Основные методы решения тригонометрических уравнений. Практикум по дисциплине «Дополнительные главы школьного курса математики» для студентов, обучающ

Упражнения

1.3cos2x–5sin2x–sin2x=0

2.6sin2x+ 12 sin2x–cos2x=2

3.3sin2x–2 sin2x+5 cos2x=2

5. cos2x–3sinxcosx+2sin2x=2

6. sin2x+ sinx sin( 32 –x) –cos2x=1

7. 13sin2x+84sin2x–13cos2x+1= 2sin180 cos180

cos 540

8.sin2x–79sin2x+153 cos2x+2sin5x cos3x=2 sin3x cos5x

9.sinx sin2x +cosx–1=ctg 2x (cosx-1)

10.(1+tg2x)(1+sin2x)=1

11.sin2x=cos4x–sin4x

12.cos2x+2cos2x=6(cos2x –sin2x)

13.5sin2x+3 cos2x=4 sin2x

14.4sin2x–4 sin2x +10cos2x=3

15.4 sin2x–3 cos2x=3

5.Решение тригонометрических уравнений

спомощью универсальной подстановки tg 2x =t

При использовании универсальной подстановки функции sinx, cosx не-

Использование универсальной подстановки возможно только при x π+2πn, n Z. Таким образом, необходимо проверять, не являются ли числа вида x=π+2πn,n Z решениями исходного уравнения.

Пример 1.

2sinx+cosx=2

21

Выполним подстановку tg 2x =t, получим уравнение

Выполним проверку, подставим x=π+2πm,m Z в исходное уравнение

2sin(π+2πm)+cos(π+2πm)=2 0+(-1)=-1 2, следовательно, числа x=π+2πm, m Z не являются решениями исходного уравнения.

Ответ: { 2 2n ; arctg 13 +πk, n, k Z}.

Пример 2.

3sinx+4cosx=5

Выполним подстановку tg 2x =t, получим уравнение

9t2–6t+1=0

t= 13 , tg 2x = 13 2x =arctg 13 +πn x= 2arctg 13 +2πn, n Z.

Выполним проверку, подставим x=π+2πm,m Z в исходное уравнение:

3sin(π+2πm)+4cos(π+2πm)=3 0+(-1) 4=-4 5, следовательно, числа x=π+2πm,m Z не являются решениями исходного уравнения.

Ответ: {2arctg 13 +2πn, n Z}.

Пример 3.

3sin2x+cos2x=–1

Воспользуемся универсальной подстановкой. Выразим sin2x и cos2x через tgx, выполним подстановку tgx=t, получим рациональное уравнение

Выполним проверку, подставим 2x=π+2πm, m Z, т.е. x= 2 +πm в исходное

уравнение

3sin(π+2πm)+cos(π+2πm)=3 0+(-1)= -1.

22

Проверка показала, что x= 2 +πm, m Z является решениями исходного урав-

нения.

Ответ: {–arctg 13 +πn; 2 +πm, n, m Z}.

Упражнения

1.2sinx–3cosx=3

2.sin2x+tgx=2

3.3sin2x+cos2x=2

4.2sinx–cosx=1

5.4sinx+tgx= sin2x

6.Решение тригонометрических уравнений

методом введения вспомогательного аргумента

При решении тригонометрических уравнений полезно заменить выра-

лом. Пример 1.

3 sinx–cosx=1

Воспользуемся A= a2 b2 , получим (3)2 ( 1)2 2 ,

sin = 12 , cos = 23 = 6

Перепишем исходное уравнение в виде

2 ( 23 sinx– 12 cosx)=1

2(sinxcos 6 –sin 6 cosx)=1

2 sin(x– 6 )=1 sin(x– 6 )= 12

x – 6 =(-1)n 6 + πn или x= 6 + (-1)n 6 + πn, n Z.

Ответ: { 6 + (-1)n 6 + πn, n Z}.

Пример 2.

23 cos5x+ 12 sin5x=1

23

Воспользуемся A= a2 b2 , получим ( 23 )2 ( 12 )2 1 , (нетрудно было

заметить ( 23 )2+( 12 )2=1) sin = 23 , cos = 12 = 3 .

Перепишем исходное уравнение в виде sin(5x+ 3 )=1 5x+ 3 = 2 + 2πn

x= + 2n , n Z.

30 5

Ответ: { 30 + 25n , n Z}.

Замечание. Тригонометрические уравнения asinx+bcosx=с, помимо метода введения вспомогательного аргумента можно решать и при помощи

универсальной подстановки tg 2x =t. Однако недостатком этой подстановки

является выполнение проверки серии решений x=π+2πn, n Z, т.к. числа вида x=π+2πn могут быть решениями исходного уравнения. Метод введения вспомогательного аргумента лишен этого недостатка.

Упражнения

6.sinx+ cosx= 2 sin3x

7.Решение тригонометрических уравнений

сиспользованием ограниченности функций y=sinx, y=cosx

Решение подобных уравнений, нередко сводится к решению системы

тригонометрических уравнений. Пример 1.

cos 2x +cos2x=2

Рассмотрим функции cos 2x и cos2x, имеют наибольшее значение, рав-

ное 1. Следовательно, сумма их равна 2 тогда и только тогда, когда cos 2x =1 и cos2x=1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе

24

поскольку серия решение x=4nπ , n Z входит полностью в серию x=kπ , n Z

Ответ: {4nπ, n Z}.

Пример 2.

3sin7x+5cos16x=8

Используя |sinx| 1 и |cosx| 1, проанализируем

|3sin7x+5cos16x | 3|sin7x|+5|cos16x| 3+5=8.

Следовательно, с учетом выполненного выше анализа исходное уравнение равносильно системе

sin7 x 1,

cos16 x 1

Ответ: Ø.

Пример 3. sin3x+5=(cos4x–cos2x)2

Для решения уравнения сравним множества значений левой и правой частей исходного уравнения.

Рассмотрим правую часть |cos4x–cos2x| 2, следовательно, правая часть не превосходит 22=4.

Рассмотрим левую часть уравнения sin3x+5 4, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда sin3x=–1.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе

25

Упражнения

(сравнение области значений левой и правой частей)

1.3sin7x+4 cos10x=7

2.sin5x+4 cos11x= 3

3.sinx+cos4x+2sin5x=4

4.(cos2x–cos4x) 2=4+cos23x

5.tg2x+ctg2x= 2 (sinx+cosx)

6.cosx=2cos2x

7.5+ cos2x=6cosx

8.8cos2x+16cosx+7=0

9.2sin2x+ sin22x= 45 –2cos2x

10.cos2x+6sinx–5=0

11.5sinx+2cos2x=3

Существует достаточно много типов тригонометрических уравнений, которые можно решетить несколькими способами, ответы могут отличаться по внешнему виду. Выбор того или другого способа зависит от знаний, опыта и интуиции решающего. Часто в решении тригонометрических уравнений приходится применять комбинированные способы.

Упражнения

(для самостоятельного решения)

1.4sin22x–cos22x=cos8x

2.2(sin22x+1)= sin8x+6cos22x

3.sin12x+9 sin23x–3cos3x=3

4.2– 3 cos2x+sin2x=4 cos23x

6.tg2xctg22xctg3x=tg2x–ctg22x+ctg3x

7.sin2xsinx+ cos2x= sin5xsin4x+cos2 4x

8.sinxcosxcos2xcos8x= 14 sin4x

9.cos6x+ cos10x=1+cos4x

10.cos(π+x)sin( 23 π–x) –cos( 23 π+x)sin(3π–3x)= sin4x

11.sinx+2cosx+2sinxcos2x=0

12.cos6x+tg2x+ cos6xtg2x=1

13.sin5x+2sin4x+sin3x+2sin2 2x =2

26

14.sinx–sin2x=4cos2x–2 cosx

15.cos3 x+ cos33 x=(cos3 x+ cos33 x)3

16.2+cosx=2tg 2x

17.sinx+ cosx=2,5+5sinxcosx

18.sin3x–cos3x=1

21.5sin x cos 2x +2cosx=0

22.2cosx= 2 sin 2x

23.1 cos 2x 2 cos x

8.Решение тригонометрических уравнений вида f (x) =g(x)

Пример.

cos x =sinx

вторая серия решений со знаком «–» не удовлетворяет неравенству

Однако такая эквивалентность (без лишнего неравенства cosx 0 в системе) обладает, меньшей наглядностью, чем приведенная в решении примера эквивалентность.

27

9.Решение тригонометрических уравнений вида f (x)

(x)

тригонометрических функций – sinx, cosx, tgx, ctgx) сводят к системам вида

f x 0,x 0 .

Таким образом, необходимо исключать из решения те значения x, для которых (x) обращается в нуль.

Пример.

cos x

Ответ: Ø.

10. Решение тригонометрических уравнений с выбором корней из промежутка

Данный блок наглядно представляет решение тригонометрических уравнений № 13 части 2 ЕГЭ по математике (профильный уровень).

№ 1.

а) Решите уравнение: cos2x=2(cosx+sinx).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( 2 ; 2 ).

Решение.

а) Выполним преобразование левой части уравнения cos2xsin2x=(cosx–sinx)(cosx+sinx), тогда уравнение можно записать в виде

(cosx+sinx)(cosx–sinx–2)=0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1) cosx–sinx–2=0 – решений не имеет.

Действительно, cosx и sinx ограничены по модулю единицей, а равенство cosx–sinx=2 означает cosx=1, sinx=–1,что невозможно в силу основного тригонометрического тождества sin2x+cos2x=1

2) cosx+sinx=0 sinx=– cosx tgx=–1 x=– 4 +πn, n Z.

Ответ: {– 4 +πn, n Z}.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих промежутку ( 2 ; 2 ).

28

Для полученной серии найдем корни, принадлежащие промежутку( 2 ; 2 )

Решение.

a) cos2x+cos8x=1+cos6x

Преобразуем левую часть, используя следующую формулу

2cos5x cos3x=2cos23x 2cos5x cos3x–2cos23x=0 2cos3x (cos5x–cos3x)=0

Для преобразования выражения cos5x–cos3x воспользуемся формулой преоб-

чим: 2cos3x (–2sin4x sinx)=0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Заметим, что множество корней x=πn является подмножеством множества корней x= 4n .

Ответ: { 6 3n ; 4n , n Z}.

б) Выполним отбор корней с помощью единичной окружности.

1) Нанесем на единичную окружность корни, принадлежащие промежут-

29

Ответ: 0; 6 ; 4 ; 2 .

2)Для каждой серии найдем корни, принадлежащие промежутку 0; .

2

а) Решите уравнение: 12 sin26x– sin2(1,5π–3x)=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2 ).

Решение.

a) Преобразуем левую и правую части уравнения, получим

2sin23x cos23x– cos23x=0 cos23x (2sin23–1)=0

30