Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+ u = x; 0 < x, y < ∞,

u(0, y) = y,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

f(τ) dτ : p1F (p).

§ 4.. Преобразование Лапласа

171

4.2. Основные свойства преобразования Лапласа

Свойство 1. Линейность и однородность

Если f(t) : F (p), g(t) : G(p), α и β — комплексные постоянные, то

	αf(t) + βg(t) : αF (p) + βG(p).					(4.3)
Свойство 2.	Теорема подобия
Если f(t) : F (p), α > 0, то
	1			p
	f(αt) =		F (		).
	f(αt) =	α	F (	α	).
Свойство 3.	Теорема запаздывания
Если f(t) : F (p) и t0 > 0, то
	f(t − t0) = e−pt0 F (p).
Свойство 4.	Теорема смещения
Если f(t) : F (p) и α комплексное число, то
	e−αtf(t) : F (p + α).					(4.4)

Свойство 5. Изображение производной

Если f(t), f′(t) и f′′(t) являются функциями-оригиналами и изобра-

жение F (p) аналитическое в полуплоскости Re p > a, то
f′(t)	: pF (p) − f(0), Re p > a,	(4.5)
f′′(t)	: p2F (p) − pf(0) − f′(0), Re p > a.	(4.6)

Свойство 6. Изображение интеграла

Пусть f(t) : F (p); Re p > a, a > 0, тогда wt

Свойство 7. Дифференцирование изображения

Пусть F (p) : f(t), Re p > a, тогда

F ′(p) : −tf(t), Re p > a.

(4.7)

f(tt).

172	Глава V. Метод интегральных преобразований

Замечание. Это свойство часто используется для нахождения как прямого, так и обратного изображения.

Свойство 8. Интегрирование изображения

Если f(t) : F (p), Re p > a, то

w∞

F (q) dq :

Определение 4.1. Сверткой двух оригиналов f(t) и g(t) назовем инте-

грал вида

h(t) = f g = f(τ)g(t − τ) dτ.

(4.8)

Свойство 9

Если f(t) : F (p), Re p > a, g(t) : G(p), Re p > b, то

f g : F (p)G(p), Re p > c = max{a, b}.

Свойство 10. Преобразование функции двух переменных

Пусть f(x, t) является оригиналом по t для x [a, b], тогда

w∞

F (x, p) = e−ptf(x, t) dt

функция,

будет изображением с параметром

[a, b]

. Если

f(x, t)

—

∂

непрерывно дифференцируемая по x, то

∂f

∂F

. Аналогично

∂x

∂x2

∂2F (x, p)

∂x2

4.3. Таблица изображений

Для справок приведем таблицу изображений наиболее часто встречающихся функций. Заметим, что функции, стоящие слева в записанных выражениях, превращаются в функции-оригиналы, если положить f(t) ≡ 0 при t < 0. Так, f(t) ≡ 1 становится функцией Хевисайда

η(t) = {1, t > 0; 0, t < 0}

и η(t) : 1/p, Re p > 0.

§ 4.. Преобразование Лапласа

173

I. 1 = η(t) :

Re p > 0.

η(t − α) :

e−αp

α > 0, Re p > 0.

tv :

Γ(ν + 1)

II.

, ν

> −1,

Re p > 0.

pν+1

III. tn :

Re p > 0.

pn+1

IV. eαt

, Re p > Re α.

p − α

sin ωt :

Re p > | Im ω|.

p2 + ω2

VI.

cos ωt :

Re p > | Im ω|.

p2 + ω2

VII. sh ωt :

Re p > | Re ω|.

p2 − ω2

VIII. ch ωt :

Re p > | Re ω|.

p2 − ω2

IX.

tne−αt :

Re p > − Re α.

(p + α)n+1

t sin ωt :

2pω

Re p > | Im ω|.

(p2 + ω2)2

t cos ωt

p2 − ω2

Re p >

Im ω

XI.

: (p2 + ω2)2 ,

XII. t sh ωt :

2pω

Re p > | Re ω|.

(p2 − ω2)2

XIII. t ch ωt :

p2 + ω2

Re p > | Re ω|.

(p2 − ω2)2

XIV. e−αt sin ωt :

Re p > | Im ω| − Re α.

(p + α)2 + ω2

174						Глава V. Метод интегральных преобразований
XV. e−αt cos ωt :					p + α	, Re p > \| Im ω\| − Re α.

			(p + α)2 + ω2
1
XVI. J0(t) :				,	Re p > 0.
	√
		p2 + 1

4.4.Определение функции-оригинала по известному изображению

Решая задачу с применением преобразования Лапласа, мы в результате получаем не искомую функцию, а ее изображение. Поэтому возникает задача восстановления оригинала по известному образу. Сначала не лишне

проверить необходимое условие на F (p), а именно: lim F (p) = 0. В против-

p→∞

ном случае следует признать неразрешимость задачи указанным методом. Естественно в простых случаях воспользоваться результатами приведенной таблицы справа налево. Пусть F (p) — рациональная функция,

точнее правильная дробь P (p). Применяя метод неопределенных коэф-

Q(p)

фициентов, известный из математического анализа при интегрировании рациональных функций, F (p) разлагаем на простейшие дроби и пользуемся таблицей изображений.

Возможен вариант применения свойства преобразования свертки. Так, если многочлен Q(p) имеет кратные комплексные корни, то можно применить многократные свертки. Например,

p + 1

(p2 + 1)3

p2 + 1

(p2 + 1)3

:cos t sin t sin t + sin t sin t sin t.

Вобщем случае имеет место теорема, доказательство которой мы опускаем.

Теорема 4.2. Пусть F (p) — правильная рациональная дробь с полюсами p1, p2, . . . , pm. Тогда

∑m

f(t) = Res(eptF (p), p = pk).

k=1

§ 4.. Преобразование Лапласа

175

Диапазон задач, решаемых преобразованием Лапласа, велик и разнообразен. Мы ограничимся только задачами математической физики. Приве-

дем характерный пример.
Пример 4.1. Найти решение уравнения
	∂u		∂2u
		=		− u + B cos x, 0 < x < ∞, 0 < t < ∞,
	∂t	=	∂x2	− u + B cos x, 0 < x < ∞, 0 < t < ∞,
удовлетворяющее условиям
u(0, t) = Ae−2t,					∂u	(0, t) = 0, A, B — постоянные.	(4.9)
u(0, t) = Ae−2t,						(0, t) = 0, A, B — постоянные.	(4.9)
					∂x

Решение. Оценивая краевые условия (4.9), приходим к выводу, что преобразование Фурье неприменимо. Выручает преобразование Лапласа. Пусть

u(x, t) : U(p, t), для

∂2u

имеем в силу (4.6) равенство

∂x2

∂2u

: p2U(p, t) − pu(0, t) −

∂u

(0, t) = p2U(p, t) − Ape−2t.

∂x2

∂t

Само уравнение после преобразования запишется так:

∂U

= (p2 − 1)U +

− Ape−2t,

∂t

p2 + 1

∂U

− (p2 − 1)U =

− Ape−2t.

∂t

p2 + 1

Полученное линейное уравнение относительно U решаем, например, умно-

жением на интегрирующий множитель µ(p, t) = e−(p2−1)t:

∂U

e−(p

−1)t

− (p2 −

1)Ue−(p

−1)t = B

e−(p

−1)t − Ape−2te−(p

−1)t,

∂t

p2 + 1

∂

(e−(p

−1)tU) = B

e−(p

−1)t − Ape−(p

+1)t,

∂t

p2 + 1

Ape−(p2+1)t

e−(p

−1)tU = −B

e−(p

−1)t +

+ C.

(p2 + 1)(p2 − 1)

p2 + 1

В итоге

U(p, t) = −

e−2t + Ce(p

−1)t.

(p2 + 1)(p2 − 1)

p2 + 1

176	Глава V. Метод интегральных преобразований

Постоянную C определяем из условия на ∞ функции-преобразования,

lim U(p, t) = 0. Это равенство выполняется при C = 0.

p→∞

Итак,

U(p, t) = −

e−2t.

(p2 + 1)(p2 − 1)

p2 + 1

Далее,

(

) +

U(p, t) =

−

e−2t.

p2 + 1

p2 − 1

p2 + 1

Обратное преобразование с использованием формул VI и VIII (п. 4.3) дает

ответ

u(x, t) =

(cos x − ch x) + Ae−2t cos x.

Задачи

I 5.1. Методом преобразования Фурье решить задачу о вынужденных

колебаниях бесконечной струны:
1. Найти решение уравнения
	∂2u	= a2	∂2u	+ f(x, t), −∞ < x < ∞, t > 0,
	∂t2		∂x2
удовлетворяющее условиям
	u(x, 0) = 0,				∂u	(x, 0) = 0, +∞ < x < ∞.

					∂t

2. Решить предыдущую задачу, если f(x, t) = xt.

I 5.2. Методом преобразования Фурье решить задачу Коши для бесконечной струны (получить формулу Даламбера). В области −∞ < x < ∞, t > 0 найти решение уравнения

		∂2u		= a2	∂2u	,
		∂t2			∂x2

удовлетворяющее условиям
	∂u
u(x, 0) = f(x),			(x, 0) = F (x), −∞ < x < ∞.
	∂t

Задачи

177

I 5.3. Решить начально-краевую задачу

∂2u

= a2

∂2u

, x > 0, t > 0;

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0, t > 0;

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x), x > 0.

∂t

Указание. Применить синус-преобразование Фурье.

I 5.4. Применяя синус-преобразование Фурье, решить начально-краевую

задачу

∂2u

= a2

∂2u

(0 < x, t < ∞);

∂t2

∂x2

u(0, t) = t2;

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

I 5.5. Решить начально-краевую задачу

∂2u

= a2

∂2u

, x > 0, t > 0;

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = 0, t > 0;

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x), x > 0.

∂t

Указание. Применить косинус-преобразование Фурье.

I 5.6. Найти решение неоднородного уравнения теплопроводности бесконечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью

∂u	= a2	∂2u	+ f(x, t), −∞ < x < ∞, t > 0;
∂t		∂x2

u(x, 0) = 0, −∞ < x < ∞.

Указание. Применить преобразование Фурье по переменной x.

∂x

178

Глава V. Метод интегральных преобразований

I 5.7. Применяя синус-преобразование Фурье, решить краевую задачу

∂u

∂2u

= a2

(0 < x, t < ∞);

∂t

∂x2

u(0, t) = 0, u(x, 0) = f(x).

I 5.8. Найти решение уравнения

∂u

∂2u

= a2

, x > 0, t > 0,

∂x2

∂t

удовлетворяющее условиям

u(0, t) = µ(t), t > 0,

u(x, 0) = 0, x > 0.

Указание. Применить синус-преобразование по переменной x.

I 5.9.

∂u

= a2

∂2u

+ f(x, t),

x > 0,

t > 0,

∂t

∂x2

u(0, t) = 0, t > 0;

u(x, 0) = 0, x > 0.

I 5.10.

∂u

= a2

∂2u

+ f(x, t),

x > 0, t > 0,

∂x2

∂t

∂u

(0, t) = 0,

t > 0;

u(x, 0) = 0, x > 0.

∂x

Указание. Применить косинус-преобразование Фурье по переменной x.

I 5.11. Найти решение уравнения Лапласа

	∂2u ∂2u			= 0 (0 < x, y < ∞)
		+
	∂x2		∂y2
при граничных условиях
	u(x, 0) = 0,				∂u(0, y)	= f(y).
					∂x

Задачи 5.12—5.24 решить при помощи преобразования Лапласа.

Задачи

179

I 5.13.

∂2u

∂u

+ u = f(x);

0 < x, t < ∞,

−

∂x2

∂t

u(0, t) = t,

∂u(0, t)

= 0.

∂x

I 5.14.

∂u

∂2u

+ u + B cos x;

0 < x, y < ∞,

∂y

∂x2

u(0, y) = Ae−2y,

∂u(0, y)

= 0.

∂x

I 5.15.

∂u

∂2u

+ u + e−x cos x; 0 < x, t < ∞, u(0, t) =

∂u(0, t)

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.16.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

+ u + ch x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) =

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.17.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

+ u + cos x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = 1,

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.18.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

+ u + sin x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = 0,

= 1.

∂t

∂x2

∂x

I 5.19.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

+ 4u + cos 2x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = 1,

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.20.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

− 4u + cos 2x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = t,

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.21.

∂u

∂2u

− u + ch x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = t,

∂u(0, t)

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.22.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

− 4u + sh 2x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = 0,

= 2t.

∂t

∂x2

∂x

I 5.23.

∂u

∂2u

− 4u + ch 2x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = t,

∂u(0, t)

= 0.

∂t

∂x2

∂x

I 5.24.

∂u

∂2u

∂u(0, t)

+ 4u + sh 2x;

0 < x, t < ∞,

u(0, t) = 1,

= 0.

∂t

∂x2

∂x

Глава VI

Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя

При решении задач методом Фурье для областей, отличных от прямоугольных (или полуполос), либо уравнений с переменными коэффициентами нередко применяются специальные функции. Наиболее популярны функции Бесселя.

§ 1. Введение в теорию функций Бесселя

Уравнением Бесселя называется следующее дифференциальное уравнение второго порядка

x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0,

(1.1)

где ν — некоторая постоянная. Частное решение уравнения(1.1), записанное в виде ряда

∞ (−1)k(x/2)2k+ν y = ,

∑

k!Γ(ν + k + 1)

k=0

где Γ обозначает гамма-функцию Эйлера, называется функцией Бесселя первого рода порядка ν и обозначается Jν(x). В нашей работе мы остановимся только на случаях J0(x) и J1(x). Функция J0(x) является решением

уравнения

x2y′′ + xy′ + x2y = 0,

или

x(xy′)′ + x2y = 0

(1.2)

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]