Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы I

221

1.155. u = 2

√

∂2u

1 ∂u

1.156. ξ = y2x, η =

−

= 0,

u = η1/2φ(ξ) + ψ(η),

∂ξ∂η

2η ∂ξ

ln x.

u =

√

1.157. ξ = yx3

, η =

∂2u

5 ∂u

= 0,

u =

φ(ξ) + ψ(η),

∂ξ∂η

6η ∂ξ

η5/6

1 x2

u =

y7/3x2

y2x +

−

y1/3

y2/3

1.158. u = x(1 + y).

1.159. u = (x4 + x8/3)y2.

1.160. u = 1 + sin(x − y − cos x) + ey+cos x sin(x + y + cos x).

1.161. u = 1 + cos x · cos(y + cos x).
1.162.	u = sin x · cos (	y	−	cos x	) + ex sh	(	y	−	cos x	).
				2					2

1.163. u = 2e−(2x−y−cos x)/4 cos x · sin y − cos x. 2


		3		44					19
1.164. u = e2ηφ(ξ) + ψ(η),	u =		e		3 x +							.
1.164. u = e2ηφ(ξ) + ψ(η),	u =		e		3 x +							.
	22								22
				112					47					347
1.165. u = e−η/2φ(ξ) + ψ(η),	u = −							e−16 x +							.
1.165. u = e−η/2φ(ξ) + ψ(η),	u = −				47			e−16 x +						47	.
		7		172					79
1.166. u = e4ηφ(ξ) + ψ(η),	u =		e	7		x +							.
1.166. u = e4ηφ(ξ) + ψ(η),	u =		e	7		x +							.
	86								86
		40				2			57
1.167. u = e−3ηφ(ξ) + ψ(η),	u =				−					e− 2 x.
1.167. u = e−3ηφ(ξ) + ψ(η),	u =	19			−		19			e− 2 x.
1.168. u = e3ηφ(ξ) + ψ(η),	u =	1	e23x +							22	.
1.168. u = e3ηφ(ξ) + ψ(η),	u =		e23x +								.
	23								23

222																				Ответы к задачам
1.169. u = e2ξφ(η) + ψ(ξ),	u =	1		e16x +							63			.
1.169. u = e2ξφ(η) + ψ(ξ),	u =			e16x +										.
	16									16
	50									16					17
1.170. u = e−ξ/4φ(η) + ψ(ξ),	u =						−						e−		16 x.
1.170. u = e−ξ/4φ(η) + ψ(ξ),	u =		17				−			17			e−		16 x.
	10									69					217
1.171. u = e−3ξφ(η) + ψ(ξ),	u = −								e− 2 x +									.
1.171. u = e−3ξφ(η) + ψ(ξ),	u = −				69				e− 2 x +								69	.
	3									35					81				35
1.172. u = e3ξφ(η) + ψ(ξ),	u = y −							x +								e 5 x −				.
1.172. u = e3ξφ(η) + ψ(ξ),	u = y −					4		x +				324				e 5 x −			324	.
1.173. u = e−2ξφ(η) + ψ(ξ),	u = 2x + 3y.

45 45 44 y 1.174. u = e4ξφ(η) + ψ(ξ), u = 3x + y + 5 − 132 + 132e 5 .

1.175. u = φ(ξ) + ψ(η), u = 3y3 + 5 − 92y + ln x − 92x2/3y.

1						6
1.176. u =			φ(ξ) + ψ(η),	u =							x2(y7/2 − 1) + 2y1/2 + 2x − 2.
	η1/3							7
						3							3													3					3
1.177. u = η−2φ(ξ) + ψ(η),				u =					xy2 +								y4/3 + 2x2 −												x −					.
						2									4												2					4
1				3									9						6							3
1.178. u =		φ(ξ) + ψ(η), u =					x4/3 +									yx5/3 +								y −						.
	η4				2								5								5							2
						9													9
1.179. u = η−1φ(ξ) + ψ(η),				u =					xy4/3 + 2x3 −													x.
						4														4
1.180. u = η−4φ(ξ) + ψ(η),						3			x2y2 + 1 + 2y										3						y2.
				u =															−
						2																	2
1.181. u = η−5/3φ(ξ) + ψ(η),				u = 3y5 +									12					y4 (x17/4 −								1).

														17
						12
1.182. u = η−4/3φ(ξ) + ψ(η),				u =								y (x7/4 − 1) + 2x + y − 2.
										7
						1							4													1					4
1.183. u = η−3φ(ξ) + ψ(η),				u =					x6y +								x9/2 + 3y2 −												y −				.
						2									9												2				9

Ответы к задачам главы I																																223
														3								2								3		2
1.184. u = η−9/2φ(ξ) +						ψ(η),			u =								y13/3x2 −							y3	+ x3 −						x2 −		.
1.184. u = η−9/2φ(ξ) +						ψ(η),			u =						13		y13/3x2 −						3	y3	+ x3 −					13	x2 −	3	.
											2														2
1.185. u = η2φ(ξ) + ψ(η), u = −																xy−3/2 + x2 + 1 +													x.
1.185. u = η2φ(ξ) + ψ(η), u = −													3			xy−3/2 + x2 + 1 +											3		x.
														24											24
1.186. u = η−4/3φ(ξ) +						ψ(η),			u =								xy7/4 + 4x2 −											x.
1.186. u = η−4/3φ(ξ) +						ψ(η),			u =							7	xy7/4 + 4x2 −									7		x.
	u = φ		x − y		+ ψ x + y													φ(0)
1.187.		(		)		(						) −							.
1.187.		(	2	)		(		2				) −							.
	u = φ		5x − y			+ ψ			y − x										φ(0)
1.188.		(			)	(								) −					.
1.188.		(	4		)	(		4						) −					.
1.189. u = φ (			x				) + ψ (														) − φ(−1).
			y −	− 3							5x − y − 1
			4								4
	u = φ		y − 2x				+ ψ			y + 4x + 2												φ(1)
1.190.		(	−			)		(												) −		.
1.190.		(	2			)		(						2						) −		.

x + 3y + 3

1.191.

u = φ (

) + ψ (

−

)

(

)

(

x + 2y + 2

1.192.

3x + 2y + 1

−

u = φ

+ ψ

√

1.193. u = φ (

1 − y + x2

) + ψ (√

) − φ(1).

1.194. u = φ(x) + ψ(y − x2 + 4) − φ(2).

1.195. u = φ(y2) + ψ(x − y2 + 4) − φ(4).

u = φ (√

x2 + y

) + ψ (√

)

1.196.

−

+ 2

+ 4 + (y

ex)2

1.197.

u = φ (ln

−

√2

−

) +

( )

− φ 12 .

)( )

−φ 12 .

− φ(1).

224			Ответы к задачам
(	√		)

ex − y + 4 + (ex − y)2

+ ψ ln − φ(0). 2

Ответы к задачам главы II

∞

πna

πnx

∑

(An cos

t)sin

2.1. 1) u(x, t) = n=1

ℓ

t + Bn sin

ℓ

An =

wℓ f(x) sin

πnx

dx,

Bn =

wℓ F (x) sin

πnx

dx;

ℓ

πna

ℓ

2)u(x, t) = 5 cos 3πℓat · sin 3πℓx − 12 cos 8πℓat · sin 8πℓx;

3)u(x, t) = a6πℓ sin πℓat · sin πℓx − 3aℓπ sin 3πℓat · sin 3πℓx +

+73aℓπ sin 7πℓat · sin 7πℓx;

4)u(x, t) = 13 cos 2πℓat · sin 2πℓx + 4 cos 5πℓat · sin 5πℓx −

−14 cos 8πℓat · sin 8πℓx + sAℓπa sin sπℓat · sin sπℓx + pBℓπa · sin pπℓat · sin pπℓx;

5)u(x, t) = 2ℓA ∑∞ (−1)k+1 cos πkat · sin πkx;

πk ℓ ℓ

2ℓv0

k=1

πkα

πkβ

πka

πkx

∞

u(x, t) =

∑

(cos

− cos

)sin

t · sin

;

aπ2

k=1 k2

ℓ

32h

∞

π(2n + 1)a

π(2n + 1)x

u(x, t) =

∑

cos

t · sin

;

π3

n=0

(2n + 1)3

ℓ

2hℓ2

∞ 1

πkc

πka

πkx

∑k

u(x, t) =

c(ℓ

−

c)π2

sin

ℓ

· cos

ℓ

t · sin ℓ ;

1536

∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)x

∑k

u(x, t) =

5π5

(2k + 1)5 cos

ℓ

t · sin

ℓ

Ответы к задачам главы II

225

∞

∑

π k + 1)a

π(2k + 1)a

π(2k + 1)x

2.2. 1) u(x, t) = k=0 (ak cos

t + bk sin

t)sin

2ℓ

ak =

wℓ

f(x) sin

π(2k + 1)x

dx,

ℓ

2ℓ

bk =

wℓ F (x) sin

π(2k + 1)x

dx;

πa(2k + 1)

2ℓ

2) u(x, t) = A cos	3πat	· sin	3πx	+ B cos	11πat	· sin	11πx	;
	2ℓ		2ℓ		2ℓ		2ℓ

3)u(x, t) = 7πℓa sin 7π2ℓat · sin 72πℓx − 272πℓa sin 9π2ℓat · sin 92πℓx;

4)u(x, t) = cos 5π2ℓat · sin 52πℓx + 32πℓa sin 3π2ℓat · sin 32πℓx;

5)u(x, t) =

6)u(x, t) =

7)u(x, t) =

+8v0ℓ ∑∞ aπ2

k=0

8) u(x, t) =

8v0ℓ ∞

π(2n + 1)at

· sin

π(2n + 1)x

aπ2

n=0 (2n + 1)2 sin

2ℓ

;

∑

∞

(−1)k

cos

π(2k + 1)at

sin

π(2k + 1)x

;

π2

(2k + 1)2

2ℓ

∑k

3πat

3πx 1

5πat

5πx

cos

t · sin

−

cos

· sin

2ℓ

π(2k + 1)at

π(2k + 1)x

sin

· sin

;

(2k + 1)2

2ℓ

8ℓ

∞

π(2k + 1)at

π2

k=0

((−1)k cos

2ℓ

a0 sin

2ℓ

∑

)

sin

π(2k + 1)x

;

(2k + 1)2

2ℓ

9) u(x, t) =

2ℓ

πa

πx

4ℓ

3πa

3πx

sin

t · sin

−

sin

t · sin

aπ

2ℓ

3πa

2ℓ

8Aℓ

∞

(−1)k

cos

π(2k + 1)at

sin

π(2k + 1)x

π2

∑k

(2k + 1)2

2ℓ

2ℓ .

226

Ответы к задачам

∞

∑

π(2k + 1)at

k + 1)at

π(2k + 1)x

2.3. 1) u(x, t) = k=0 (ak cos

+ bk sin

)cos

2ℓ

ak =

wℓ

f(x) cos

π(2k + 1)x

dx,

ℓ

2ℓ

wℓ F (x) cos

bk =

π(2k + 1)x

dx;

πa(2k + 1)

2ℓ

2)u(x, t) = A cos 5π2ℓat · cos 52πℓx + B cos 7π2ℓat · cos 72πℓx;

3)u(x, t) = 54πℓa sin 5π2ℓat · cos 52πℓx − 494πℓa sin 7π2ℓat · cos 72πℓx;

4)u(x, t) = cos π2ℓat · cos π2xℓ + 32πℓa sin 32πℓat · cos 32πℓx −

−5πℓa sin 52πℓat · cos 52πℓx;

u(x, t) =

8ℓv0 ∞

(−1)k

sin

π(2k + 1)at

cos

π(2k + 1)x

∑k

(2k + 1)2

2ℓ

;

aπ2

∞

π(2k + 1)at

π(2k + 1)x

∑k

6) u(x, t) = π2

(2k + 1)2 cos

2ℓ

· cos

2ℓ

;

7) u(x, t) =

5πat

5πx 1

3πat

3πx

cos

· cos

−

cos

· cos

2ℓ

8ℓv0 ∞

(−1)k

sin

π(2k + 1)at

cos

π(2k + 1)x

∑k

(2k + 1)2

2ℓ

;

aπ2

8) u(x, t) =

2ℓ

πat

· cos

πx

−

2ℓ

3πat

· cos

3πx

sin

aπ

2ℓ

aπ

2ℓ

8ℓ

∞

π(2k + 1)at

π(2k + 1)x

∑k

+ π2

(2k + 1)2

cos

2ℓ

· cos

2ℓ

;

8ℓ

∞

k + 1)at

(

1)kv

π(2k + 1)at

9) u(x, t) =

∑

(A cos

−

sin

)×

π2

k=0

2ℓ

π(2k + 1)x

cos

(2k + 1)2

2ℓ

Ответы к задачам главы II

227

∞

πka

πkx

2.4. 1)

∑

(ak cos

t)cos

u(x, t) =

t + k=1

ℓ

t + bk sin

ℓ

ak =

wℓ f(x) cos

πkx

dx,

k = 0, 1, 2, . . . ,

ℓ

b0 =

wℓ F (x) dx, bk =

wℓ F (x) cos

πkx

dx,

k = 1, 2, . . . ;

ℓ

πka

ℓ

6πat

6πx

u(x, t) =

t +

sin

cos

;

12πa

ℓ

10πat

10πx

u(x, t) =

−

cos

· cos

;

ℓ

4)u(x, t) = 1 + cos 2πℓat · cos 2πℓx − 13 cos 3πℓat · cos 3πℓx+

+3πℓa sin 6πℓat · cos 6πℓx − 212πℓa sin 7πℓat · cos 7πℓx;

h 4h ∞

(2k + 1)πat

(2k + 1)πx

5) u(x, t) =

−

cos

· cos

;

π2

(2k + 1)2

ℓ

∑k

6) u(x, t) =

2πat

2πx

ℓ

−

cos

· cos

t −

ℓ

4ℓ2 ∞

(2k + 1)πat

(2k + 1)πx

−

sin

· cos

;

aπ3

(2k + 1)3

ℓ

∑k

4ℓ ∞

7) u(x, t) =

ℓ

(2k + 1)πat

(2k + 1)πx

;

+ v0t −

cos

· cos

π2

(2k + 1)2

ℓ

∑k

8) u(x, t) =

ℓ

16πat

· cos

16πx

sin

32πa

ℓ

4ℓ ∞

(2k + 1)πat

(2k + 1)πx

cos

· cos

;

π2

(2k + 1)2

ℓ

∑k

3πat

3πx

ℓ

9) u(x, t) = cos

· cos

t +

ℓ

228 Ответы к задачам

4ℓ2

∞

(2k + 1)πat

(2k + 1)πx

∑k

+ aπ3

(2k + 1)3 sin

ℓ

· cos

ℓ

∞

∑k

2.5. 1) u(x, t) =

(ak cos aλkt + bk sin aλkt) sin λkx,

wℓ f(x) sin λkx dx,

sin λkx

wℓ F (x) sin λkx dx,

aλk sin λkx

ℓ

ℓ h2 + λ2) + h

2 = w sin2

sin λkx

λkx dx =

(

2(h + λk)

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ;

∞ 2

h2 + λk2

h2 + λ2

2) u(x, t) =

(

− )

cos aλkt sin λkx,

ℓ h2

λ2

+ h)

∑k

√ k( (

+ k) √

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ;

∞

∑k

3) u(x, t) =

(ak cos aλkt + bk sin aλkt) cos λkx,

wℓ f(x) cos λkx dx,

cos λkx

wℓ F (x) cos λkx dx,

aλk cos λkx

ℓ

ℓ h2

+ λ2) + h

2 = w cos2 λkx dx =

cos λkx

(

2(h

λk)

где λk — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h;

∞

h2 + λ2

4) u(x, t) =

∑

sin aλkt

cos λkx,

k=1

λ2

k(ℓ(√

k) +

)

где λk — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h;

Ответы к задачам главы II

229

u(x, t) =

∞

(1 + hℓ) cos λkℓ − 1

cos aλ

cos λ x =

ℓ

cos λkℓ

λk (1 + hℓ ( ℓλk

) )

∞

∑k

(λk(1 + ℓh) −

= 2A

h2 + λk2

)

h2 + λk2

cos aλkt

cos λkx,

ℓ h2

λ2))

k=1

λ2

( +√(

k √

∑

где λk — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h;

∞

6) u(x, t) =

(ak cos aλkt + bk sin aλkt)(λk cos λkx + h sin λkx),

∑k

ak =

wℓ

(

λk cos λkx + h sin λkx f(x) dx,

Xk(x)

wℓ

)

λk cos λkx + h sin λkx F (x) dx,

aλk Xk(x)

(

)

Xk(x) 2

= wℓ

λk cos λkx + h sin λkx

2dx =

(λk2 + h2)ℓ + h

(

)

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ + λ = 0;

∞

7) u(x, t) =

(ak cos aλkt + bk sin aλkt)(λk cos λkx + h sin λkx),

∑k

ak =

wℓ

(

λk cos λkx + h sin λkx f(x) dx,

Xk(x)

wℓ

)

λk cos λkx + h sin λkx F (x) dx,

aλk Xk(x)

(

)

Xk(x) 2

= wℓ

λk cos λkx + h sin λkx

2dx =

ℓ(h2 + λk2) + h

(

)

где λk — положительные корни уравнения h ctg λℓ = λ;

∑∞

8) u(x, t) = (ak cos aλkt + bk sin aλkt)(λk cos λkx + h sin λkx),

k=1

230

Ответы к задачам

ak =

wℓ

(

λk cos λkx + h sin λkx f(x) dx,

Xk(x)

wℓ

(

)

λk cos λkx + h sin λkx F (x) dx,

aλk Xk(x)

)

Xk(x) 2

= wℓ

λk cos λkx + h sin λkx

2dx =

ℓ(h2 + λk2) + 2h

(

)

где λk — положительные корни уравнения ctg λℓ =

(

−

);

∞

∑k

9) u(x, t) =

(ak cos aλkt + bk sin aλkt)(λk cos λkx + h1 sin λkx),

ak =

wℓ

(

λk cos λkx + h1 sin λkx f(x) dx,

Xk(x)

)

wℓ (λk cos λkx + h1 sin λkx)F (x) dx,

aλk Xk(x)

Xk(x) 2 = wℓ (λk cos λkx + h1 sin λkx)2 dx,

(λ −

h h

где λk — положительные корни уравнения ctg λℓ =

h1 + h2

∞

∑

πnx

2.6. 1) u(x, t) = e−νt

(an cos qnt + bn sin qnt) sin

n=1

ℓ

an =

wℓ

f(x) sin

πnx

dx,

bn =

an +

wℓ F (x) sin

πnx

dx,

ℓqn

ℓ

qn = √(

πna

)

− ν2;

ℓ

2ℓ2he−νt

∞

πnc

πnx

∑

2) u(x, t) = π2c(ℓ

−

ℓ

· sin

ℓ Tn(t),

c) n=1 n2 sin

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]