Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Рассмотрим еще интеграл

w∞

Φ(z) = f(τ) sin z(τ − x) dτ.

−∞

Функция Φ(z) нечетная для любого x по z и хотя, как можно показать, непрерывна по z, но не обязательно интегрируема на (−∞, ∞), однако интеграл от Φ(z) в смысле главного значения по Коши сходится и равен нулю:

Умножая (1.2) на i и складывая с (1.1), получим интегральную формулу Фурье в комплексном виде:

−∞

Формула (1.3) позволяет построить прямое и обратное интегральные преобразования Фурье. Прямое преобразование функции f(x) — обозначим его F (z) — записывается так:

2π −∞

Возможны обозначения F (z) = fb(z) = V f и др. Из формулы (1.3) следует, что выражение

является обратным преобразование Фурье.

Исходную функцию f(x) здесь и далее называют оригиналом или прообразом преобразования, F (z) — изображением или образом.

Перечислим некоторые свойства преобразования Фурье:

1. Если f(x) абсолютно интегрируема на (−∞, ∞), то F (z) непрерывна в каждой точке оси и стремится к нулю при z → ±∞ [12, с. 637].

2.Преобразование Фурье линейно и однородно, т. е. для любых чисел α,

βвыполняется равенство

V (αf + βg) = αV f + βV g.

3. Преобразование производных. Заметим, что в теории дифференциальных уравнений применяются интегральные преобразования, которые операцию взятия производных или определенный дифференциальный оператор переводят в более простую операцию. Без доказательства покажем, как работает преобразование Фурье.

Пусть f(x) и f′(x) непрерывны и абсолютно интегрируемы на (−∞, ∞),

тогда

V (f′(x)) = (−iz)V (f).

Если еще и f′′(x) удовлетворяет перечисленным выше требованиям, то

V(f′′(x)) = (−iz)2V (f) = −z2V (f).

4.Преобразование интеграла. Пусть f(x) абсолютно интегрируемая на

5. Сдвиг в оригинале:

V(f(x − ξ)) = eizξV (f).

6.Сдвиг в изображении:

V (e−ixξf(x)) = F (z − ξ).

Как следствие, получаем формулы

V (cos xξf(x)) = 12(F (z + ξ) + F (z − ξ)),

V (sin xξf(x)) = 21i(F (z + ξ) − F (z − ξ)).

7. Преобразование свертки. Теоретически каждое интегральное преобразование во множестве преобразующих функций (оригиналов) имеет внутреннюю операцию, называемую сверткой, не всегда простую. Для преобразования Фурье свертка определяется так.

Определение 1.1. Пусть f(x) и g(x) абсолютно интегрируемы на (−∞, ∞). Под сверткой этих функций (обозначается f g) понимается следующая операция:

Заметим, что h(x) также абсолютно интегрируема по оси x и

f g = g f.

Имеет место следующее свойство. Преобразование Фурье свертки равняется произведению преобразований компонентов, т. е.

V (f g) = V (f) · V (g).

§2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня

Вкачестве иллюстрации рассмотрим задачу об интегрировании уравнения теплопроводности для неограниченного в оба конца тонкого однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью.

Пример 2.1. В области −∞ < x < ∞, t > 0 найти решение уравнения

удовлетворяющее условию

Решение. Преобразуем по Фурье обе части уравнения (2.1) по переменной x, полагая V (u) = ub(z, t). Искомая функция u(x, t) обладает некоторыми предварительными свойствами, не связанными условиями вывода уравнения и физических особенностей решения. Так, автоматически

164 Глава V. Метод интегральных преобразований

возможность дифференцирования несобственных интегралов по t, можно доказать справедливость равенства

()

Преобразованное по Фурье уравнение (2.1) примет вид

V (∂u) = a2V (∂2u), ∂t ∂x2

или

∂ub(z, t)

∂t

(2.3)

Уравнение (2.3) по существу считаем обыкновенным дифференциальным уравнением с параметром z, а решение ищется, удовлетворяющее начальному условию, которое получается преобразованием Фурье равенства (2.2):

V (u(x, 0)) = V (φ), или

Решая уравнение (2.3), находим, что

где C(z) — неизвестная функция параметра z. Полагая в (2.5) t = 0, получаем, что C(z) = φb(z).

В терминах образов преобразования Фурье получаем

ub(z, t) = φb(z)e−a2z2t.

Искомую функцию находим обратным преобразованием Фурье. Это можно сделать непосредственными вычислениями, но мы воспользуемся свойством свертки в обратную сторону, записав

u(x, t) = V −1(ub) = φ(x) g(x),

§ 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье

Названные преобразования используются при решении начальнокраевых задач для уравнения теплопроводности в случае полубесконечного стержня, для определенности x (0, ∞), при таких краевых усло-

виях u(0, t) = µ(t), либо ∂u∂x(0, t) = ν(t). Начальное условие вида (2.2): u(x, 0) = φ(x).

Если краевые условия однородны, то поставленная задача обычно сводится к случаю x (−∞, ∞), т. е. рассмотренному ранее. Если u(0, t) = 0, то искомую функцию u(x, t) продолжают для x < 0 нечетным образом, по-

u˜(x, t) находится по формуле (2.6), в которой u(x, t) = u˜(x, t) при x > 0. Если же ∂u∂x(0, t) = 0, то u(x, t) продолжается четным образом:

{

u˜(x, t) =

u(x, t), x > 0, u(−x, t), x < 0.

Пусть краевые условия неоднородные. Рассмотрим варианты

u(0, t) = µ(t) и ∂u(0, t) = ν(t), ∂x

а u(x, t) является решением уравнения (2.1) в области x > 0, t > 0. К решению подобных задач привлекают косинусили синус-преобразования Фурье.

Из начального условия (3.5) после его преобразования получаем начальное требование для (3.7) Vc(u(x, 0)) = U(z, 0) = 0, которое удовлетворяется при C(z) = 0. Таким образом,

00

=−2πa2 wt ν(τ)(w∞e−a2z2(t−τ) cos zx dz)dτ.

00

§ 4. Преобразование Лапласа

4.1. Функция-оригинал. Функция-изображение

Определим класс функций, на котором можно построить интегральное преобразование Лапласа. В качестве функций-оригиналов определим множество комплекснозначных функций f(x) вещественного переменного t, −∞ < t < ∞, удовлетворяющих условиям:

1.f(t) однозначна и кусочно непрерывна для любого t, −∞ < t < ∞.

2.f(t) ≡ 0 для t < 0.

3.При t → +∞ функция f(t) растет не быстрее показательной функции. Это означает, что найдутся M > 0 и a > 0, при которых имеет место оценка

В конкретных задачах условие 1 может быть усилено требованием существования у f(t) производных до определенного порядка.

Преобразованием Лапласа функции f(t) назовем несобственный интеграл с комплексным параметром p = x + iy

Функцию F (p), естественно, назовем функцией изображения или образом преобразования, тогда f(t) будем называть прообразом. Требования на f(t) обеспечивают существование F (p) в некоторой области комплексной плоскости p. Для обозначения операции преобразования воспользуемся вариантом

f(t) : F (p).

Для F (p) имеет место приведенная ниже теорема.

Теорема 4.1. Пусть f(t) удовлетворяет неравенству (4.1), тогда F (p) определена на множестве Re p > x0 > a, непрерывна и, более того, аналитическая по p в этой области.

Приведенная теорема подчеркивает важность постоянной a в оценке (4.1), и в ряде случаев удается указать точную границу полуплоскости определения F (p).

Например, для оригиналов со степенным ростом (tν, ν > 0) F (p) аналитическая в полуплоскости Re p > 0, если f(t) = e(α+iβ)t, — то в области

Re p > +α.