Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

УДК 517.95 ББК 22.311

К 88

Печатается по решению редакционно-издательского совета Южного федерального университета

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Наседкин А. В.; кандидат физико-математических наук, доцент Цибулин В. Г.; кандидат физико-математических наук,

доцент Виноградова Г. Ю.;

кандидат физико-математических наук, доцент Цвиль М. М.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Южного федерального университета, 2011

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Глава I. Метод характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 4. Задачи с данными на характеристиках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье . . 49

§ 1. Уравнение колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 § 2. Уравнение продольных колебаний стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 § 3. Общая схема метода Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 § 5. Неоднородные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1. Стационарная неоднородность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.Неоднородные задачи со специальными неоднородностями . 72

5.3.Вынужденные колебания физических объектов

с неоднородностями общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 § 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье . . 104

§ 1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи . . . 104 § 2. Краевые условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4

§ 3. Теплопроводность шарообразных тел с центральносимметричным распределением температуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Глава IV. Уравнения эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве и на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике . . . . . . . . . . . . . . 132 § 3. Краевые задачи в круговых областях для уравнений

Лапласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Глава V. Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . 160

§ 1. Преобразование Фурье и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 § 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня . . . . . . . . . . . . . . 163 § 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.1. Косинус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.2. Синус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 § 4. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.1. Функция-оригинал. Функция-изображение . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.2. Основные свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.3. Таблица изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.4. Определение функции-оригинала по известному изображению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

§ 1. Введение в теорию функций Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1.1. Радиальные колебания круглой мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1.2. Задача о малых колебаниях тяжелой нити . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ответы к задачам главы I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5

Ответы к задачам главы II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Ответы к задачам главы III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Ответы к задачам главы IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Ответы к задачам главы V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Ответы к задачам главы VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Светлой памяти нашего учителя — профессора Рогожина Владимира Сергеевича посвящается

Предисловие

Предлагаемый задачник является результатом обобщения многолетнего опыта преподавания курсов «Уравнения с частными производными»

и«Уравнения математической физики» на дневном и вечернем отделениях механико-математического и физического факультетов Южного федерального университета. За основу было взято учебное пособие [8], в достаточной мере апробированное в течение ряда лет на физфаке и мехмате. В данном издании оно значительно переработано, пополнено не только большим числом новых задач, но и новыми разделами. В некоторой степени были использованы материалы известных задачников [4, 5, 10] без ссылок на источники.

Авторы не ставили задачу охватить все методы, используемые в математической физике, а постарались подготовить доступное для широкого круга читателей введение в традиционные аналитические методы решения задач на практических занятиях в вузе.

Каждый раздел задачника содержит краткое изложение теоретического материала и подробное решение типовых задач. К некоторым заданиям приводятся указания необходимого объема, способствующие самостоятельному решению. Главы I–IV содержат примеры большого диапазона трудности, что позволяет использовать задачник при многоуровневом обучении

идля специальностей инженерного типа.

Все ответы приведены в конце книги. Если задача имеет несколько вариантов решения с нетождественными на первый взгляд ответами, то записаны соответствующие варианты ответов.

Приводимый набор заданий позволяет использовать пособие для проведения плановых контрольных работ и при текущем контроле. Оно может быть полезным научным работникам для предварительного ознакомления с излагаемым учебным материалом.

Будем весьма признательны всем читателям, которые обратят наше внимание на неизбежные в работе такого объема недосмотры.

Авторы от души благодарят Е. В. Ширяеву и И. В. Ширяеву за помощь в оформлении работы.

Глава I

Метод характеристик

В главе I приводятся задачи для уравнений в частных производных второго порядка, решаемые методом характеристик. Основная идея метода — упростить исходное уравнение с помощью специальной замены независимых переменных, привести его к каноническому виду, а затем по возможности найти общее решение и решить специальные задачи (задачу Коши или задачу с данными на характеристиках).

§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка

В этом разделе рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, линейные относительно вторых производных, следующего вида:

в рассматриваемых областях непрерывны вместе со своими первыми производными.

Выражение ∆ = B2 − AC называется дискриминантом этого уравнения. Если в некоторой области D плоскости xOy выполняется неравенство ∆ > 0, то уравнение (1.1) называется гиперболическим в этой области.

При ∆ = 0 в области D уравнение (1.1) называется параболическим, а при

∆ < 0 в D — эллиптическим в области D.

Заменой переменных x, y на новые ξ, η по формулам

при соответствующем выборе функций φ1(x, y), φ2(x, y) в каждом из указанных трех случаев уравнение (1.1) может быть приведено к так называемому каноническому виду, а именно:

При осуществлении указанной замены переменных понадобится выражение x и y через ξ и η. То есть система уравнений (1.2) должна быть разрешимой относительно x и y. Известно, что условием такой разреши-

Поэтому при выборе функций φ1, φ2 мы должны заботиться о том, чтобы в рассматриваемой области они удовлетворяли этому неравенству.

Для нахождения функций φ1(x, y), φ2(x, y), при которых замена переменных (1.2) приводит уравнение (1.1) к каноническому виду, составляется следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Оно называется характеристическим для уравнения (1.1).

Если A(x, y) ≡ C(x, y) ≡ 0 в области D, то B(x, y) ≠ 0 в D (иначе уравнение (1.1) не является уравнением второго порядка в этой области). Тогда уравнение (1.1) является гиперболическим в указанной области и после деления на B(x, y) приобретает канонический вид. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать случаи, когда в D или A ≠ 0, или C ≠ 0.

1.Пусть уравнение (1.1) в области D является гиперболическим (∆ > 0)

идля определенности A ≠ 0. Тогда уравнения (1.51) и (1.52) различны

идействительны. В этом случае для приведения уравнения (1.1) к кано-

ническому виду следует в формулах (1.2) в качестве φ1(x, y) взять какойнибудь интеграл1 уравнения (1.51), а в качестве φ2(x, y) — какой-нибудь интеграл уравнения (1.52) (или наоборот).

2.В случае параболического уравнения (∆ = 0) уравнения (1.51) и (1.52) одинаковы и имеют вид

В этом случае для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в качестве одной из функций φ1(x, y), φ2(x, y) следует взять какой-нибудь интеграл уравнения (1.5). Другую же из этих функций можно выбрать произвольно, но так, чтобы выполнялось неравенство (1.3) (можно показать, что в качестве этой другой функции всегда годится или x, или y).

3. Если ∆ < 0 в области D, т. е. уравнение (1.1) эллиптическое в этой

√

области, то коэффициенты B± ∆ в уравнениях (1.51) и (1.52) комплексно сопряженные. Поэтому комплексно сопряженные и интегралы этих уравнений. Для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в этом случае достаточно взять какой-нибудь интеграл φ(x, y) любого из уравнений (1.51), (1.52) и в формулах (1.2) положить

φ1(x, y) = Re φ(x, y), φ2(x, y) = Im φ(x, y)

или наоборот.

При замене переменных (1.2) производные функции u = u(ξ, η) = = u(ξ(x, y), η(x, y)) по старым переменным x, y, как известно из анализа,

1 Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка разрешено относительно произвольной постоянной, т. е. записано в виде равенства φ(x, y) = C, то это равенство называется общим интегралом рассматриваемого уравнения, а входящая в него функция φ(x, y) — интегралом этого уравнения.