Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

102 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

I 2.95. Однородная прямоугольная мембрана закреплена по периметру прямоугольника R = [0, ℓ; 0, h] и имеет в начальный момент t = 0 форму, являющуюся графиком функции f(x, y) = Axy(ℓ − x)(h − y), A — малое число. Определить отклонение мембраны от положения равновесия в любой момент t > 0, если сопротивление окружающей среды практически отсутствует, а начальные скорости равны нулю.

I 2.96. Однородная мембрана в положении равновесия совпадает с прямоугольником R = [0, ℓ; 0, h]. В момент времени t = 0 она получает удар по центру прямоугольника плоским молоточком так, что

{

Изучить свободные колебания мембраны, если она остается закрепленной на границе для любого t > 0.

I 2.97. В области R = [0, ℓ; 0, ℓ], t > 0 найти решение уравнения

∂u∂t (x, y, 0) = B sin πℓx · sin 2πℓy, A, B — постоянные числа,

u(0, y, t) = u(ℓ, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, ℓ, t) = 0.

(A — постоянное число), удовлетворяющее условиям

u(0, y, t) = u(ℓ, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, h, t) = 0,

u(x, y, 0) = ∂u∂t (x, y, 0) = 0.

Глава III

Уравнения параболического типа. Метод Фурье

Без особых теоретических трудностей метод Фурье (метод разделения переменных) переносится на уравнения параболического типа. Краевые задачи для дифференциальных уравнений, возникающие в ходе решения начально-краевых задач, практически совпадают с рассмотренными во второй главе и, как станет ясно в будущем, носят более естественный характер.

§1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи

Впервую очередь рассмотрим уравнение теплопроводности. Пусть некоторое трехмерное тело, занимающее объем Ω, неравномерно нагрето, тогда тепло из более горячих точек будет перемещаться в более холодные области. Выберем в Ω гладкую поверхность ∆S единичной площади с нормалью n, направленной в сторону уменьшения температуры. Через u(x, y, z, t) обозначим температуру точки (x, y, z) Ω в момент времени t — неизвестную функцию распределения температур, подлежащую определению в дальнейших задачах. Вывод уравнений для u(x, y, z, t) основан на использовании гипотезы Фурье, по которой тепловой поток q через ∆S, т. е.

количество тепла, проходящего через единицу площади в единицу времени, пропорционален производной ∂u/∂n:

k > 0 — коэффициент теплопроводности, знак минус поставлен из-за убывания u(x, y, z, t) в направлении n, так как q > 0. В общем случае k зависит и от точки (x, y, z), и от направления n. Для упрощения задач предполагается, что k = k(x, y, z). Такие тела называются изотропными. Если тело однородное, то k будет постоянным числом, определяемым экспериментально. Через c и ρ обозначим удельную теплоемкость тела и его объемную плотность соответственно. Для однородного тела они будут иметь постоянные значения.

При составлении уравнения необходимо учесть наличие внутренних источников тепла или его поглощения. Пусть M(x, y, z, t) — мощность (производительность) источников, т. е. количество тепла, вырабатываемого единицей объема тела в единицу времени.

Опуская несложные выкладки и рассуждения, приведем готовое урав-

При отсутствии внутренних источников тепла уравнение (1.2) становит-

Если исследуемое тело является тонкой пластиной с теплоизолированными основаниями, то уравнения (1.2) и (1.3) перепишутся соответственно:

Наконец, для одномерного тела, являющегося тонким стержнем с постоянной (для простоты) площадью поперечного сечения и теплоизолиро-

В последнем случае предполагается, что ось 0x направлена вдоль стержня и температура сечения с абсциссой x не зависит ни от y, ни от z. Заметим, что (1.6) и (1.7) являются основными объектами исследования в дальнейшем.

Для каждого из приведенных уравнений по переменной t ставится задача Коши — задача определения температуры в исследуемой области при t > 0 по известному начальному распределению при t = 0. Задача Коши формулируется следующим образом: найти в области Ω × (0, ∞) ((x, y, z) Ω, t > 0) решение соответствующего уравнения, принимающего

Подобные уравнения описывают также диффузионные процессы в растворах или сплавах, когда из мест с высокой концентрацией частицы растворенного вещества переходят в места с меньшей концентрацией. Пусть q — безвозвратный поток вещества, проходящий через поверхность ∆S единичной площади в единицу времени, а C(x, y, z, t) — концентрация диффундирующего вещества в точке (x, y, z) в момент времени t. Если n — нормаль к ∆S, направленная в сторону уменьшения C(x, y, z, t), то имеет место закон Фика:

где D > 0 — коэффициент диффузии, который для простоты будем считать независимым от времени, а еще проще — постоянным числом. Так как

равенство (1.11) аналогично гипотезе Фурье, то C(, x, y, z, t) будет удовлетворять уравнениям, аналогичным (1.2)–(1.7). Например, для трехмерной области в задаче о выравнивании концентрации (отсутствие источников новых частиц) уравнение диффузии имеет вид

Физически совпадение уравнений объясняется единым механизмом молекулярного переноса: для теплопроводности энергии, для диффузии массы. Аналогично ставится и задача Коши.

§ 2. Краевые условия

Если область Ω ограниченная и, значит, имеет гладкую или кусочногладкую границу S, то на S задаются дополнительные условия, называемые краевыми или граничными. Сформулируем для (1.2) и (1.3) основные

∂u

Если граница (или ее часть) теплоизолированная, то ∂n S = 0.

3. Свободный теплообмен со средой. По определению это означает, что тепловой поток, излучаемый телом, пропорционален разности температуры тела u(x, y, z, t) и температуры окружающей среды u0: q = α(u − u0)

108 Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

на S, α — коэффициент пропорциональности, зависящий от степени теплоизолированности границы области Ω. Краевое условие записывается со-

Подобным образом формулируются задачи для уравнений (1.4) и (1.5) на граничной кривой L.

Подробнее остановимся на краевых условиях для уравнения теплопроводности ограниченного стержня, занимающего отрезок [0, ℓ]. Так как граница отрезка несвязное множество, то граничные требования формулируются отдельно для точки x = 0 и x = ℓ.

Первый тип краевых условий:

u(0, t) = φ(t), u(ℓ, t) = ψ(t), t > 0.

Если концы стержня поддерживаются при нулевой температуре (стержень

где k0n, αn, n = 1; 2, значения k0 и α на концах стержня.

Если u0 ≡ 0, то обычно краевые условия свободного теплообмена со средой с нулевой температурой записывают в следующем виде:

евые условия.

Аналогичные краевые условия имеют место и для уравнения фильтрации. Так, если граница области S фильтрации непроницаемая для растворенного вещества, то выполняется условие ∂C/∂n S= 0, n — нормаль к S.

Основной метод решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа — метод Фурье, подробно изложенный в главе II. Некоторые особенности возникают при решении задач о теплопроводности в шаровых областях, которым посвящен § 3.

§3. Теплопроводность шарообразных тел с центральносимметричным распределением температуры

Рассматривается задача о распределении температуры в шаре радиуса R с центром в начале координат. Неизвестная температура u(x, y, z, t)

Если начальная температура u(x, y, z, 0) является функцией сфериче-

√

ской координаты r = x2 + y2 + z2, краевое условие на сфере SR и слагаемое f(x, y, z, t) являются функциями r, t, то задача называется цент- рально-симметричной. В этом случае значение температуры на каждой сфере Sr, 0 < r < R, с центром в O(0, 0, 0) будет зависеть только от времени и сама неизвестная функция будет функцией от r, t, u = u(r, t).

В уравнении (3.1) переходят к сферическим координатам

x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ,

Так как искомая функция u не зависит от θ и φ, то (3.2) примет вид:

()

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Пример 3.1. Дан однородный шар радиуса R при начальной температуре равной нулю. Шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком q (симметричная задача). Найти радиальное распределение температуры в любой момент времени t > 0.

Решение. Так как внутренних источников тепла нет, то речь идет об интегрировании уравнения

k — коэффициент теплопроводности. Соотношение (3.5) дополняется условием в начале координат

Начальная температура u(r, 0) = 0.