Основные методы решения тригонометрических уравнений. Практикум по дисциплине «Дополнительные главы школьного курса математики» для студентов, обучающ

ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный социально-педагогический университет»

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Практикум

Волгоград

2016

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений основывается на использовании свойств тригонометрических функций и основных соотношений между ними.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. Эти уравнения в конечном итоге сводятся к простейшим, решение которых представлено в таблице

Решение простейших тригонометрических уравнений

Во всех приведенных в таблице формулах n Z.

При решении тригонометрических уравнений (и, в частности, простейших) можно пользоваться радианной или градусной мерами.

Пример.

tg x=1 x= π/4+πn, n Z (использовали радианную меру) или tg x=1 x=450+1800n, n Z (использовали градусную меру).

Существуют два основных метода, приводящие к упрощению тригонометрического уравнения:

1)метод разложения на множители;

2)метод введения новой переменной.

Оба метода применяются для сведения данного тригонометрического уравнения к более простому или к совокупности более простых уравнений.

Ниже мы рассмотрим различные методы решения тригонометрических уравнений, в том числе указанные выше.

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений

3

Решение совокупности уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений

Замечание. В различных сериях решений можно писать x с индексами, например, x1 и x2 или xk и xn .

Замечание. Целочисленные параметры в приведенном ответе можно обозначать одной и той же буквой, т.е. ответ можно записать так:

Пример 2.

2cosx cos3x=cosx 2cosx cos3x – cosx=0 cosx (2cos3x – 1)=0

Решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений

cos x 0

2 cos 3x 1 0

Решение совокупности уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений

cos x 0,

1cos 3x 2

Пример 3.

4cos2x –3=0

(2cosx – 3 )(2cosx + 3 )=0

4

Решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений

2 cos x 32 cos x 3

Решение совокупности уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений

При решении уравнений методом разложения на множители оно может оказаться не равносильным полученной совокупности уравнений, поскольку возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибок в ответе, желательно находить ОДЗ (если ОДЗ – множество действительных чисел, то ОДЗ обычно не упоминается) и при записи ответа исключить решения, не удовлетворяющие ОДЗ.

Пример 4.

(sinx –1)(tgx+1)=0

ОДЗ: cosx 0; x π/2+πn, n Z.

sin x 1,tgx 1

Решение совокупности уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений

Серия решений первого уравнения противоречит ОДЗ, следовательно, ответом является только вторая серия решений.

Упражнения

(разложение на множители)

1. sin7x=sin15x

5

2.cos(3x– 6 )=cos(3x+ 6 )

3.tg3x=tg5x

4.cos3x=sin10x

5.cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x=0

6.cos2x+ cos2 2x+ cos2 3x= 23

7.sin2 3x+ sin2 4x+ sin2 6x+ sin2 7x=2

8.sin2xcos4x=sin7xcos9x

9.cos2xcos8x+ cosxcos3x+ cos2xcos10x=0

10.tg2xtg7x=1

11.cos2x=cosx+sinx

12.cos5x+cos7x=sin2x

2.Решение тригонометрических уравнений

методом введения новой переменной

Тригонометрическое уравнение вида f(sinx)=0, где f – некоторая алгебраическая функция. Тогда введение новой переменной sinx=t сводится к алгебраическому уравнению вида f(t)=0 (как правило, квадратному либо рациональному), t1, t2,…, tn –корни этого уравнения, для которых |t| 1. Исход-

sin x t1 ,

sin x t ,

ное уравнение f(sin)=0 2

...

sin x tn

Аналогично решаются уравнения вида f(cosx)=0 (|t| 1), f(tgx)=0, f(ctg)=0.

Рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений. Пример 1.

2sin2 x–sinx–1=0

Введем новое неизвестное sinx=t (|t| 1), тогда исходное уравнение будет

преобразовано в квадратичное уравнение с неизвестным t: 2t2 – t– 1=0

1)t1=- 12 ; sinx=- 12 ; x=(-1)n+1 π/6+πn, n Z;

2)t2=1; sin x=1; x=π/2+2πk, k Z.

Ответ: {(-1)n+1 π/6+πn; π/2+2πk| n, k Z}.

Пример 2.

cos2x +3cosx+2=0

Введем новое неизвестное cosx=t (|t| 1), тогда исходное уравнение будет преобразовано в квадратичное уравнение с неизвестным t: t2 + 3t+2=0. Воспользуемся формулами Виета: t1+t2=-3, t1 t2=2.

6

Уравнение имеет два корня t1=-1, t2=-2. Следовательно, множество всех решений исходного уравнения есть объединение множеств решений двух простейших тригонометрических уравнений:

Ответ: {π+2πn| n Z}.

Пример 3.

3tg2x+tgx–1=0

Введем новое неизвестное tgx =t, тогда исходное уравнение имеет вид:

3t2+t–1=0

1)t1=-1; tgx =-1; x =-π/4+πn, n Z;

2)t2= 13 ; tgx = 13 ; x =arctg 13 +πk, k Z.

Ответ: {-π/4+πn; arctg 13 +πk |n, k Z}.

Пример 4.

tgx – tgx2 +1=0

Введем новое неизвестное tgx =t, тогда исходное уравнение примет вид: t – 2t +1=0, ОДЗ: t 0; tgx 0; x πn, n Z.

t2+t–2=0

1)t1=-2; tgx=-2; x=-arctg2+πk, k Z;

2)t2=1; tgx=1; x= π/4+πm, m Z.

Очевидно, что все серии корней входят в ОДЗ.

Ответ: {-arctg2+πk; π/4+πm|k, m Z}.

В выше рассмотренных примерах введение новой переменной приводило исходное уравнение к алгебраическим относительно одной из тригонометрических функций.

Рассмотрим более сложные случаи замены переменных.

Если уравнение содержит одно из выражений sinx+cosx или sinx+cosx и функцию sin2x или произведение sinxcosx, то, можно ввести новую переменную t=sinx+cosx или t=sinx-cosx, приходим к уравнению относительно t.

sin2x= t2-1.

Для случая

t=sinx–cosx t2=(sinx–cosx)2= sin2x–2sinxcosx+cos2x=1–2sinxcosx=1–sin2xsin2x= 1–t2.

7

Пример 5.

2sin2x+sinx+cosx=1

Введем новое неизвестное sinx+cosx=t, тогда получим квадратное уравнение относительно t

2t2+t–3=0

Каждое из этих уравнений решим введением вспомогательного аргумента. Первое уравнение преобразуется к виду

можно свести к какой-либо одной – sinx, cosx, tgx, ctgx. После замены переменной тригонометрическое уравнение преобразуется в алгебраическое относительно произведенной замены переменной. Если алгебраическое урав-

8

нение имеет решение, то исходное уравнение сводится к одному или к совокупности нескольких простейших уравнений.

Пример.

Воспользуемся формулой ctgx= tgx1 , тогда 2tg43x–3 tg23x +1=0.

Введем замену tg23x=t, получим квадратное уравнение относительно t: 2t2–3 t +1=0

Все серии корней входят в ОДЗ.

4. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений

Далее будут приведены примеры применения тригонометрических формул для решения уравнений.

4.1.Решение тригонометрических уравнений

спомощью основного тригонометрического тождества

Применяя основное тригонометрическое тождество sin2x+cos2x=1, пе-

реходим к тригонометрическому уравнению с одной из функций. Пример 1.

2cos2x+3sinx=0

Применяя основное тригонометрическое тождество, перепишем исходное уравнение в виде:

2(1–sin2x)+ 3sinx=0

–2sin2x+ 3sinx+2=0

Введем замену неизвестного sinx=t (|t| 1), получим квадратное уравнение относительно t: –2t2x+ 3t+2=0

1)t1=– 12 ; sinx=– 12 ; x=(-1)n+1 π/6+πn, n Z;

2)t2=2; sin x=2 – не имеет смысла, т.к. |sinx| 1

Ответ: {(-1)n+1 π/6+πn, n Z}.

9

Пример 2.

2sin2x–cosx=1

Используя sin2x=1–cos2x, получим исходное уравнение в виде:

2(1–cos2x) –cosx=1

–2cos2x–cosx+1=0, умножим уравнение на –1, получим

2cos2x+cosx–1=0

Введем замену неизвестного cosx=t (|t| 1), получим квадратное уравнение относительно t:

2t2x+t1=0

1)t1=1; cosx=1; x=2πn, n Z;

2)t2=– 12 ; cosx=– 12 ; x= 23 2k ,k Z.

Ответ: {2πn; 23 2k , n, k Z}.

Упражнения

1. 2sin2x=3cosx

2.2cos2x+3sinx=0

3.2cos2x+2cosx+sin2x=0

4.sin2x+2cosx–2=0

5.3cos2x+4sinx=0

6.2 cos2x–7cosx=2sin2x

4.2.Решение тригонометрических уравнений с помощью применения формул сложения

Формулы сложения аргументов sin( )=sin cos sin cos cos( )=cos cos sin sin

Пример. cos5xcos4x+sin5xsin4x=1

Применив формулу косинуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде:

cos(5x–4x) =1, после преобразования получим простейшее тригонометрическое уравнение

cosx =1 x=2πn, n Z.

Ответ: {2πn, n Z}.

10