за-

висят от полярного угла φ, то в уравнении для функции u, записанном в цилиндрических координатах

∂2u 1 ∂u 1 ∂2u ∂2u

= 0,

∂r2

∂r

∂φ2

∂z2

будет отсутствовать член с

∂2u

, u не будет зависеть от φ.

∂φ2

2. Коэффициенты

функции f(r) в ряд по функциям

разложения

µ0

(

r) находятся на основе свойства ортогональности этих функций

с весом r на отрезке [0, R].

µ0

∞

sh µk0 z

б) u(r, z) =

∑

r ,

k=1

( R

)

sh R h

gk =

rg(r)J0 (

µk

r) dr

rR rJ2 (

µk0

r) dr

∞	(	π	r)sin	π
∑		k		k
в) u(r, z) = k=1 FkI0		h		h	z, I0(x) = J0(ix),

2 wh kπz Fk = h F (z) sin h dz.

Замечание: функция I0(x) — вещественнозначная при вещественных значениях аргумента x.

г) u = u1 + u2 + u3, где u1, u2, u3 — решения задач а, б, в.

Ответы к задачам главы VI

299

∞ ∞

µn

sh µkn(ℓ−z)

∑∑

6.43. а) u(r, φ, z) =

(ak cos nφ + bk sin nφ),

µkn

n=0 k=1

( R

)

2π R

r r f(r, φ) · cos nφ · Jn

µk

r r dr dφ

2 при

n = 0,

akn =

0 0

(

)

, ε =

{

ε · π r0

( R

1 при

n > 0,

)

rJ2

µkn r

2π R

(

r r f(r, φ) · sin nφ · Jn

µk

r dr dφ

bkn =

0 0

)

µkn

π r0

rJn

(

r) dr

k = 1, 2, . . . ; n = 0, 1, . . .

Здесь Jn(x) — функция Бесселя первого рода порядка n,

µn — ее корни;

∞

µn

sh µkn z

∞

∑∑

б) u(r, φ, z) =

(an cos nφ + bn sin nφ).

( R

) sh

µk

n=0 k=1

Коэффициенты ank , bnk определяются формулами из решения задачи а), в которых f(r, φ) заменено на g(r, φ). Эти формулы можно упростить воспользовавшись равенством

wR rJn2

µkn

r dr =

Jn2+1(µkn);

( R )

In (

)sin

в) u(r, φ, z) =

∞

kπr

kπz

(akn cos nφ + bkn sin nφ),

n=0 k=1

∑∑

h 2π

akn =

w w F (φ, z) cos nφ sin

kπz

dφ dz,

επhIn

kπR

0 0

при

n = 0,

)

ε = {

(

при

n > 0,

h 2π

bkn =

w w F (φ, z) sin nφ sin

kπz

dφ dz.

kπR

)

πhIn ( h

˜0

f(r)J0(λkr)r dr

300 Ответы к задачам

Замечание: функция e−nπi/2Jn(ix) = In(x), называемая модифицированной функцией Бесселя, при вещественных значениях x принимает вещественные значения;

г) использовать решение задач а, б, в.

	∞		˜0	˜0	(h − z)
6.44. а) u(r, z) = C		fkJ0	µkr	ch λk	(h − z)	,
6.44. а) u(r, z) = C	− k=1	fkJ0	R )			,
	− k=1	(	R )	˜λk0 sh ˜λk0h
	∑

C = const, µ˜0k — корни производной функции Бесселя J0(x), rR

˜0

fk =

λk = µk/R,

rR rJ02(˜λk0r) dr

Задача разрешима, если выполнено условие wR f(r)r dr = 0;

∞

˜0

ch λkz

б) u(r, z) = C − gk

J0(λkr),

˜0

sh λkh

C = const, gk

∑k

определяется по формулам для коэффициентов fk

предыдущей задачи, в которых f(r) заменено на g(r).

Задача разрешима, если выполнено условие wR g(r)r dr = 0;

∞

в) u(r, z) = C + k=1 FkI0

(khz)cos khz

/kh I0′

(k hR),

∑

C = const, Fk

F (z) cos

kπz

dz.

Условие разрешимости F (z) dz = 0;

г) учесть решение задач а, б, в. Ответ и условия разрешимости очевидны.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]