Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3124 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы II

231

πna

Tn(t) = ch ωnt +

sh ωnt, если

< ν, ωn = √ν2

− (

)

ωn

ℓ

Tn(t) = 1 + νt,

πna

= ν,

ℓ

πna

ν, ωn = √(

πna

)

Tn(t) = cos ωnt +

sin ωnt, если

− ν2;

ωn

ℓ

3) u(x, t) = 8Aℓ

∞

(−1)n

sin π(2n + 1)xTn(t),

∑

π2

n=0

(2n + 1)2

2ℓ

π(2n + 1)a

Tn(t) = (ch ωnt +

sh ωnt), если ωn2 = ν2 − (

)

> 0,

ωn

2ℓ

π(2n + 1)a

Tn(t) = (cos ωnt +

sin ωnt), если ωn2

= ν2

− (

)

< 0,

ωn

2ℓ

Tn(t) = 1 + νt, ν =

π(2n + 1)

, n = 0, 1, . . . ;

2ℓ

∞

πnx

4) u(x, t) = a0 − b0e−2νt + e−νt

∑

Tn(t) cos

ℓ

n=1

Tn(t) = an + bnt, ν =

πna

ℓ

πna

ωn = √ν2 − (

πna

)

Tn(t) = an ch ωnt + bn sh ωnt,

ν >

ℓ

πna

ωn = √(

πna

Tn(t) = an cos ωnt + bn sin ωnt, ν <

)

− ν2,

ℓ

b0 =

wℓ F (x) dx,

a0 =

wℓ f(x) dx + b0,

2νℓ

ℓ

an =

wℓ f(x) cos

πnx

dx, bnωn

−

νan =

wℓ F (x) cos

πnx

dx;

ℓ

∞

5) u(x, t) = e−νt

∑

Tn(t) cos λnx,

n=1	√ν2 − (λna)2, aλn < ν,
Tn(t) = an ch ωnt + bn sh ωnt, ωn =

232 Ответы к задачам

Tn(t) = an + bnt, aλn = ν,

cos ωnt + bn sin ωnt,

, aλn > ν,

(t) = a

ω = (aλn)2

ν2

ℓ

√

−

+ h )

w f(x) cos λnx dx,

an =

h + ℓ(λn

+ h )

λ2

+ h2)

ℓ

bnωn

−

νan =

F (x) cos λnx dx,

h + ℓ(λn

+ h )

где λn — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h.

2.7. u(x, t) = (A0 + B0t)e−t cos x +

√

∑

√

∞

(Ak cos 2

t)e−t cos(2k + 1)x,

+ k=1

k2 + k t + Bk sin 2

k2 + k

π/2

Ak =

f(x) cos(2k + 1)x dx, k = 0, 1, 2, . . . ,

π/2

B0 =

(F (x) + f(x)) cos x dx,

π√k2 + k

π/2

w [F (x) + f(x)] cos(2k + 1)x dx, k = 1, 2, . . .

Bk =

2.8. u(x, t) = (1 + t)e−t cos x.

2.9. u(x, t) = (A0et + B0e−t) sin x +

∞

∑

√

+ k=1

(Ak cos (2k + 1)2 − 2 t + Bk sin

(2k + 1)2 − 2 t)sin(2k + 1)x,

π/2

(f(x) + F (x)) sin x dx,

B0 =

w (f(x)

−

F (x)) sin x dx,

π/2

Ak =

f(x) sin(2k + 1)x dx,

k = 1, 2, . . . ,

Ответы к задачам главы II

233

π/2

Bk =

F (x) sin(2k + 1)x dx,

k = 1, 2, . . .

π√(2k + 1)2 − 2 0

2.10. u(x, t) = (A0e2t + B0e−2t) sin x +

∞

∑

√

+ k=1

(Ak cos

(2k + 1)2 − 5 t + Bk sin

(2k + 1)2 − 5 t)sin(2k + 1)x,

π/2

A0 =

(2f(x) + F (x)) sin x dx,

B0 =

w (2f(x)

−

F (x)) sin x dx,

π/2

Ak =

f(x) sin(2k + 1)x dx,

k = 1, 2, . . . ,

π/2

Bk =

F (x) sin(2k + 1)x dx,

k = 1, 2, . . .

π√(2k + 1)2 − 5 0

2.11. u(x, t) = (A0e3t + B0e−3t) sin x + (A1et + B1e−t) sin 3x +

∞

∑

√

+ k=2

(Ak cos

(2k + 1)2 − 10 t + Bk sin

(2k + 1)2 − 10 t)sin(2k + 1)x,

(

)

π/2

A0 =

f(x) +

F (x)

sin x dx,

(

− 3

)

π/2

f(x)

F (x)

sin x dx,

π/2

w (f(x) + F (x)) sin 3x dx,

B1 =

w (f(x)

−

F (x)) sin 3x dx,

π/2

f(x) sin(2k + 1)x dx,

k = 2, 3, . . . ,

π/2

F (x) sin(2k + 1)x dx,

k = 2, 3, . . .

π√(2k + 1)2 − 10 0

234	Ответы к задачам

2.12.u(x, t) = 19 ch 3t · sin x + ch t · sin 3x.

2.13.u(x, t) = (A0e4t + B0e−4t)sin x + (A1e2√2 t + B1e−2√2 t)sin 3x +

∞

(Ak cos

∑

√

+ k=2

(2k + 1)2 − 17 t + Bk sin (2k + 1)2 − 17 t)sin(2k + 1)x,

π/2

A0 =

(4f(x) + F (x)) sin x dx,

2π

π/2

B0 =

(4f(x)

−

F (x)) sin x dx,

2π

(

)

√2 π 0

π/2

A1 =

2√

f(x) + F (x)

sin 3x dx,

π/2

2√

f(x)

−

F (x) sin 3x dx,

B1 =

√2 π 0

(

)

π/2

Ak =

f(x) sin(2k + 1)x dx,

k = 2, 3, . . . ,

π/2

Bk =

F (x) sin(2k + 1)x dx,

k = 2, 3, . . .

π√(2k + 1)2 − 17 0

4v0ℓ ∞

nπc

nπ2

nπat

nπx

2.14. а) u(x, t) =

∑

· sin

;

aπ2

n=1

ℓ

2hℓ

ℓ

4v0h

∞

sin nπℓ c · cos n2hℓπ

nπat

nπx

∑

−

б) u(x, t) =

aπ

(

n2π2

)

· sin ℓ

· sin

ℓ .

n=1

n h

ℓ2

8hℓ

∞

cos

(2n+1)πc

(2n + 1)πx

(2n + 1)πat

2.15. u(x, t) =

−

∑

2ℓ

· cos

(ℓ

c)π2

n=0

(2n + 1)2

2ℓ

Ответы к задачам главы II										235
2.16. Указание. Проинтегрировать уравнение							∂2u	= a2	∂2u	при условиях
2.16. Указание. Проинтегрировать уравнение							∂t2	= a2	∂x2	при условиях
							∂t2		∂x2
	∂u			∂u
		(−ℓ, t) = 0,				(ℓ, t) = 0, t > 0,
	∂x	(−ℓ, t) = 0,		∂x		(ℓ, t) = 0, t > 0,
			∂u
u(x, 0) = −εt,					(x, 0) = 0, −ℓ < x < ℓ.
u(x, 0) = −εt,			∂t		(x, 0) = 0, −ℓ < x < ℓ.

Если же учесть симметрию задачи, то задача приводится к интегрированию того же уравнения при условиях

u(0, t) = 0,	∂u	(ℓ, t) = 0, t > 0,
u(0, t) = 0,	∂x	(ℓ, t) = 0, t > 0,
	∂x
u(x, 0) = −εt,			∂u	(x, 0) = 0, 0 < x < ℓ.

			∂t

2.17. u(x, t) = a + bt.

					∞
2.18. u(x, t) = ∑bn sin λnat · cos λnx,
					n=1
bn =		1	wℓ f(x) cos λnx dx				wℓ cos2 λnx dx =
bn =			wℓ f(x) cos λnx dx				wℓ cos2 λnx dx =
		λna	0			/	0
			h2		λ2	ℓ
			h2		λ2	w f(x) cos λnx dx,
=		2(			+ n)
=		2			2
	aλn((h			+ λn)ℓ + h)		0
						0

где λn — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h.

Указание. Задача приводится к решению уравнения

условиях
	∂u	(0, t) = 0,		∂u		(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 0,
				∂x
	∂x
u(x, 0) = 0,			∂u		(x, 0) = f(x).

			∂t
				∞				h1
			∑				(cos λnx +		sin λnx),
2.19. u(x, t) = n=1 an cos aλnt								λn

∂2u = a2 ∂2u при ∂t2 ∂x2

(

λn

) / 0

(

λn

)

ℓ

an = w f(x)

cos λnx +

sin λnx

cos λnx +

sin λnx

dx,

236	Ответы к задачам

где λn — положительные корни уравнения (h1 + h2) ctg λℓ = λ − h1λh2 .

Указание. Задача приводится к решению уравнения

∂2u

= a2

∂2u

при

∂t2

∂x2

условиях

∂u

(ℓ, t) + h2u(ℓ, t) = 0, h1, h2 > 0,

(0, t) − h1u(0, t) = 0,

∂x

u(x, 0) = f(x),

∂u

(x, 0) = 0.

∂t

u(x, t) = 2A (

ℓ

)

πat

πx

2.20.

sin2

· sin

3aπ

2ℓ

ℓ

2ℓ

5πat

5πx

2.21.

u(x, t) = 2A (

) sin2

· cos

5aπ

4ℓ

2ℓ

5πat

5πx

2.22.

u(x, t) = 2A (

) sin2

· sin

5aπ

4ℓ

2ℓ

πat

πx

u(x, t) = 2A (

ℓ

) sin2

2.23.

· cos

aπ

2ℓ

ℓ

πx

πa

2.24.

u(x, t) = A (

)

cos

(1 − cos

t) + 2x.

5πa

ℓ

πat

πx

ℓ

πat

πx

2.25.

u(x, t) = 6

(

)

sin2

· sin

−

(

)

sin2

· sin

6aπ

ℓ

7aπ

2ℓ

ℓ

2ℓ

7πat

7πx

2.26.

u(x, t) = 2

(

) sin2

· cos

7aπ

4ℓ

2ℓ

11πat

11πx

(

) sin2

+ 4

· cos

11aπ

4ℓ

2ℓ

πat

πx

2ℓ

3πat

3πx

2.27.

u(x, t) = 2

(

)

sin2

· sin

−

(

)

sin2

· sin

aπ

4ℓ

2ℓ

3aπ

4ℓ

2ℓ

πat

πx

2.28.

u(x, t) = 6x − 1 +

sin

· cos

πa

ℓ

Ответы к задачам главы II

237

ℓ

3πat

3πx

2.29. u(x, t) = 2 +

(

) (1 − cos

)cos

aπ

ℓ

8ℓ

∞

(2n + 1)aπ

(2n + 1)πx

2.30. u(x, t) = x − ℓ +

∑

cos

t · cos

π2

n=0

(2n + 1)2

2ℓ

∞

2(1 + h2λ2)

∑k

2.31. u(x, t) = x − ℓ − h +

λk2

ℓ(1 + h2λk2) + h

cos aλkt · cos λkx,

где λk — положительные корни уравнения tg λℓ = h1λ.

+ (1 +

)x +

2.32. u(x, t) = −

ℓ

6a2

2a2

∞

(−1)k+18ℓ

cos

(2k + 1)πat

sin

(2k + 1)πx

π2(1 + 2k)2

2ℓ

∑k

6ℓ

5πat

5πx

sin

· sin

5πa

2ℓ

3πx

3πa

2.33. u(x, t) = αx + A (

) sin

− cos

t) +

3πa

2ℓ

8v0ℓ ∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

sin

t · sin

aπ2

(2k + 1)2

2ℓ

∑k

2ℓ

5πx

2ℓ

πx

πa

2.34. u(x, t) = α + (

) cos

· sin

cos

t +

5πa

2ℓ

3πa

2ℓ

8ℓ ∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

cos

· cos

π2

(2k + 1)2

2ℓ

∑k

2.35. u(x, t) =

(2x − ℓ) + v0t +

4αℓ ∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

cos

t · cos

π2

(2k + 1)2

ℓ

∑k

238

Ответы к задачам

(

ℓ

)

(1 − cos

t)cos

2.36. u(x, t) = αx +

5 a

5 x

−

5πa

ℓ

πa

πx

−

sin

· cos

2πa

ℓ

∞

πka

πkx

∑k

ℓ

t · sin

ℓ

2.37. u(x, t) = v(x) +

ak cos

v(x) =

1 − e−x

(e−ℓ − 1)x

αx

+ α

a2ℓ

−

ℓ

wℓ (f(x)

−

v(x)) sin

πkx

dx.

ℓ

2.38. u(x, t) = α(x − ℓ) + β +

ℓ

πa

· cos

πx

sin

πa

2ℓ

8αℓ

∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)x

∑k

π2

(2k + 1)2 cos

2ℓ

t · cos

2ℓ .

∞

∑k

2.39. u(x, t) = v(x) +

(ak cos aλkt + bk sin aλkt)(λk cos λkx + h sin λkx),

1 + hx

v(x) = (β − αℓ)

+ αx,

1 + hℓ

wℓ (f(x)

−

v(x))(λk cos λkx + h sin λkx) dx,

h + ℓ(h

λk)

wℓ

F (x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx;

aλk(h + ℓ(h

λk))

где λk — положительные корни уравнения h tg λℓ = −λ.

∞

h2 + λ2

∑k

2.40. u(x, t) = v(x) + 2

h + ℓ(h2 + λk2)

ak cos aλkt · cos λkx,

= wℓ (f(ξ)

−

v(ξ)) cos λkξ dξ,

v(x) = β − α

−

α(ℓ

−

x),

Ответы к задачам главы II

239

где λk — положительные корни уравнения λ tg λℓ = h.

2.41. u(x, t) =

−

ℓ2

x + 1 −

+ 2x +

6a2

2a2

16ℓ ∞

(−1)k

cos

π(2k + 1)a

sin

π(2k + 1)

− π2

∑k

2ℓ

2ℓ .

(2k + 1)2

2.42. u(x, t) = αx −

8αℓ ∞

(−1)k

cos

π(2k + 1)a

sin

π(2k + 1)

− π2

∑k

2ℓ

2ℓ .

(2k + 1)2

2.43. u(x, t) = 2x +

x(2ℓ − x)

+ 8ℓ

∞

(−1)k+1

2a2

2ℓ

sin π(2k + 1)at

cos π(2k + 1)at

∑

(

−

) ×

π2

k=0

(2k + 1)2

2ℓ

π(2k + 1)a

2ℓ

π(2k + 1)

× sin

2ℓ

2.44.

u(x, t) =

gx(2ℓ − x)

−

2a2

16gℓ2

∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

∑k

− π3a2

(2k + 1)3 cos

2ℓ

t · sin

2ℓ

x +

8v0

ℓ

∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

∑k

(2k + 1)2 sin

2ℓ

t · sin

2ℓ

+ π2a

2.45. u(x, t) = α(x − ℓ) +

( 1)kv

π(2k + 1)a

8ℓ

∞

π k + 1)a

∑

k=0 (α cos

t +

−

sin

t)×

π2

2ℓ

cos

π(2k + 1)

(2k + 1)2

2ℓ

8ℓ

∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)x

∑k

2.46. u(x, t) = (x − ℓ) + π2

(2k + 1)2 cos

2ℓ

t · sin

2ℓ

240

Ответы к задачам

2ℓ

3πa

3πx

ℓ

5πa

5πx

sin

t · cos

−

sin

t · cos

3πa

2ℓ

5πa

2ℓ

u(x, t) =

(x sh ℓ

ℓ sh x) +

∞

(−1)k

cos

πka

sin

πkx

2.47.

ℓa2

−

πa2

∑k

ℓ

ℓ −

2bπ sh ℓ ∞

(−1)kk

cos

πkat

sin

πkx

−

∑k

ℓ ·

ℓ .

π2k2 + ℓ2

2.48. u(x, t) =

−

(x3 −

2x2ℓ + ℓ3) +

8ℓ4 ∞

π(2k + 1)a

π(2k + 1)

∑k

(2k + 1)5 cos

ℓ

t · sin

ℓ

+ π5

2.49. u(x, t) = A −

(cos ωkt +

sin ωkt)sin

∞

∑

1)π(ℓ

−

e−νt k=0

(2 +

2k + 1

ωk

2ℓ

ωk = √(

k + 1)aπ

)

− ν2.

2ℓ

∞

∑k

2.50. u(x, t) = −h + 4α

λ2k+1(2h + ℓ(h2 + λ22k+1)) ×

× (λ2k+1 cos λ2k+1x + h sin λ2k+1x)cos λ2k+1t,

где λ2k+1 — положительные корни уравнения ctg λℓ =

(

−

2.51. u(x, t) = 1 + 2x + 181 (e3t + e−3t − 2)sin x + 12 (et + e−t − 2)sin 3x.

2.52. u(x, t) =

4ℓ2

5πx

ℓ2x

4ℓ2

5πat

5πx

sin

−

+ 1 −

cos

· sin

5a2π2

2ℓ

3a2

5a2π2

2ℓ

+ (

7πat

4ℓ

7πat

)sin

πx

cos

sin

2ℓ

7πa

2ℓ

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3124 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]