Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Искомую функцию представим в виде суммы u(r, t) = v(r, t) + w(r, t), где v(r, t) попробуем найти как частное решение уравнения (3.4), удовлетворяющее краевым соотношениям (3.5) и (3.6), для w(r, t), которое ищется при краевых условиях ∂w/∂r r=R= 0, |w(0, t)| < ∞, ставится задача сформулировать начальное требование при t = 0.

Функцию v(r, t) ищем в виде v(r, t) = A(t) + B(r) с неизвестными слагаемыми. Подставим v в (3.4) и разделим переменные

A′(t) = a2 (r2B′(r))′. r2

Это равенство будет выполняться тождественно лишь тогда, когда обе части равны постоянной M. Отсюда

ми коэффициентами, положив w = Y/r, где Y (r, t) — новая неизвестная функция. Нетрудно подсчитать, что Y (r, t) будет решением следующей

смешанной задачи:

∂Y = a2 ∂2Y , ∂t ∂r2

Искомая функция может быть найдена по методу Фурье стандартным приемом. Полагаем Y = X(r)T (t),

Знак ν определим дополнительно, так как краевые условия на X(r): X(0) = 0, RX′(R) − X(R) = 0 — ранее в паре не встречались. Если ν > 0,

ν = b2, то X(r) = C1 sh br + C2 ch br, но C2 = 0 из-за X(0) = 0, а для r = R

должно быть Rb ch bR − sh bR = 0, это выполнится лишь при b = 0, что невозможно. Если ν = 0, то X = Ar + B, но B сразу равно 0, а X0 = A0r является собственной функцией. Наконец, положим ν = −λ2. Теперь

X′′ + λ2X = 0, X(r) = C1 cos λr + C2 sin λr.

Постоянная C1 = 0, так как X(0) = 0, удовлетворение второго краевого условия приводит к уравнению относительно λ

Rλ cos λR − sin λR = 0.

Положим λR = µ, для µ имеем соотношение

tg µ = µ.

Последнее уравнение имеет бесконечное число решений, мы ограничимся только положительными и обозначим их по порядку µ1, µ2, . . . , причем πk − π/2 < µk < π/2 + πk и µk → ∞, как πk. Тогда

Bk, k = 0, 1, . . . , — постоянные.

Формальное решение запишется в виде ряда

Считая, что ряд (3.7) сходится равномерно, найдем его коэффициенты. Умножим его на r и проинтегрируем по r на [0, R]:

Последний интеграл в силу ортогональности системы Xn(r), n = 0, 1, . . . , равен нулю. В итоге

где µn положительные корни уравнения tg µ = µ.

Задачи

Однородные задачи

Напомним, что начально-краевая задача называется однородной, если она ставится для однородного уравнения, в нашем случае это уравнение теплопроводности стержня (1.7) или близких к нему, и при однородных краевых условиях, например (2.2)–(2.5). В дальнейшем A, B, u0, q и т. д. обозначают некоторые постоянные.

I 3.1. Дан тонкий однородный теплоизолированный стержень длиной ℓ. Концы стержня x = 0 и x = ℓ поддерживаются при нулевой температуре

u(0, t) = u(ℓ, t) = 0.

Определить температуру стержня для любого t > 0, тем самым найти решение уравнения

I 3.2. Тонкий однородный с теплоизолированной боковой поверхностью стержень имеет длину ℓ. Проинтегрировать уравнение теплопроводности

стержня

∂u = a2 ∂2u, ∂t ∂x2

если при t > 0 его левый конец x = 0 поддерживается при нулевой температуре, а правый x = ℓ теплоизолирован, что соответствует краевым

условиям

u(0, t) = ∂u∂x(ℓ, t) = 0.

Начальная температура задана следующими функциями:

1)u(x, 0) = f(x);

2)u(x, 0) = 12 sin 52πℓx;

3)u(x, 0) = 3 sin 32πℓx − sin 112πℓx;

4)u(x, 0) = Ax.

I 3.3. В полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 найти решение уравнения

при таких начальных условиях:

1)u(x, 0) = f(x);

2)u(x, 0) = 2 cos 52πℓx − 13 cos 72πℓx;

3)u(x, 0) = T0;

4)u(x, 0) = A(ℓ − x).

I 3.4. Некоторое вещество в начальный момент неравномерно растворено в прямоугольном «аквариуме» длиной ℓ. Записать процесс выравнивания концентрации вещества в «сосуде» для любого t > 0, если стенки сосуда непроницаемы для вещества и растворителя. Задача сводится к интегри-

рованию уравнения

∂u = a2 ∂2u, ∂t ∂x2

116 Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

u(x, t) — концентрация вещества в сечении x, 0 < x < ℓ, при t > 0 при краевых условиях

I 3.5. В этой группе задач требуется в полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 найти решение уравнения теплопроводности

∂u = a2 ∂2u, ∂t ∂x2

когда на одном или на обоих концах стержня с теплоизолированной боковой поверхностью происходит свободный теплообмен со средой с нулевой температурой. Искомая функция должна удовлетворять следующим краевым и начальным условиям (h > 0):

I 3.6. Дан тонкий однородный стержень длиной ℓ, с боковой поверхности которого происходит свободный теплообмен со средой, имеющую нулевую температуру. Можно показать, что температура сечений стержня (ось x направлена вдоль тела) в любой момент t > 0 удовлетворяют уравнению

фициент теплопроводности, p — периметр поперечного сечения, σ — его площадь.

Требуется проинтегрировать указанное уравнение со следующими гра-

118 Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье

I 3.7. В полуполосе 0 < x < π, t > 0 решить начально-краевую задачу:

I 3.8. В полуполосе 0 < x < π, t > 0 решить начально-краевую задачу:

Начально-краевые задачи со стационарной неоднородностью

Определение стационарной неоднородности для уравнения параболического типа совпадает с введенным ранее в п. 5.1 главы II. Для уравнения теплопроводности стержня это означает, что интегрируется уравнение (1.6), когда свободный член f(x, t) является либо постоянным числом, либо функцией аргумента x, а в краевых условиях (2.2)–(2.5) справа вместо нулей могут стоять константы, отличные от нуля.

Идея решения та же, что и в п. 5.1 главы II, а именно: искомая функция u(x, t) записывается в виде суммы u(x, t) = v(x) + w(x, t). Функция v(x) должна удовлетворять данному неоднородному уравнению и заданным краевым требованиям. Для w(x, t) в итоге получается задача интегрирования соответствующего однородного уравнения с однородными граничными условиями, но с новым начальным условием, в которое наряду со значением u(x, 0) войдет v(x), w(x, 0) = u(x, 0) − v(x). Таким образом, w(x, t) решает одну из ранее приведенных однородных задач.

В полуполосе 0 < x < ℓ, t > 0 решить следующие начально-краевые