Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3125 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы II

241

()

πx

aπt

6ℓ

5πat

5πx

2.53. u(x, t) =

(

cos

cos 2t − cos

sin

· cos

aπ

−

2ℓ

5πa

2ℓ

2ℓ )

28a

2.54. u(x, t) = (

sin

−

)cos 3t +

27 cos

3ℓ

+ ∞

8ℓ(−1)k

cos

(2k + 1)aπ

sin

(2k + 1)πx

∑k

π29(2k + 1)2

2ℓ

2ℓ .

2.55. u(x, t) =

cos

3πx

sin 2t

2ℓ

sin

3πa

t .

3 ℓ

ℓ

− 3πa

(

)

−

(

ℓ

)

πa

2.56. u(x, t) = (

sin

x −

)sin 2t +

8 cos a2 ℓ

+ ∞

8ℓ2(−1)k

sin

(2n + 1)aπ

sin

2n + 1

πx

∑k

aπ3(2n + 1)3

2ℓ

2ℓ .

2.57. u(x, t) = (

a sin

2 x

3πx

)sin 2t +

−

sin

2 cos a2 ℓ

3aπ

2ℓ

4ℓ

3πx

− (32πℓa)

sin

3πa

4 − (

3πa

)

2ℓ

(−

aπt

2ℓ

aπt

πx

2.58. u(x, t) =

cos

sin

+ e−t

cos

1 +

(2ℓ )

πa

2ℓ

)

2ℓ

aπ

2.59. u(x, t) = (

sin

−

)cos 2t +

4 cos

2ℓ

+ ∞

4ℓ(−1)n

cos aπ(1 + 2n)t

sin π(1 + 2n)x

∑

n=0 π2(1 + 2n)2

2ℓ

)

(

2ℓ

a e−ℓ

−

cos

2.60. u(x, t) = 3t +

4 + a2

(−

sin

2 sin

2ℓ

cos

− e− )sin 2t.

242

Ответы к задачам

15a

2.61.

u(x, t) = (

sin

−

x)cos 2t +

8 cos

2ℓ

6ℓ

∞

(−1)k

cos

π(2k + 1)a

t sin

π(2k + 1)

∑k

π2

(2k + 1)2

2ℓ

(

)

2.62.

(

2ℓ

e2x) ×

u(x, t) =

cos

− e2ℓ

cos

+ sin

−

4(a2 + 1)

sin

2ℓ

× cos 2t + 2t.

(e−t − cos

)sin

Aℓ2

πat

ℓ

πat

πx

2.63.

u(x, t) =

sin

ℓ2 + (πa)2

ℓ

πa

ℓ

4Aℓ2

πat

2ℓ

πat

πx

2.64.

u(x, t) =

(e−t

− cos

sin

)cos

4ℓ2 + (πa)2

2ℓ

πa

2ℓ

4Aℓ2

πat

4ℓ

πat

πx

2.65.

u(x, t) =

(e−2t − cos

sin

)sin

16ℓ2 + (πa)2

2ℓ

πa

2ℓ

Aℓ2

(e−3t − cos

πa

3ℓ

2πa

t)sin

2πx

2.66.

u(x, t) =

t +

sin

9ℓ2 + (2πa)2

ℓ

2πa

ℓ

2.67. u(x, t) = 16A (e−4t + 4t − 1).

()

2.68. u(x, t) = A

x −

ℓ

e−t +

ℓ

2Aℓ

∞

(−1)k+1

cos

πka

t +

ℓ

sin

πka

sin

πkx

∑

(

ℓ

(−

)

∞

(k+1 ) )

ℓ

πka

ℓ

k=1

k 1 +

πka 2

∑

(

ℓ

) )

2Aℓ

(−1)

e−t

cos

πka

t +

ℓ

sin

πka

sin

πkx

k=1 k 1 + πka 2

(

−

ℓ

πka

ℓ

)

ℓ .

Замечание. Вторые ответы в задачах 2.68 и 2.69 получены методом собственных функций, с которым читатель может познакомиться в § 3, получить возможность решить названные задачи по-другому и сравнить два приема.

Ответы к задачам главы II

243

2.69. u(x, t) = A	cos	x	+	1
				cos aℓ
(		a

sin	ℓ	· sin	x	− 1)sin t +

	a		a

2Aa

∞

π(2k + 1)x

∑k

ℓ

ωk2(1

−

ωk2) sin ωkt · sin

2ℓ

4A ∞

π(2k + 1)x

∑

−

(sin t − ωk sin ωkt)sin

2ℓ

π k=0 (2k + 1)(ωk2

где ωk

π(2k + 1)a

2ℓ

Указание. См. замечание к задаче 2.68.

2.70. u(x, t) = 4(sh t − tet) cos x.

ωt/sin

2.71. u(x, t) = A sin

sin

ℓ

2Aωa ∞

( 1)n−1

πna

πnx

∑

−

πna

sin

· sin

ℓ

ω −

ℓ

n=1

Задача приводится к интегрированию уравнения

Указание.

(

)

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

при условиях u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = A sin ωt, u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

ωt/cos

ωx

Aωa

2.72. =

sin

ℓ

Eσω

Eσ

∞

( 1)n−1

π(2n + 1)a

π(2n + 1)

−

sin

π(2n + 1)

π(2n+1)a

2ℓ

∑

−

2ℓ

n=0

сводится к интегрированию уравнения

Указание. Задача

(

)

∂2u

= a2

∂2u

∂t2

∂x2

при условиях u(0, t) = 0,

∂u

(ℓ, t) =

sin ωt, u(x, 0) = 0,

∂u

(x, 0) = 0.

Eσ

∂x

∂t

244

Ответы к задачам

(

)

2.73. u(x, t) =

−

+ cos

sin 2t.

ℓ

2.74. u(x, t) = Aae−t ch

/sh

2.75. u(x, t) = (2et − e−t − 3te−t) cos x.

ℓ

2.76. u(x, t) =

(cos

(x −

)/cos

ℓ

− 1)sin ωt +

ω2

∞

(an cos

πka

t)sin

πkx

∑

+ k=1

ℓ

t + bn sin

ℓ

ak =

wℓ f(x) sin

πkx

dx,

ℓ

A cos

ω(2x−ℓ)

πkx

dx.

bk =

F (x)

sin

− ω

cos ω2aℓ

ω)

πka w (

ℓ

k∑

2.77. u(x, t) =

∞ (ak cos ωkt + bk sin ωkt) sin

πkx

ℓ

A(ωN sin ωt − ω sin ωN t)

sin

πNx

ωN (ω2 − ωN2 )

ℓ

ak =

rℓ f(x) sin

πkx

dx,

bk =

wℓ F (x) sin

πkx

dx, ωk =

πka

ℓ

πka

ℓ

πNa

Резонанс: ω → ωN =

, т. е. частота периодической возмущающей

ℓ

силы совпадает с одной из собственных частот струны. Для нахождения решения в случае резонанса вычисляем, воспользовавшись правилом Лопиталя, пределы:

lim	A(ωN sin ωt − ω sin ωN t)	=	lim	A	ωN t cos ωt − sin ωN t	=
	ωN (ω2 − ωN2 )
ω→ωN			ω→ωN		2ωωN

= 2ω2N (tωN cos ωN t − sin ωN t).

Ответы к задачам главы II

245

Итак, в случае резонанса имеем

∞

kπx

u(x, t) =

(ak cos ωkt + bk sin ωkt) sin

ℓ

∑k

Nπx

(tωN cos ωN t − sin ωN t) sin

2ωN2

ℓ

2.78. u(x, t) =

∞ (ak cos ωkt + bk sin ωkt) sin

kπx

ℓ

∞

k∑

πkx

(ω sin

ωkt − ωk sin ωt) sin

ωk(ω2

−

ωk2)

ℓ

∑k

ak =

wℓ φ0(x) sin

πkx

dx,

bk =

wℓ φ1(x) sin

πkx

dx,

ℓ

πka

ℓ

ωk =

πka

fk =

wℓ f(x) sin

πkx

dx.

ℓ

Резонанс возникает в том случае, когда частота ω внешней возмуща-

πk1a

ющей силы совпадает с одной из частот ωk1 =

собственных гармо-

ℓ

нических колебаний струны, закрепленной на концах. В случае резонанса решение имеет вид

∞

πkx

u(x, t) =

(ak cos ωkt + bk sin ωkt) sin

ℓ

fk1

∑k

πk1x

(sin ωk1 t − tωk1 cos ωk1 t) sin

2ωk21

ℓ

(ω sin ωkt − ωk sin

πkx

ωt) sin

k=1

ωk(ω2 − ωk2)

ℓ

∑

k≠k1

Указание. Задача сводится к решению уравнения

∂2u = a2 ∂2u + f(x) sin ωt ∂t2 ∂x2

246

Ответы к задачам

при условиях

u(0, t) = 0, u(ℓ, t) = 0;

u(x, 0) = φ0(x),

∂u(x, 0)

= φ1(x).

∂t

2.79. u(x, t) =

2ℓ

∞

fk(ξ) sin

π(2k + 1)a

ξ) dξ sin

π(2k + 1)

∑k

πa

2k + 1

2ℓ

−

2ℓ

2 wℓ

fk(ξ) = ℓ f(x, ξ) sin

2.80. u(x, t) = 12wt dτ wτ

0 0

π(2k + 1)

x dx, k = 0, 1, 2, . . .

2ℓ

f0(ξ) dξ+

∞

fk(ξ) sin

πka

ξ) dξ cos

πkx

∑k

πa

ℓ

−

ℓ

2 wℓ πkx

fk(ξ) = ℓ f(x, ξ) cos ℓ dx, k = 0, 1, 2, . . .

8ℓ4t2

∞

π(2k + 1)

∑k

2.81. u(x, t) = − π5

(2k + 1)5 sin

ℓ

x +

16ℓ6

∞

(1 − cos

π k

t)sin

π(2k + 1)

∑

(2 + 1)

π7

k=0 (2k + 1)7

ℓ

64ℓ4

∞

(sin

π k + 1)a π(2k + 1)a

t) ×

2.82. u(x, t) =

∑

t −

π5a3

k=0

2ℓ

π(2k + 1)

cos

(2k + 1)5

2ℓ

u(x, t) = 32ℓ3

∞

(−1)k+1

2ℓ

sin π(2k + 1)at

2.83.

∑

(

− ) ×

π4a2

k=0 (2k + 1)4

πa(2k + 1)

2ℓ

π(2k + 1)

× sin

2ℓ

Ответы к задачам главы II

247

32ℓ3 ∞

∑k

(2k + 1)4 ×

2.84. u(x, t) = π4a2

8ℓ2

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

× (

(1 − cos

t) − t2)cos

π2a2(2k + 1)2

2ℓ

ℓt4

4ℓ3

k∑

2.85.

u(x, t) = 1 +

π4a2

(2k + 1)4

ℓ

× (t2 + π2a2(2k + 1)2

(cos

ℓ

t − 1))cos

2ℓ

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

2.86.

u(x, t) = (1 −

)t2 + sin x · cos t +

t3 +

∞

∑

((−1)k3t − 1 + cos kt −

(−1)k sin kt)sin kx.

k=1

2.87.

u(x, t) = (1 −

)e−t +

cos 2t · sin 2x −

∞

−

∑

(e−t + k2 cos kt − (2k +

)sin kt)sin kx.

k=1

k(1 + k2)

2.88. u(x, t) = x + t + cos

· sin

−

∞

(−1)k

cos

(2k + 1)t

sin

(2k + 1)x

∑k

− π

2 .

(2k + 1)2

2.89. u(x, t) = (2et − e−t − 3te−t) cos x + 2xt.

∞

∑

k + 1

2k + 1

2.90. u = x + e−t + k=0 (Ak sin

aπt + Bk cos

aπt +

2ℓ

2k + 1

× sin

πx,

2ℓ

где Ck =

−

π(2k + 1)

k + 1)π

1 + (

)

2ℓ

)

Cke−t ×

248	Ответы к задачам

()

Ak =

+ Ck

2ℓ

(2k + 1)π

a(2k + 1)π

C +

2ℓ(−1)k

(2k + 1)π (

−

(2k + 1)π).

− k

∑2

(−1)k+18ℓ

2.91.

u = x + t3 +

6ℓ

sin

πa

sin

πx

+ ∞

cos

2k + 1

aπt +

πa

2ℓ

k=0 (

(2k + 1)2π2

2ℓ

192ℓ

2k + 1

96ℓ

t)sin

2k + 1

πx.

sin

aπt −

π4(2k + 1)4a3

2ℓ

a2(2k + 1)3π3

2ℓ

2.92. u = e−t(x − ℓ) + 1 +

4ℓ

sin

πat

· cos

πx

∞

8ℓ

πa

2ℓ

(2k + 1)2π2a2 + 4ℓ2

2k + 1

8ℓ3

2k + 1

k∑

4ℓ2

× (a2 cos

πat +

sin

πat +

e−t) ×

2ℓ

(2k + 1)3π3a

2ℓ

(2k + 1)2π2

2k + 1

× cos

πx.

2ℓ

∞

16ℓ2

∑k

π(1 + 2k)(4ℓ2 + ((2k + 1)aπ)2) ×

2.93. u = tx + e−t +

× (cos

aπt − e−t)sin

k + 1

2ℓ

2k + 1

aπt −

sin

πx.

2ℓ

aπ(2k + 1)

2ℓ

2.94.

u =

a2t2

−

t4 +

1 − t2

+ t2x

2ℓ

12ℓ

2ℓ

2.95. u(x, y, t) =

64Aℓ2h2

π6

∞

cos λ2k+1, 2m+1at

π(2k + 1)

π(2m + 1)

∑k

∑

x · sin

=0 m=0 (2k + 1)3(2m + 1)3 · sin

ℓ

λ2k+1, 2m+1 = √(

)

+ (

)

+ 1)

ℓ

2.96. u(x, y, t) =

16v0

aπ2

Ответы к задачам главы III

249

∞

∞ sin πkℓ

ε sin k2π · sin πm2

δ · sin π2m

πkx

πmy

kmλkm

· sin

λkmat

· sin

ℓ

· sin

=1 m=1

∑k

∑

λkm = √(

)

+ (

πm

)

ℓ

√

2πx

πy

√

πx

2πy

2.97. u(x, y, t) = A cos

5at sin

· sin

a√

sin

5at

· sin

ℓ

aπ√

ℓh

ℓ2

πx

πy

2.98. u =

(

)

(1 − cos

t)sin

· sin

h2 + ℓ2

aπ

ℓh

ℓ

Ответы к задачам главы III

+1)πa

4u0

∞

e−(

(2k

)

t sin

(2k + 1)πx

3.1. 1) u(x, t) =

ℓ

;

2k + 1

ℓ

∑k

e−(

)

2ℓA

∞

(−1)k+1

akπ

kπx

2) u(x, t) =

ℓ

t sin

;

ℓ

∑k

(2k

+1)πa

4ℓ ∞

(−1)k

e−(

)

t sin

(2k + 1)πx

;

3) u(x, t) =

ℓ

π2

(2k + 1)2

ℓ

∑k

e−(

)

8ℓ2

∞

(2k

+1)πa

(2k + 1)πx

t sin

4) u(x, t) =

ℓ

π3

(2k + 1)3

ℓ

∑k

∞ ake−(

(2k+1)aπ

)

(2k + 1)πx

t sin

3.2. 1) u(x, t) =

2ℓ

wℓ

∑k

f(x) sin

(2k + 1)πx

dx;

ℓ

2ℓ

aπ

5πx

2) u(x, t) =

e−(52ℓ

)

t sin

;

2ℓ

3πa

3πx

11πa

11πx

3) u(x, t) = 3e−(

2ℓ )

t sin

−

e−(

2ℓ

)

t sin

;

2ℓ

250 Ответы к задачам

u(x, t) = 8Aℓ

∞

(−1)k

e−((2k

2ℓ

)

t sin (2k + 1)πx.

∑k

+1)aπ

π2

(2k + 1)2

2ℓ

u(x, t) = ∞ ake−(

(2k

+1)aπ

)

t cos

(2k + 1)πx

3.3. 1)

2ℓ

∑k

2ℓ

ak =

wℓ f(x) cos

(2k + 1)πx

dx;

ℓ

2ℓ

)

t cos 5πx

1e−(

2ℓ

)

t cos 7πx;

u(x, t) = 2e−(52ℓ

πa

7πa

−

u(x, t) = 4T0

∞

2ℓ

)

2ℓ

(−1)k

e−((2k

t cos (2k + 1)πx;

∑k

+1)aπ

(2k + 1)

2ℓ

u(x, t) = 8ℓA

e−((2k

2ℓ

)

t cos (2k + 1)πx.

∞

∑k

+1)aπ

π2

(2k + 1)2

2ℓ

3.4. 1)

u(x, t) = a0 +

∞

ane−(aπℓn)2t cos nπx,

∑

n=1

ℓ

an =

wℓ f(x) cos

nπx

dx,

n = 0, 1, 2, . . . ;

ℓ

u(x, t) =

−

e−(14ℓπa)2t cos

14πx

;

ℓ

)

t cos 4πℓx;

u(x, t) = 21 + 21e−(

ℓ

)

t cos 3πℓx − 2e−(4

3πa

πa

u(x, t) = u0

;

k ℓ

e−(

)

cos

ℓ

;

u(x, t) = u0

ℓ + π

ℓ

∞ sin kπh

kπa

kπx

u(x, t) = 1

∞

e−((2k

)

t cos (2k + 1)πx

ℓ

∑k

+1)aπ

−

π2

(2k + 1)2

ℓ

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3125 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]