Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3128 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы IV

271

3) u(x, y) =

1 sh

2π(b−y)

2πx

3π(b − y)

3πy

sin

3πx

sin

+ 2

+ sh

2πb

3πb

3 sh

(

) sh

−

1 sh 5xy

5πx

−

· sin

2 sh

5πb

u(x, y) =

2aA

∞

(−1)k+1

kπ(b − y)

sin kπax

4.5. 1)

∑k

sh kaπb

3π

sh 3πy

3πx

· sin

;

3πb

8a2A

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

2) u(x, y) =

∑k

;

· sin

π3

(2k + 1)3

(2k+1)πb

∞

(2k+1)π(b−y)

3) u(x, y) =

4u0

∑k

(2k + 1)πx

(2k + 1)

(2k+1)πb

· sin

sh 2πy

2πx

+ 3

· sin

2πb

4.6. u = u1 + u2 (см. задачи 4.2.1, 4.4.1).

π(b−y)

πx

8Ab2

∞ sh

(2k+1)π(a−x)

sin

(2k+1)πy

4.7. 1) u(x, y) = B

∑k

;

sh πab

· sin

π3

(2k + 1)3

(2k+1)πa

2) u(x, y) = 2

3π(a−x)

3πy

4π(a−x)

4πy

· sin

− 3

· sin

3πa

4πa

π(b−y)

πx

3π(b−y)

3πx

+ 2

sin

;

sh πab

3πb

2π(a−x)

2πy

3πx

3πy

3) u(x, y) =

· sin

+ 3

· sin

2πa

3πa

π(b−y)

πx 1 sh

4πy

4πx

+ 3

· sin

;

sh πab

4πb

272 Ответы к задачам

8Ab2

∞

(2k+1)π(a−x)

(2k + 1)πy

4) u(x, y) =

∑k

· sin

π3

(2k + 1)3 sh

(2k+1)πa

3π sh 3πy

3πx

· sin

3πb

u(x, y) =

2bh

∞

(−1)k+1

sh kπ(a − x)

sin kπby

4.8. 1)

∑k

sh kπba

3π(b−y)

3πx 1

5π(b−y)

5πx

+ 3 ·

· sin

−

· sin

;

3πb

5πb

u(x, y) =

2bA

∞

(−1)k+1

sh kπbx

sin

kπy

∑k

sh kπba ·

8a2B

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

∑k

;

· sin

π3

(2k + 1)3

(2k+1)πb

3) u(x, y) = 2 ·

3π(b−y)

3πx

sh πy

πx

· sin

+ 3

· sin

3πb

sh πab

∞

(2k+1)πx

4u0

∑k

(2k + 1)πy

(2k + 1)

(2k+1)πa

· sin

∑k

4u0

∞

(2k+1)(a−x)π

(2k + 1)πy

4.9. u(x, y) =

(2k + 1) sh

(2k+1)πa

sin

4.10. 1) u1(x, y) =

(a − x) +

x +

cos kπy

∞

kπ

kπx

∑

fk sh

−

x) + Fk sh

k=1 (

) sh kb

πa

fk =

wb f(y) cos

kπy

dy, Fk =

wb F (y) cos

kπy

dy, k = 0, 1, 2, . . . ;

∞

kπy

kπ

sin kπx

2) u2(x, y) =

∑

φk ch

ψk ch

k=1

kπ (

a −

−

) sh ka

πb

5) u(x, y) = −π2 u0

Ответы к задачам главы IV

273

φk =	2	wa	φ(x) sin	kπx	dx, ψk =	2	w2	ψ(x) sin	kπx	dx, k = 1, 2, . . . ;
	a			a		a			a
0			0

3)u3 = u1(x, y)+u2(x, y), где u1(x, y) и u2(x, y) из задач 4.10.1 и 4.10.2;

4)u(x, y) = a (3 ch πy − 2 ch π(b − y)) sin πax +

πa a sh πab

2π(b − y)

sin

2πx

3πy

sin

3πx

4π

2πb

9π

3πb

;

∞

(2k + 1)π(b

∑

−

(2k + 1)2

k=0


sin		(2k+1)πx
sin		a	;
		a
sh	(2k+1)πb
sh		a
		a

πx

πy

3πx

3πy

6) u(x, y) =

(a − x) +

−

· cos

· sin

· sh

;

πa

3π

∞

(2k+1)πx

(2k + 1)πy

7) u(x, y) =

x −

· cos

π2

(2k + 1)2

(2k+1)πa

πy

πx

∑k

· sin

;

sh πb

b(a − x)

∞

(2k+1)π(a−x)

(2k + 1)πy

u(x, y) =

cos

π2

(2k + 1)2 ·

(2k+1)πa

3a ch 2πy

2πx

∑k

;

· sin

2π

2πb

9) u(x, y) =

sh 4πx

4πy

ch πy

πx

;

· cos

+ 2

· sin

4πa

sh πb

10)

b(a−x)

∞

(2k+1)π(a−x)

(2k + 1)πy

u(x, y) =

cos

π2

(2k + 1)2 ·

(2k+1)πa

∑k

u0x

4πy

4π

sin 4πax

4πb

4π

−

) sh

4.11.

u(x, y) = A + A(b − 2)x

−

274 Ответы к задачам

4Ab

∞

(2k+1)πx

(2k + 1)πy

∑k

−

· cos

π2

(2k + 1)2

(2k+1)πa

4.12. 1) u(x, y) =

1 ch

2π(x−a)

2πy 1 ch

3π(x−a)

3πy

· sin

−

· sin

2πa

3πa

sh 4πx

4πy

sh 5πx

5πy

;

· sin

16π

4πa

25π

5πa

2) u(x, y) = 2

π(b−y)

πx

· sin

sh π2ab

+ (2 ch

2π

(x − a) +

· sh

2πx

)

sin 2πby

−

2π

2πa

4π

sin 4πy

sh 6πx

6πy

− 3 ch

(x − a) ·

· sin

;

4πa

6π

6πa

∞

k+1

kπ

3πy

2bA

∑k

ch b (x − a)

kπy

sh 2a

3πx

u =

(−1)

sin

+ 2

sin

;

ch kπa

sh 3πb

∞

k+1

kπx

5πy

u =

2b B

∑k

(−1)

sin

kπy

+ 4

sh 2a

sin

5πx

π2

ch kπa

sh 5πb

2a ;

2bA

∞

(−1)k+1

kπ

(x − a)

sin

kπy

πx

sin

πy

u =

∑k

ch kπba

π ch πba ·

b ·

b −

3πx

3πy

3π(b−y)

3πx

−

· sh

· sin

+ 2

· sin

3π ch

3πa

3πb

4.13. 1) u(x, y) =

πx

(y − b) · sin

ch πab

2πy

2πx

3π(y−b)

3πx

· sh

· sin

−

· sin

;

4π ch

2πb

3πb

2) u(x, y) =

2π(y−b)

2πx

3πx

3πy

· sin

+ 2

· sin

3 ch 2πb

3πa

Ответы к задачам главы IV

275

3π(y−b)

3πy

5πy

2 ch

3π ·

· sin

3πx

−

3 sh

· sin

5πx

;

3πb

10π · ch

5πb

∞

k+1

kπ(y−b)

3πy

2aA

∑k

kπx

3πx

u(x, y) =

(−1)

sin

ch kaπb

ch 3πab

π(a−x)

πy

+ 3

· sin

;

πa

8a3A

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

4) u(x, y) =

∑k

sin

π4

(2k + 1)4

(2k+1)πb

sh 5πx

5πy

+ 5

· sin

5πa

∞

(fk ch

∑

4.14. 1) u(x, y) = k=0

(2k + 1)(b − y) +

2aFk

sin

(2k + 1)x

(2k + 1)y)

(2k + 1)π

(2k + 1)b

∞

∑

+ k=0 (φk ch

(2k + 1)(a − x) +

2bψk

π(2k + 1)x

sin

(2k + 1)y

)

(2k + 1)π

(2k + 1)a

где fk, Fk, φk, ψk — коэффициенты Фурье соответствующих

функций;

2) u(x, y) =

(φ0 − f0)y +

∞

∑

(

fk sh

(b − y) + φk sh

k y

cos

k x

sh kπb

)

k=1

(

Fk ch k bx

− ψk ch kb

)

sin kby),

+ kπ sh kπa

(a − x)

где fk, Fk, φk, ψk — коэффициенты Фурье соответствующих функций;

276 Ответы к задачам

u(x, y) = (aB − 2A)y + A

−

4aB ∞

2k + 1

−

· cos

πx · sh

πy;

π2

(2k + 1)2 sh

(2k+1)

πb

∑k

∞

u(x, y) =

4Ba

(−1)kπ(2k+1) − 2

(2k+1)πy

cos

(2k+1)πx

;

π2

(2k+1)πb

(2k + 1)2

∑k

5) u(x, y) =

A sh

(b − y) sin π2ax

sh πb

∞

(2n+1)π(a−x)

(2n + 1)πy

· sin

;

(2n + 1) ch

(2n+1)πa

n=0

∑

sin

3πy

3π(x − a)

u(x, y) = 3 ch

ch 3πa

16b

∞

(2k + 1)πx

sin

(2k+1)πy

(−1)

π3

(2k + 1)3

(2k+1)πb

k=0

∑

u04

∞

(2k + 1)π(y

− b)

sin

(2k+1)πx

(2k + 1)

(2k+1)πb

k=0

∑

2a sh 3πy

3πx

;

· sin

3πb

∞

λky +

φk

sin λkx

7) u(x, y) = k=1 (ψk ch

λk sh λk(y

− b)) ch λkb ,

∑

где λk — положительные корни уравнения h tg λa = −λ,

2(h2 + λ2)

w φ(x) sin λkx dx,

φk =

a(h

+ λk) + h

2(h2 + λ2)

w ψ(x) sin λkx dx.

ψk =

a(h

+ λk) + h

∞

kπ(b−y)

kπx a

4.15. 1) u1(x, y) = C −

cos

sh πakb

kπ

∑k

Ответы к задачам главы IV

277

Ak =

φ1(x) cos

kπx

dx, k = 1, 2, . . . ,

C = const.

Условие разрешимости wa φ1(x) dx = 0;

∞

ch kπy

kπx

2) u2(x, y) = C +

· cos

kπ sh kπb

a a

∑k

Bk =

φ2(x) cos

kπx

dx, k = 1, 2, . . . ,

C = const.

Условие разрешимости wa φ2(x) dx = 0;

∞

kπ(a−x)

kπy

3) u3(x, y) = C −

· cos

kbπ sh kπba

∑k

Ck =

ψ1(y) cos

kπy

dy, k = 1, 2, . . . ,

C = const.

Условие разрешимости wb ψ1(y) dy = 0;

∞

ch kπx

kπy

4) u4(x, y) = C +

· cos

kbπ sh kπba

∑k

Dk =

ψ2(y) cos

kπy

dy, k = 1, 2, . . . ,

C = const.

Условие разрешимости ψ2(y) dy = 0.

∑4

4.16. 1) u(x, y) = uk(x, y) (см. задачу 4.15) и должны выполняться

k=1
условия разрешимости
wa φk(x) dx = 0,	wb ψk(y) dy = 0, k = 1, 2;
0	0

278	Ответы к задачам

π(b−y)

πx

3πy

3πx

2) u(x, y) = C −

· cos

−

3π

sh πab

6π

3πb

4π(a−x)

4πy

ch 5πx

5πy

, C = const;

−

· cos

4π

4πa

5π

5πa

3)решений нет.

4.17.Указание. Задачу Дирихле для уравнения Пуассона можно привести к задаче Дирихле для уравнения Лапласа, если удается, не заботясь о выполнении краевого условия, найти какое-либо решение уравнения Пуассона ∆u = f. Когда такое решение v найдено, то функция w = u − v будет удовлетворять уравнению ∆w = 0 и краевому условию w|∂B = u|∂B −v|∂B.

Граничное значение функции u на контуре ∂B области B задано, а значение v ∂B следует подсчитать, зная функцию v.

Если решение нашего уравнения отыскивать в виде

v = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + K,

то решением будет любой многочлен, коэффициенты которого удовлетворяют условию 2A + 2C = 2, B, D, F , K — , например, v = (x2 + y2)/2. Если потребовать, чтобы решение уравнения Пуассона v(x, y) обращалось в нуль на границах x = 0, x = a или y = 0, y = b прямоугольника, то это будет, соответственно, функция v(x, y) = x(x − a) или v(x, y) = y(y − b). Если выберем условия v(0, y) = 0, v(a, y) = 0, то

8a2 ∞

(2k+1)(b−2y)

(2k + 1)πx

u(x, y) = x(x − a) +

· sin

π3

(2k + 1)3

(2k+1)πb

∑k

4.18. См. указание к задаче 4.17.

2 ∞

(2k+1)πy

(2k+1)πx

∑k

sin

u(x, y) = x(a − x) −

π3

(2k + 1)3

(2k+1)πb

4.19. См. указание к задаче 4.17.

8a2

∞ ch

(2k+1)π(b−2y)

sin

(2k+1)πx

u(x, y) = 2T (x(a − x)

− π3

∑k

(2k + 1)3 ch· (2k+1)πb

Ответы к задачам главы IV

279

4.20. См. указание к задаче 4.17.

16Qa2 ∞

(2n+1)π(y−b)

(2n + 1)πx

u =

sin

k (

2 −

) −

kπ

n=0 (2n + 1)3 ch

16Qa2 ∞

(1 −

∑

)

(2n+1)π(y−b)

sin

(2n+1)πx

kπ3

(2n+1)πb

(2n + 1)3

n=0

∑

∞

kπy

w φ(x) sin

kπx

4.21. u(x, y) =

φke−

sin

kπx

φk =

dx.

∑k

2A ∞ 1

πk

kπx

4.22. 1) u(x, y) =

e− a y sin

;

∑k

3πx 1

4πx

3πy

4πy

2) u(x, y) =

e−

sin

−

e−

a sin

;

2aA

∞

k+1

kπy

kπx

3) u(x, y) =

(−1)

e−

sin

∑k

∞

kπ

y cos

kπx

4.23. 1) u(x, y) = C +

φke− a

, C = const,

∑k

φk

wa φ(x) cos

kπx

dx.

−kπ

Условие разрешимости wa φ(x) dx = 0;

3πy

3πx

4πy

4πx

2) u(x, y) = c −

e−

a cos

e−

a cos

, c = const;

4π

3) решений нет.

4.24. 1) u(x, y) =

φ0

∞

φke−kaπy cos

kπx

∑k

φk =

wa φ(x) cos

kπx

dx,

k = 0, 1, 2 . . . ;

280 Ответы к задачам

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

∑k

u(x, y) = 2 − π2

(2k + 1)2 e−

cos

;

4aA

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

∑k

u(x, y) =

2 e−

cos

(2k + 1)

4.25. 1)

u(x, y) =

∞ φke−

(2k + 1)y sin

(2k + 1)x,

∑k

φk =

wa φ(x) sin

(2k + 1)x dx,

k = 0, 1, 2 . . . ;

∞

(2k+1)πy

8Aa

∑k

(−1)

(2k + 1)πx

u(x, y) =

e−

sin

;

π2

(2k + 1)2

4u0

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

u(x, y) =

∑k

e−

sin

;

(2k + 1)

πy

πx 1

3πy

3πx

u(x, y) =

e−

2a sin

−

e−

sin

∞

(2k+1)πy

∑k

(2k + 1)πx

4.26. 1)

u(x, y) =

fke−

cos

wa f(x) cos

(2k + 1)πx

dx;

8Aa

∞

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

∑k

u(x, y) =

(2k + 1)

2 e−

cos

;

3πy

3πx 1

5πy

5πx

u(x, y) =

e−

2a cos

−

e−

2a cos

;

∞

(2k+1)πy

4u0

∑k

(−1)

(2k + 1)πx

u(x, y) =

e−

cos

(2k + 1)

∞

φk

(2k+1)πy

(2k + 1)πx

4.27. 1)

u(x, y) = −

∑k

· e−

cos

2k + 1

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3128 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]