Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения тригонометрических уравнений. Практикум по дисциплине «Дополнительные главы школьного курса математики» для студентов, обучающ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

763 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

							Упражнения
1. sin2xcosx–sinxcos2x=1												1
1. sin2xcosx–sinxcos2x=1							8.		3	sinx+			cosx=	3
									3					3
2. sin3xcosx+sinxcos3x=0
2. sin3xcosx+sinxcos3x=0								2			2			2
3. cos5xcos4x+sin5xsin4x=1
3. cos5xcos4x+sin5xsin4x=1							9. sinx–				3 cosx=2
4. cos2xcosx–sin2xsinx=–1
4. cos2xcosx–sin2xsinx=–1							10.			2 sinx+ 2 cosx=1
							11. sinx+cosx=–1
5. sinxcos 3				+ sin 3 cosx=0			11. sinx+cosx=–1
5. sinxcos 3				+ sin 3 cosx=0			12. sinx+cosx=0
6. cosxcos				– sinxsin =1			12. sinx+cosx=0
6. cosxcos				– sinxsin =1			13. cos3x+sinxsin2x=0
	4					4	14. cos5x+sinxsin4x=0
				1		1
7.		3	sinx–		cosx=–
		3
				2		2
	2			2		2

4.3. Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведения

sin sin

=2sin cos

cos + cos =2 cos

cos

cos –cos

=–2sin sin

tg tg =

sin( )

(2n 1) , n Z

cos cos

ctg ctg

sin( )

, x πn, n Z

sin sin

sin +cos

= sin +sin (

) =2sin

cos

sin –cos = sin –sin ( ) =2sin

cos

Пример 1.

cos0,2x–cos0,8x+cos0,6x–1=0

cos0,2x+cos0,6x– (cos0,8x+1)=0

Воспользуемся формулой cos + cos =2 cos

cos

, получим урав-

нение

2cos0,4xcos0,2–2cos0,4x cos0,4x =0 2cos0,4x(cos0,2–cos0,4x) =0

Воспользуемся формулой cos –cos =–2sin	sin		, перепишем
	2	2
уравнение в виде

2cos0,4x ·2 sin0,3x sin0,1x=0

после преобразования получим простейшие тригонометрические уравнения

cos 0,4x 0,sin 0,3x 0,

sin 0,1x 0

cos 0,4x 0,sin 0,3x 0

n, n Z ,

0,4x

0,3x k, k Z

, n Z ,

10k

, k Z

Ответ: {

;

10k

, n, k Z}.

Пример 2.

cos3x+sin2x–sin4x=0

Воспользуемся формулой sin –sin

=2sin

cos

, перепишем уравне-

ние в виде

cos3x–2sinxcos3x=0

cos3x(1–2sinx)=0

cos 3x 0,

1 2sin x 0

, n Z ,

1 k k, k Z.

Множество

решений

x 1 6

целиком

содержится во множестве

x= 6

3 .

Ответ: { 6 3 , n Z}.

Пример 3.

tg ( x )

+ tg ( x ) = tgx

Воспользуемся формулой tg +tg = sin( ) , перепишем уравнение в виде

cos cos

2 sin 2x

=tgx

cos 2x

Перенесем правое выражение, в левую часть, преобразовав его в

sin x

, полу-

cos x

чим уравнение

2 sin 2x

–

sin x

cos 2x

cos x

4sin x cos x

sin x

–

=0 приведем к общему знаменателю cosx(2cos x–1)

2 cos2 x 1

cos x

sin x(4 cos2 x 2 cos2

x 1)

(2cos2

x 1) cos x

sin x(2 cos2 x 1)

(2 cos2

x 1) cos x

sin x

1 0,

2 cos

2 x 1 0,

2 cos

cos x

Уравнение системы 2cos2x+1=0 – не имеет смысла.

sin x 0,

cos

cos x

x n, n Z ,

2m, m Z ,

x ( ) 2l, l Z ,

k, k Z

Ответ: {πn, n Z}.

4.4. Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

sin cos = 12 (sin( + )+sin( – ))

sin sin = 12 (cos( - )-cos( + )) cos cos = 12 (cos( - )+cos( + ))

Пример.

cos3x cos9x=cosx cos7x

Применяя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму cos cos = 12 (cos( + )+cos( – )), получим

12 (cos12x+cos6x)= 12 (cos8x+cos6x)

cos12x–cos8x=0

Применяя формулу преобразования разности одноименных тригонометриче-

ских функций cos –cos =–2sin

sin

, получим –2sin10x sin2x=0

sin10x 0,

sin 2x 0

10x n ,

2x k

, n Z ,

, k Z

Следовательно, x=

, n Z.

Серия решений x=

, k Z является

подмножеством серии решений x=

n Z.

Ответ: { n10 , n Z}.

Упражнения (к п. 4.3-4.4)

1.sin2x+sin3x+cos5x=1

2.ctgx+ctg2x=–tg3x

3.cos0,3x–cos1,2x+cos0,9x=1

4.2cosx–3= 6sinx–sin2x

5.cos7x+sin8x=cos3x–sin2x

6.sinx+ sin2x+ sin3x= cosx+cos2x+cos3x

7.sin(2+3x) –sin2 cos3x=cos2

8.cos3x sin2x= sin3x sin2x

9.sin3x sin( 3 –3x)sin( 3 +3x)= 81

10. sin	x	cos	3x	–	1	sin2x= sin	3x	cos	x

2			2	3			2	2

11.12 sin4xsinx+ sin2xsinx=cos2x

4.5.Решение тригонометрических уравнений с применением формул двойного и тройного аргументов (понижение кратности углов)

Внекоторых случаях при решении тригонометрических уравнений бывает удобно синусы и косинусы кратных углов выражать через синусы и косинусы самих этих углов.

Формулы двойного и тройного аргументов sin2 =2sin cos

cos2 = cos2 –sin2 = 1–2 sin2 = 2cos2 –1

tg2 =	2tg	(		n	,		k )
tg2 =	1 tg 2	(	4	2	,	2	k )
	1 tg 2		4	2		2
sin3 =3sin –4sin3
cos3 =4cos3 –3cos
tg3 =	3tg tg 3
tg3 =	1 3tg 2
	1 3tg 2

ctg3 = ctg 3 3ctg

3ctg 2 1

Пример 1. sinx=cos2x

Преобразуем исходное уравнение, используя формулу cos2 =1–2 sin2 , имеем

sinx=1–2 sin2x

2 sin2x+ sinx–1=0

1					или	sinx=–1
sinx=
sinx=	2
x= 1 n		n , n Z				x=		2k ,k Z
6							2
Ответ: { 1 n			n ;		2k , n, k Z}.
		6		2

Пример 2. sin3x=4sinxcos2x

Используя формулы sin3 =3sin –4sin3 и cos3 =4cos3 –3cos , получим уравнение

3sinx–4sin3x=4sinx(1–2 sin2x) sinx( 3–4sin2x–4(1–2 sin2x))=0 sinx( 3–4sin2x–4+8 sin2x))=0

sinx(4 sin2x–1)=0
sinx=0	или
x=nπ, n Z

Ответ: {nπ; l | n, l Z}.

sinx=	1
sinx=	2
	2
		k	k , k Z ,
x ( 1)		6	k , k Z ,
				x=	6	l , l Z .
x ( 1)m 1				m , m Z	6
			6
			6

Упражнения

1.sin2xcosx–3sin2x=0

2.sin2xcosx–3sin2x=0

3.cos2x+cosx=0

4.2cos2x–5=8sinx

5.2sin( 2 +2x)+ cosx=3

6.cosx + sin( 32 +2x) =0

7.cos4x+6sin2x=1

8.cos4x+6cos2 x =1

9.cos2x= sinx

10.8cos2x+16cosx+7=0

11.3cos2x+4+11sinx=0

12.1–8cosx=6cos2x

13.3cos4x–5sin2x=–1 14.cos2 6x– sin2 3x–1=0

15.cos2 4x–sin2 2x–1=0

16.cos7x+cos 72x = 12

4.6.Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени

(понижения степени уравнения)

Если в уравнении имеется синус или косинус в чётной степени, то, выражая квадраты синуса и косинуса половинного угла через косинус угла, можно понизить степень уравнения.

При решении подобного рода уравнений пользуются формулами понижения степени.

Формулы понижения степени

sin2 =	1 cos 2	cos2 =	1 cos 2
	2		2

Пример 1.

sin2(

)+cos2(

Используя формулы sin2 =

1 cos 2

, cos2 =

1 cos 2

, преобразуем уравне-

ние, оно примет вид

1 cos			2				x		cos		2	x
								1						1
								1
					4		2				4	2
				2							2			2
	2					x										2
cos							cos			x sin x			и		cos
cos							cos			x sin x			и		cos
		4				2			2								4

выполним, преобразования

x
	cos		x	sin x получим уравне-

2		2

ние

1 sin x	1 sin x	1
2	2	2

2-2sinx=1 sinx= 12

x=(-1)n 6 +nπ, n Z.

Ответ: {(-1)n +nπ, n Z}.
										6
Пример 2.
sin4x+cos4x=										7
sin4x+cos4x=										8
										8
		Воспользуемся формулами sin2 =												1 cos 2	, cos2	=	1 cos 2	, понизим
		Воспользуемся формулами sin2 =													, cos2	=		, понизим
													2				2
степень исходного уравнения, перепишем его в виде
(		1 cos 2x					)2+(				1 cos 2x	)2=	7
(							)2+(					)2=
2										2			8
Выполним преобразования, получим уравнение
	2 2 cos2 2x								=	7
4									=	8
4										8
cos22x=					3
cos22x=					4
					4
Задача сводится к решению совокупности уравнений

						3
	cos 2x					3			,
	cos 2x				2				,
					2

									3
	cos 2x
	cos 2x
					2
						2n,
	2x		6			2n,
			6
				5
	2x			5				2k
	2x							2k
			6
			6


x			n, n Z ,
x	12		n, n Z ,
	12
		5
x		5	k, k Z
x			k, k Z
	12
	12
						5
Ответ:					n ;
Ответ:				12	n ;	12
				12		12

k , n, k Z .

Пример 3.
sin2x+cos2 2x+ sin2 3x=						3
sin2x+cos2 2x+ sin2 3x=						2
						2
Воспользуемся формулами sin2 =									1 cos 2	,	cos2 =		1 cos 2			, понизим сте-
Воспользуемся формулами sin2 =										,	cos2 =					, понизим сте-
									2					2
пень исходного уравнения, перепишем его в виде
	1 cos 2x	+	1 cos 4x	+	1 cos 6x		=	3
2		+	2	+		2	=	2
2			2			2		2
1–cos2x+1+ cos4x+1–cos6x=3
cos2x +cos6x–cos4x =0
Воспользуемся формулой cos + cos =2 cos												cos			,	сумму преобра-
											2			2

зуем в произведение, получим

2 cos4xcos2x–cos4x =0 cos4x(2cos2x–1)=0

Задача сводится к решению совокупности уравнений

cos 4x 0,
					1
cos 2x					1
cos 2x
					2
				т,
4x		2		т,
		2

2x					2k
2x					2k
			3
			3
				n		, n Z ,
x	8				4	, n Z ,
	8				4

x				k, k Z.
x				k, k Z.
		6
		6

Ответ:		т	;
8		4		6

k , n, k Z .

Упражнения

1.cos23x+cos24x+cos25x=1,5

2.sin82x+cos82x= 12841

3.4sin2x+ sin2 2x=3

4.3cos2x–3sin2 x+ cos2x=0

5.sin4 x+ sin4 (x+ 4 )= 14

6.8cos6x=3cos4x+cos2x+4

7.cos6( 4 +x)+ cos6( 4 –x)=0,5

8.8sin8x+8cos8x=–cos4x

9.sin2x+ sin2 2x+ sin2 3x +sin2 4x=2

10.cos8x–8sin8x= cos2 2x+ 12 cos2x

5.Решение тригонометрических уравнений, однородных

относительно синуса и косинуса, а также приводимых к однородным

Однородными тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида:

a0sin x+a1cos x=0 (однородные уравнения 1-й степени);

a0sin2	x+a1sin xcos x+a2cos2 x=0 (однородные уравнения 2-й степени);
a0sin3	x+a1sin2 xcos x+a2sin xcos2 x+a3cos3 x=0 (однородные уравне-
ния 3-й степени);

a0sinn x+a1sinn-1 xcos x+a2sinn-2 xcosn-3 x+...+ancosn x=0 (однородные уравнения n-й степени).

Cумма показателей степеней одинакова у всех слагаемых однородных уравнений.

Уравнение a0sin2 x+a1sin xcos x+a2cos2 x=c, при c 0 не является однородным, но его можно привести к однородному уравнению2-й степени, заменив число c тождественно равным выражением c(sin2 x+cos2 x).

Для решения однородных уравнений в случае a0 0 рассмотрим такие значения x, для которых, cos x=0. Тогда из исходного уравнения следует, что при тех же значениях x должно быть и sin x=0 , а это невозможно, так как противоречит основному тригонометрическому тождеству sin2 x+cos2 x=1. Следовательно, решениями однородных уравнений (при a0 0) могут быть только такие значения x, для которых cos x 0. Таким образом, однородное тригонометрическое уравнение можно свести к уравнению относительно tg x, если все его члены разделить на cosn x и при этом (если a0 0) такое деление не приведёт потере решений, поскольку значения x, при которых cos x=0, не удовлетворяют исходному уравнению. Если же a0=0, то такое деление приведёт к потере корней и, значит, в ответ следуют

включить решения уравнения cos x=0, т.е. x= n ,n Z.

Пример 1.

2sinx+3cosx=0

Разделим обе части исходного уравнения на cosx 0, получим

2tgx+3=0
tgx=-	2
tgx=-
3
x=arctg		3	+nπ=-arctg			3	+nπ, n Z.
x=arctg			+nπ=-arctg				+nπ, n Z.
		2				2
				3
Ответ: arctg					n , n Z .
Ответ: arctg					n , n Z .
				2

Пример 2.

sin2x–4sinxcosx+3cos2x=0 разделим на cos2 0, получим tg2x–4tgx+3=0

tgx 1,tgx 3

		n , n Z,
x	4	n , n Z,
	4

x arctg3 k , k Z.
				n , arctg3
Ответ:				n , arctg3	k , n, k Z
			4

Пример 3. sin3x2sin2xcosx+cos3x=0.

Уравнение является однородным уравнением 3-й степени. sin3x–2sin2xcosx+cos3x=0 разделим на cos3x 0, получим tg3x–2tg2x+1=0.

Введем замену переменной tgx=t, получим t3–2t2–1=0.

Поскольку t=1 является корнем этого уравнения, то его можно представить (t–1)(t2–t–1)=0


t1 1,			tgx 1,			x		4	n ,
								4
	1	5		1	5								n Z.
	1	5		1	5								n Z.
										1		5
t2,3		2	tgx		2		x arctg						n ,
t2,3			tgx				x arctg						n ,
											2
											2

			1
				5

Ответ:		n ;arctg			n , n Z .


	4		2

Пример 4. cos2x–4sinx cosx=–1

Данное уравнение не является однородным, однако его легко свести к однородному 2-й степени после замены 1=cos2x+sin2x, получим

cos2x–3sinx cosx+1=0 cos2x–3sinx cosx+sin2x+cos2x=0

2cos2x–3sinx cosx+sin2x=0 /:cos2x=0 tg2x–3tgx+2=0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]