Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

(−1)n+1 (2n + 1)πx (2n + 1)πat (2n + 1)2 sin 2ℓ cos 2ℓ ,

Задачи

а. Струна возбуждается начальной скоростью

v0, |x − c| <

∂u

(x, 0) =

π ,

∂t

| −

Этот случай соответствует

плоскому жесткому молоточку, имеющему

ширину π/h и ударяющему в точке x = c.

б. Струна возбуждается начальной скоростью

v0 cos h(x − c),

|x − c| <

∂u

(x, 0) =

π ,

∂t

−

Этот случай

соответствует жесткому выпуклому молоточку шириной

π/h. Такой молоточек в центре интервала возбуждает наибольшую скорость.

I 2.15. Решить задачу о малых поперечных колебаниях струны длиной 2ℓ с закрепленными концами x = −ℓ, x = ℓ, которая оттягивается в двух точках x = −c и x = c на небольшое расстояние h от положения равновесия, имеет форму ломанной линии и в момент t = 0 отпускается без начальной скорости.

I 2.16. Однородный стержень длиной 2ℓ сжат силами, приложенными к его концам, так, что он укоротился до длины 2ℓ(1−ε). При t = 0 нагрузка снимается. Показать, что смещение u(x, t) сечения с абсциссой x стержня определяется формулой

8εℓ ∑∞ u(x, t) = π2

k=0

если точка x = 0 находится посередине стержня и a — скорость продольных волн в стержне.

I 2.17. Изучить свободные продольные колебания однородного цилиндрического стержня длиной ℓ, у которого оба конца свободны и

u(x, 0) = a,	∂u(x, 0)	= b,
	∂t

a, b — постоянные.

92	Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

I 2.18. Однородный стержень длиной ℓ находится в прямолинейном положении равновесия. Один конец стержня x = 0 закреплен упруго, а другой x = ℓ свободен. Найти продольные колебания стержня, если в начальный момент времени его точкам сообщается скорость f(x).

I 2.19. Концы однородной струны длиной ℓ удерживаются с помощью упругих сил. Изучить свободные поперечные колебания струны, если известно в начальный момент времени смещение, а начальные скорости отсутствуют.

Стационарная неоднородность

В полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 решить следующие начально-краевые задачи со стационарной неоднородностью, α, β, A, v0 и т. д. — постоянные.

I 2.20.

∂2u

= a2

∂2u

+ A sin

3πx

∂x

ℓ

∂t

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.21.

∂2u

= a2

∂2u

+ A cos

5πx

∂x

2ℓ

∂t

∂u

(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.22.

∂2u

= a2

∂2u

+ A sin

5πx

∂x

2ℓ

∂t

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.23.

∂2u

= a2

∂2u

+ A cos

πx

∂x

ℓ

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.24.

∂2u

= a2

∂2u

+ A cos

5πx

∂x

ℓ

∂t

∂u

(0, t) = 2,

∂u

(ℓ, t) = 2;

u(x, 0) = 2x,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

Задачи

I 2.25.

∂2u

6πx

7πx

= a2

+ 3 sin

− sin

∂t2

∂x2

ℓ

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.26.

∂2u

= a2

∂2u

+ cos

7πx

+ 2 cos

11πx

∂t2

∂x2

2ℓ

∂u

(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.27.

∂2u

πx 1 3πx

= a2

+ sin

−

sin

∂t2

∂x2

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.28.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

∂u

− 1,

∂u

πx

(0, t) = 6,

(ℓ, t) = 6;

u(x, 0) = 6x

(x, 0) = 2 cos

∂x

∂t

ℓ

I 2.29.

∂2u

= a2

∂2u

+ 3 cos

3πx

∂t2

∂x2

ℓ

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 2,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.30.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = 1, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.31.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = 1, u(ℓ, t) + h

∂u

(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

∂x

I 2.32.

∂2u

= a2

∂2u

+ x,

∂t2

∂x2

∂u

ℓ2x

∂u

5πx

u(0, t) = 0,

(ℓ, t) = 1;

u(x, 0) = −

(x, 0) = 3 sin

∂x

6a2

2a2

∂t

2ℓ

94 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

I 2.33.

∂2u

= a2

∂2u

+ A sin

3πx

∂x

2ℓ

∂t

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, x) = α; u(x, 0) = αx,

∂u

(x, 0) = v0.

∂x

∂t

I 2.34.

∂2u

= a2

∂2u

+ cos

5πx

∂x

2ℓ

∂t

∂u

2ℓ

5πx

(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = α;

u(x, 0) = ℓ − x + α + (

) cos

∂x

5πa

2ℓ

∂u

(x, 0) =

cos

πx

∂t

2ℓ

I 2.35.

∂2u

= a2

∂2u

∂x

∂t

∂u

(0, t) =

∂u

(ℓ, t) = α; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = v0.

∂x

∂t

∂x

I 2.36.

∂2u

= a2

∂2u

+ cos

5πx

∂x

ℓ

∂t

∂u

(0, t) =

∂u

(ℓ, t) = α; u(x, 0) = αx,

∂u

(x, 0) = sin2

πx

∂x

∂t

2ℓ

I 2.37.

∂2u

= a2

∂2u

+ e−x,

∂t2

∂x2

u(0, t) = α, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.38.

∂2u

= a2

∂2u

∂x

∂t

∂u

(0, t) = α,

u(ℓ, t) = β;

u(x, 0) = β,

∂u

(x, 0) =

cos

πx

∂x

∂t

2ℓ

I 2.39.

∂2u

= a2

∂2u

∂x

∂t

∂u

(0, t) − hu(0, t) = α, h > 0, u(ℓ, t) = β;

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x).

∂t

Задачи

I 2.40.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = α,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = β, h > 0;

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.41.

∂2u

= a2

∂2u

+ x,

∂t2

∂x2

u(0, t) = 1,

∂u

(ℓ, t) = 2;

∂x

ℓ2

∂u

u(x, 0) = 1 +

x −

(x, 0) = 0.

2a2

6a2

∂t

I 2.42.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = α; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.43.

∂2u

= a2

∂2u

+ 1,

∂t2

∂x2

∂u

(ℓ, t) = 2; u(x, 0) = −

ℓx

∂u

(x, 0) = x.

u(0, t) = 0,

+ x +

∂x

2a2

∂t

I 2.44.

∂2u

= a2

∂2u

+ g, постоянная g > 0,

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = v0.

∂x

∂t

I 2.45.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = α, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = v0.

∂t

∂x

I 2.46.

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

∂u

3πx

5πx

(0, t) = 1,

u(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = cos

−

cos

∂x

∂t

2ℓ

I 2.47.

∂2u

= a2

∂2u

+ b sh x,

∂t2

∂x2

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.48.

∂2u

= a2

∂2u

+ bx(x − ℓ),

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.49.

∂2u

∂u

aπ

= a2

− 2ν

, 0 < ν <

∂t2

∂x2

∂t

2ℓ

∂u

(0, t) = 0, u(ℓ, t) = A; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.50.

∂2u

= a2

∂2u

∂x

∂t

∂u

(0, t) − hu(0, t) = α,

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = −α;

∂x

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.51.

∂2u

= a2

∂2u

+ 10u + 2 sin 2x · cos x − 10 − 20x,

0 < x <

∂t2

∂x2

∂u

u(0, t) = 1,

(

, t) = 2; u(x, 0) = 2x + 1,

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.52.

∂2u

5πx

= a2

+ 5 sin

− 2x,

∂t2

∂x2

2ℓ

∂u

ℓ2x

7πx

u(0, t) = 1,

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) =

−

+ 1 +

sin

∂x

3a2

2ℓ

∂u

(x, 0) = 2 sin

7πx

∂t

2ℓ

Неоднородные задачи со специальной неоднородностью

Решить приводимые уравнения с указанными условиями.

I 2.53.

∂2u

πx

aπ

= a2

+ cos 2t · cos

̸= 2,

∂t2

∂x2

2ℓ

∂u

(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) =

∂u

(x, 0) = 3 cos

5πx

∂x

∂t

2ℓ

Задачи

I 2.54.

∂2u

= a2

∂2u

+ x cos 3t,

π(2k + 1)a

̸= 3,

k = 0, 1, . . . ,

∂t2

∂x2

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 3 cos 3t;

∂x

u(x, 0) =

28a

sin

∂u

(x, 0) = 0.

27 cos(3ℓ/a)

∂t

I 2.55.

∂2u

3πx

3πa

= a2

+ cos

· sin 2t,

̸= 2,

∂t2

∂x2

ℓ

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.56.

∂2u

= a2

∂2u

+ x sin 2t,

π(2k + 1)a

̸= 2,

k = 0, 1, . . . ,

∂t2

∂x2

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 2 sin 2t;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) =

sin

∂t

4 cos(2ℓ/a)

∂x

I 2.57.

∂2u

3πx

π(2k + 1)a

= a2

+ sin

· sin 2t,

̸= 2,

k = 0, 1, 2, . . . ,

∂t2

∂x2

2ℓ

∂u

sin 2 x

u(0, t) = 0,

(ℓ, t) = sin 2t;

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = a

∂x

∂t

cos 2 ℓ

I 2.58.

∂2u

= a2

∂2u

+ e−t

cos

πx

∂t2

∂x2

2ℓ

∂u

(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.59.

∂2u

π(1 + 2k)a

= a2

+ 2x cos 2t,

̸= 2,

k = 0, 1, . . . ,

∂t2

∂x2

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 2 cos 2t;

∂x

u(x, 0) =

sin

∂u

(x, 0) = 0.

2ℓ

4 cos

∂t

∂2u

= a2

∂2u

+ e−x sin 2t

aπk

= 2

I 2.60.

∂t2

∂x2

ℓ

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂x

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

(

)

∂u

a sin a2 x

e−ℓ − cos 2aℓ

∂t

(x, 0) =

4 + a2

(−

2 sin

2ℓ

cos

− e− ) + 3.

I 2.61.

∂2u

π(2k + 1)a

= a2

+ 3x cos 2t,

̸= 2,

k = 0, 1, 2, . . . ,

∂t2

∂x2

2ℓ

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 3 cos 2t;

∂x

u(x, 0) =

15a

sin

∂u

(x, 0) = 0.

2ℓ

8 cos

∂t

I 2.62.

∂2u

= a2

∂2u

+ e2x cos 2t,

kπa

̸= 2,

k N,

∂t2

∂x2

ℓ

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

∂x

(

)

e2x),

2ℓ

− e2ℓ

u(x, 0) =

cos

+ sin

−

4(a2 + 1)

sin

2ℓ

∂u

(x, 0) = 2.

∂t

В области 0 < x < ℓ, t > 0 решить задачи для уравнения

∂2u

= a2

+ f(x, t)

∂x

∂t

с начальными условиями u(x, 0) = 0; ∂u∂t (x, 0) = 0 и с указанными краевыми условиями и свободным членом f(x, t).

I 2.63. u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0, f(x, t) = Ae−t sin	πx	.

	ℓ

I2.64. ∂u∂x(0, t) = 0,

I2.65. u(0, t) = 0,

I2.66. ∂u∂x(0, t) = ∂u∂x

I2.67. ∂u∂x(0, t) = ∂u∂x

u(ℓ, t) = 0, f(x, t) = Ae−t cos π2xℓ . ∂u∂x(ℓ, t) = 0, f(x, t) = Ae−2t sin π2xℓ .

(ℓ, t) = 0, f(x, t) = Ae−3t cos 2πℓx.

(ℓ, t) = 0, f(x, t) = Ae−4t.

Задачи

I 2.68. u(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = 0,

f(x, t) = Axe−t.

I 2.69. u(0, t) = 0,

∂u

aπ(2n + 1)

(ℓ, t) = 0,

f(x, t) = A sin t,

̸= 1;

∂x

2ℓ

n = 0, 1, . . .

I 2.70.

∂2u

+ 2

∂u

∂2u

+ 8et cos x, 0 < x <

, t > 0,

∂t

∂t2

∂x2

∂u

(

, t) = 0; u(x, 0) = 0,

∂u

(0, t) = 0, u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.71. Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закрепленной на конце x = 0 и подверженной на конце x = ℓ действию возмущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное A sin ωt, ω ≠ πna/ℓ, n N.

I 2.72. Изучить продольные колебания однородного цилиндрического стержня, один конец x = 0 которого заделан, а к другому концу x = ℓ приложена сила F = A sin ωt, направление которой совпадает с осью стержня,

ω ≠ π(2n + 1)a/2ℓ), n = 0, 1, . . .

Решить следующие смешанные задачи.

I 2.73.

∂2u

= a2

∂2u

+ sin 2t,

0 < x < ℓ,

t > 0,

∂t2

∂x2

∂u

2ℓ

∂u

(0, t) = 0,

(ℓ, t) =

sin

sin 2t, u(x, 0) = 0,

(x, 0) = −2 cos

∂x

∂t

I 2.74.

∂2u

= a2

∂2u

0 < x < ℓ,

t > 0,

∂t2

∂x2

∂u

Aa ch x

∂u

Aa ch x

(0, t) = 0,

(ℓ, t) = Ae−t,

u(x, 0) =

(x, 0) = −

∂x

sh ℓ

∂t

ℓ

I 2.75.

∂2u

+ 2

∂u

∂2u

+ 8et

cos x,

0 < x <

t > 0,

∂t2

∂t

∂x2

∂u

u (

, t) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

(0, t) = 0,

u(x, 0) = cos x,

∂x

∂t

I 2.76.

∂2u

= a2

∂2u

+ A sin ωt, 0 < x < ℓ,

t > 0,

ω ̸=

πka

, k N,

∂t2

∂x2

ℓ

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0, u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x).

∂t

100

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

I 2.77.

∂2u

Nπx

= a2

+ A sin

· sin ωt,

0 < x < ℓ, t > 0,

∂t2

∂x2

ℓ

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0, u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x).

∂t

Рассмотреть случаи ω

̸=

πNa

ω =

πNa

(резонанс).

ℓ

I 2.78. Однородная струна длиной ℓ, закрепленная на концах x = 0 и x = ℓ, колеблется под действием внешней гармонической силы

F = ρf(x) sin ωt,

рассчитанной на единицу длины. Найти отклонение u(x, t) струны при произвольных начальных условиях. Исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса.

Задачи на общую неоднородность

I 2.79.

∂2u

= a2

∂2u

+ f(x, t),

∂x

∂t

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.80.

∂2u

= a2

∂2u

+ f(x, t),

∂x

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂x

∂t

I 2.81.

∂2u

+ x(x − ℓ)t2,

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 2.82.

∂2u

= a2

∂2u

+ (x − ℓ)t,

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

I 2.83.

∂2u

= a2

∂2u

+ xt,

∂x

∂t

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

∂x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]