Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x vkm2 (x, y) dx dy =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 6.. Задача о колебании прямоугольной мембраны

Определим Ak и Bk. Из равенства Tk(0) = 0 получаем Bk =					2µk	. Условие
Определим Ak и Bk. Из равенства Tk(0) = 0 получаем Bk =					ω4	. Условие
					ω4
Tk′(0) = 0 будет выполняться при Ak = 0. В итоге					k
Tk′(0) = 0 будет выполняться при Ak = 0. В итоге
	2µk		µk 2
Tk(t) =		(cos ωkt − 1) +		t .
Tk(t) =	ω4	(cos ωkt − 1) +	ω2	t .
	k		k

Подставляем значения A, ωk и µk в Tk(t), а его в ряд (5.37) и записываем

ответ:			∞	[	t2
	128ℓ4h
u(x, t) =			∑				+
	a2π5ρ	k=0			(2k + 1)5				− 1)]sin 2ℓ(2k + 1)x.
	+ a2π2(2k + 1)7					(cos		2ℓ
			8ℓ2					π(2k + 1)at		π

§ 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны

Рассмотрим начально-краевую задачу о собственных колебаниях мембраны, имеющую прямоугольную форму. Не нарушая общности, будем считать, что мембрана совпадает с прямоугольником

R = {0 6 x 6 ℓ, 0 6 y 6 h}.

Предполагаем, что она закреплена по краю и возбуждается при t = 0 начальными отклонением и скоростью.

Таким образом, ставится задача: найти в области 0 < x < ℓ, 0 < y < h,

t > 0 решение уравнения
	∂2u				∂2u		∂2u
			= a2	(		+		),	(6.1)
	∂t2				∂x2		∂y2
удовлетворяющее краевым условиям
u(0, y, t) = u(ℓ, y, t) = 0,							0 < y < h,		(6.2)
u(x, 0, t) = u(x, h, t) = 0, 0 < x < ℓ									(6.3)
и начальным условиям									(6.4)
		u(x, y, 0) = f(x, y),
		∂u	(x, y, 0) = F (x, y).						(6.5)
		∂t

82	Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

Применяем метод Фурье. Ищем нетривиальное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее краевым условиям (6.2), (6.3), в виде

u(x, y, t) = T (t)v(x, y).

Подставляем произведение в уравнение (6.1) и разделяем переменные

T ′′(t) = (∂2v + ∂2v)/v(x, y) = −λ2, a2T (t) ∂x2 ∂y2

λ — пока неизвестная постоянная. Функция v(x, y) удовлетворяет уравнению

	∂2v	+	∂2v	+ λ2v = 0	(6.6)
	∂t2		∂y2

и краевым условиям
v(0, y) = v(ℓ, y) = v(x, 0) = v(x, h) = 0.					(6.7)

В результате для v(x, y) получили краевую задачу типа Штурма–Лиувил- ля для двухмерного случая: найти значения λ, при которых уравнение (6.6) имеет нетривиальные решения, и сами эти решения. Как и выше, искомые значения λ называются собственными, а решения уравнения (6.6) — собственными функциями. Функцию v(x, y) в свою очередь представим в виде v(x, y) = X(x)Y (y) и, подставляя в уравнение (6.6), получим

X′′(x)Y (y) + X(x)Y ′′(y) + λ2X(x)Y (y) = 0.

Разделяем переменные

X′′(x) + Y ′′(y) = −λ2.

X(x) Y (y)

Это равенство будет выполняться тождественно, если отношения X′′(x)

X(x)

и	Y ′′(y)	будут постоянными для (x, y) R, а так как X(0) = X(ℓ) = 0,
	Y (y)

Y (0) = Y (h) = 0, то в качестве X(x) и Y (y) будем иметь соответственно

Xk(x) = Ak sin	πkx	,	Ym(y) = Bm sin	πmy	,

	ℓ			h

αkm, βkm — произвольные постоянные. Строим формальное решение

§ 6.. Задача о колебании прямоугольной мембраны							83
k, m = 1, 2, . . . ; Ak, Bm — произвольные постоянные,
λ2 = (	πk	)	2		πm		2
				+ (		)	= λkm2 .
	ℓ				h

Тем самым показано, что задача (6.6), (6.7) имеет бесконечное множество собственных значений λnm и собственных функций

vkm(x, y) = ckm sin	πkx	sin	πmy	, ckm = AkBm.

	ℓ		n

Нетрудно показать, что эти функции при разных k и m ортогональны

в прямоугольнике R, а именно: если (k − i)2 + (m − j)2 > 0, то x

vij · vkm dx dy = 0,

Заметим по ходу дела, что собственные значения λkm не обладают в общем случае свойством простоты, т. е. некоторым значениям λkm могут отвечать несколько линейно независимых собственных функций. Например, если R — квадрат [0, π; 0, π], ℓ = h = π, то собственные функции v12 = sin x sin 2y и v21 = sin 2x sin y отвечают одному собственному значе-

нию λ212 = λ221 = 5.

Для множителя T (t) получаем уравнение

Tkm′′ (t) + λ2kma2Tkm(t) = 0,

общее решение которого записывается в виде

Tkm(t) = αkm cos λkmat + βkm sin λkmat,

∞	∞	πkx	· sin	πmy
u(x, y, t) =	(akm cos λkmat + bkm sin λkmat) sin				,
u(x, y, t) =	(akm cos λkmat + bkm sin λkmat) sin	ℓ		h	,
=1 m=1
∑k	∑

где akm = αkmckm, bkm = βkmckm — неизвестные коэффициенты, обеспечивающие равномерную сходимость рядов для u(x, y, t) и ∂u/∂t. Они определяются из расчета выполнения начальных условий (6.4) и (6.5).

84 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

При t = 0 имеем

∞

πkx

πmy

∑k

∑

· sin

akm sin

ℓ

= f(x, y).

=1 m=1

Отсюда

wℓ wh f(x, y) sin

akm =

πkx

· sin

πmy

dx dy.

ℓh

ℓ

Аналогично

bkm =

wℓ wh F (x, y) sin

πkx

sin

πmy

dx dy.

aλkm

ℓh

ℓ

На этом теоретическая часть завершается. Предлагаем решить следующие задачи.

Задачи

Задачи на колебания в среде без сопротивления

I 2.1. Однородная струна ℓ, закрепленная на обоих концах, находится в положении равновесия, занимая отрезок [0, ℓ] оси Ox, следовательно,

u(0, t) = 0,

u(ℓ, t) = 0.

Найти решение уравнения

∂2u

для любого t > 0, если задаются

= a2

∂x

начальные условия:

∂t

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

3πx

8πx

∂u

u(x, 0) = 5 sin

−

sin

(x, 0) = 0;

ℓ

∂t

∂u

πx

3πx

7πx

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = 6 sin

− sin

+ 3 sin

;

∂t

ℓ

2πx

5πx 1

8πx

u(x, 0) =

sin

+ 4 sin

−

sin

ℓ

∂u

sπx

pπx

, A и B — постоянные, s, p N;

(x, 0) = A sin

+ B sin

∂t

ℓ

Задачи

u(x, 0) = Ax,

∂u

(x, 0) = 0, A — постоянная;

∂t

∂u

v ,

если

α < x < β,

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = {

00,

при

x [0, α] [β, ℓ];

∂t

u(x, 0) =

4hx(ℓ − x)

∂u

(x, 0) = 0;

∂t

ℓ2

0 6 x 6 c,

∂u

u(x, 0) =

(x, 0) = 0

ℓ)

∂t

;

h(x

−

c < x

ℓ,

(c − ℓ)4

∂u

16h

u(x, 0) =

[(

) − 2 (

)

h > 0,

(x, 0) = 0.

ℓ

∂t

I 2.2. Левый конец стержня x = 0 закреплен, а правый x = ℓ свободен, это означает выполнение условий

u(0, t) = 0,	∂u	(ℓ, t) = 0 для t > 0.
	∂x

Найти продольные колебания стержня, удовлетворяющие уравнению

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

при следующих начальных условиях:

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

u(x, 0) = A sin

3πx

+ B sin

11πx

∂u

(x, 0) = 0;

2ℓ

∂t

2ℓ

= 0,

∂u

7πx

9πx

;

u(x, 0)

(x, 0) =

sin

−

sin

∂t

2ℓ

u(x, 0)

= sin

5πx

∂u

(x, 0) = sin

3πx

;

2ℓ

∂t

u(x, 0)

= 0,

∂u

(x, 0) = v0;

∂t

u(x, 0)

∂u

(x, 0) = 0;

ℓ

∂t

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

3πx

5πx

∂u

u(x, 0) =

sin

−

sin

(x, 0) = v0;

2ℓ

∂t

u(x, 0) = x,

∂u

(x, 0) = v0;

∂t

∂u

πx

3πx

u(x, 0) = Ax,

(x, 0) = sin

− 2 sin

∂t

2ℓ

I 2.3. Проинтегрировать уравнение продольных колебаний стержня

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

если левый конец x = 0 свободен, правый x = ℓ закреплен, т. е.

∂u

(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0, t > 0,

∂x

со следующими начальными условиями:

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

u(x, 0) = A cos

5πx

+ B cos

7πx

∂u

(x, 0) = 0;

∂t

2ℓ

u(x, 0) = 0,

∂u

5πx

7πx

;

(x, 0) = 2 cos

−

cos

∂t

2ℓ

πx

∂u

3πx

5πx

u(x, 0) = cos

(x, 0) = cos

−

cos

;

2ℓ

∂t

2ℓ

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = v0;

∂t

u(x, 0) =

h(ℓ − x)

∂u

(x, 0) = 0;

∂t

ℓ

5πx

3πx

∂u

u(x, 0) =

cos

−

cos

(x, 0) = v0;

2ℓ

∂t

∂u

πx

3πx

u(x, 0) = ℓ − x,

(x, 0) = cos

−

3 cos

;

∂t

2ℓ

u(x, 0) = A(ℓ − x),

∂u

(x, 0) = v0.

∂t

Задачи

I 2.4. Изучить задачу о продольных колебаниях стержня, оба конца которого свободны. Подобная задача возникает при движении ракеты в безвоздушном пространстве. Искомая функция u(x, t), как мы говорили в § 2, с. 58, удовлетворяет уравнению

∂2u

= a2

∂2u

и краевым условиям

∂t2

∂x2

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0.

∂x

Решить задачу с начальными данными:

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = cos2

3πx

;

∂t

ℓ

u(x, 0) = sin2

5πx

∂u

(x, 0) = 0;

ℓ

∂t

2πx 1

3πx ∂u

6πx 2

7πx

u(x, 0) = 1 + cos

−

cos

(x, 0) = 2 cos

−

cos

;

ℓ

∂t

ℓ

u(x, 0) =

∂u

(x, 0) = 0;

ℓ

∂t

u(x, 0) = sin2

πx

∂u

(x, 0) = x;

ℓ

∂t

u(x, 0) = x,

∂u

(x, 0) = v0;

∂t

∂u

8πx

u(x, 0) = ℓ − x,

(x, 0) = cos2

;

∂t

ℓ

3πx

∂u

u(x, 0) = cos

(x, 0) = ℓ − x.

ℓ

∂t

I 2.5. В следующей серии рассматриваются задачи о продольных колеба-

ниях стержня, один из концов или оба закреплены упруго.

В полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 для уравнения

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

решить начально-краевые задачи со следующими условиями:

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = 1,

∂u

(x, 0) = 0;

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 1;

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = Ax,

A — постоянная;

∂u

(x, 0) = 0;

∂t

∂u

(0, t) − hu(0, t) = 0, h > 0, u(ℓ, t) = 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

∂u

(0, t) − hu(0, t) = 0,

h > 0,

(ℓ, t) = 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

∂u

(0, t) − hu(0, t) = 0,

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

∂u

(0, t) − h1u(0, t) = 0,

(ℓ, t) + h2u(ℓ, t) = 0, h1 > 0, h2 > 0,

∂x

Задачи		89
u(x, 0) = f(x),	∂u	(x, 0) = F (x).
u(x, 0) = f(x),	∂t	(x, 0) = F (x).
	∂t

Задачи о колебании в среде с сопротивлением

I 2.6. В полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 для уравнения

∂2u + 2ν∂u = a2 ∂2u ∂t2 ∂t ∂x2

(колебания в среде с сопротивлением) решить начально-краевые задачи со следующими условиями:

1) ν <

aπ

, u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0,

ℓ

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂t

2) u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0,

u(x, 0) =

c x,

0 6 x 6 c,

∂u

(x, 0) = 0

ℓ − c

∂t

;

h(ℓ

−

ℓ,

, c < x

∂u

3) u(0, t) = 0,

(ℓ, t) = 0, u(x, 0) = Ax,

(x, 0) = 0, A = const;

∂x

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) = 0,

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x);

∂x

∂t

∂u

(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0, h > 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = F (x).

∂t

Для 0 < x < π/2, t > 0 решить начально-краевые задачи:

I 2.7.

∂2u

∂u

∂2u

+ 2

∂t2

∂t

∂x2

∂u

(0, t) = 0, u (

, t)

= 0; u(x, 0) = f(x),

(x, 0) = F (x).

∂x

∂t

90	Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

I 2.8.

∂2u

∂u

∂2u

+ 2

∂t2

∂t

∂x2

∂u

(0, t) = 0, u (

, t) = 0;

∂x

I 2.9.

∂2u

− 2u =

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0;

∂u

(

, t) = 0;

∂x

I 2.10.

∂2u

− 5u =

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u

(

, t) = 0;

∂x

I 2.11.

∂2u

− 10u =

∂2u

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u

(

, t) = 0;

∂x

I 2.12.

∂2u

− 10u =

∂2u

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u

(

, t) = 0;

∂x

I 2.13.

∂2u

− 17u =

∂2u

∂t2

∂x2

u(0, t) = 0,

∂u

(

, t) = 0;

∂x

u(x, 0) = cos x,	∂u	(x, 0) = 0.
	∂t

u(x, 0) = f(x),	∂u	(x, 0) = F (x).
	∂t

u(x, 0) = f(x),	∂u	(x, 0) = F (x).
	∂t

u(x, 0) = f(x),	∂u	(x, 0) = 0.
	∂t

u(x, 0) =	sin x	+ sin 3x,	∂u	(x, 0) = 0.
	9		∂t

u(x, 0) = f(x),	∂u	(x, 0) = F (x).
	∂t

Текстовые задачи

I 2.14. Однородная струна длиной ℓ, закрепленная на обоих концах, находится в прямолинейном положении равновесия. В некоторый момент времени, принимаемый за начальный, она получает в точке x = c удар от молоточка, который сообщает этой точке постоянную скорость v0. Найти отклонение u(x, t) для любого момента времени.

Рассмотреть два случая.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 319 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]