Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Задачи

191

Замечание. Пример приведения уравнения (1.30) к уравнению Бесселя показывает, что имеется достаточно большой класс уравнений второго порядка, которые несложными заменами можно привести к уравнению Бесселя. Предлагаем читателю потренироваться на уравнении x(xy′(x))′ + λ2xαy(x) = 0.

Если получится, то предлагаем более сложный случай:

x2y′′ + axy′ + λ2xpy = 0, p ≠ 0.

Подсказка. Сделать сначала замену y = xαu, при этом подобрать α так, чтобы коэффициент при xu′ равнялся единице, потом задача сводится к известной ранее, но уравнение будет некоторого порядка ν.

Задачи

Задачи для уравнений гиперболического типа, требующие применения функций Бесселя

I 6.1. В круге 0 6 r < R найти частное решение уравнения

∂2u		1 ∂			∂u
	= a2			(r		), t > 0,
∂t2		r	∂r		∂r

удовлетворяющее условиям

|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0;

u(r, 0) = φ(r),	∂u	(r, 0) = ψ(r).
	∂t

I 6.2. Определить поперечные колебания круглой мембраны радиуса R с центром в начале координат, вызванные начальной скоростью

{

u0, 0 6 r 6 R/2,

f(r) =

0, R/2 < r < R.

Указание. Задача сводится к решению уравнения

∂2u		1 ∂			∂u
	= a2			(r		), 0	6 r < R, t > 0,
∂t2		r	∂r		∂r

192 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

при условиях

|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0;

u(r, 0) = 0,	∂u	(r, 0) = f(r).
	∂t

I 6.3. Найти собственные колебания круглой мембраны радиуса R, закрепленной по краю, начальные отклонения которой равны нулю, а начальная скорость

	∂u
	∂u
			+ y2}.	h
				h
	∂t t=0= {v0, r 6 h, 0 для h < r < R, r = √x2
Последнее условие		отвечает удару круглого плоского молоточка радиуса

со скоростью v0

I 6.4. Однородная круглая мембрана радиуса R с жестко закрепленным краем совершает малые поперечные колебания, вызванные постоянной начальной скоростью u0 точек мембраны.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

	∂2u	= a2	1 ∂		(r	∂u	), 0 6 r < R, t > 0,
	∂t2	= a2	r	∂r	(r	∂r	), 0 6 r < R, t > 0,
при условиях
		\|u(0, t)\| < ∞, u(R, t) = 0;
								∂u
		u(r, 0) = 0,							(r, 0) = u0.
		u(r, 0) = 0,						∂t	(r, 0) = u0.

I 6.5. Изучить свободные радиальные колебания круглой мембраны, закрепленной по краю, колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. Начальная скорость равна нулю.

Указание. Проинтегрировать уравнение

∂2u

∂u

∂2u

1 ∂u

+ 2h

= a2 (

), h > 0,

∂t2

∂t

∂r2

∂r

при условиях

|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0;

∂u

aµk

u(r, 0) = φ(r),

(r, 0) = 0,

> h, k, J0

(µk) = 0.

∂t

Задачи

193

I 6.6. Тяжелая однородная нить длиной ℓ, подвешенная за один из своих концов, x = ℓ, выводится из положения равновесия и отпускается без начальной скорости. Найти отклонение нити от положения равновесия.

Указание. Найти решение уравнения

	∂2u		∂		∂u
		= a2		(x		), 0 6 x < ℓ, t > 0,
	∂t2	= a2	∂x	(x	∂x	), 0 6 x < ℓ, t > 0,
при условиях
		\|u(0, t)\| < ∞, u(ℓ, t) = 0;
		u(x, 0) = f(x),					∂u	(x, 0) = 0.
		u(x, 0) = f(x),						(x, 0) = 0.
							∂t

I 6.7. Тяжелая однородная нить длиной ℓ, закрепленная верхним концом (x = ℓ) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью ω. Определить форму нити при t > 0, если заданы начальные отклонения и скорость.

Указание. Задача сводится к решению уравнения

∂2u

∂

∂u

= a2

) + ω2u, a =

√

g, 0 6 x < ℓ, t > 0,

∂t2

∂x

при условиях

|u(0, t)| < ∞, u(ℓ, t) = 0;

∂u

µk

u(x, 0) = f(x),

(x, 0) = F (x),

√

, J0

(µk) = 0.

∂t

2 ℓ

I 6.8. Дана цилиндрическая трубка радиуса R — настолько длинная, что ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности. Исследовать малые радиальные колебания однородного газа, заключенного в трубке.

Указание. Уравнение колебания газа

∂2u		∂2u ∂2u ∂2u
	= a2 (		+		+		)
∂t2		∂x2		∂y2		∂z2

следует преобразовать к цилиндрическим координатам r, φ, z, направив ось Oz по оси трубки. Учитывая радиальность колебаний и их малость, следует считать, что функция u будет зависеть только от r, t, т. е.

194 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

u = u(r, t), а значит, уравнению

при условиях

∂u

≡ 0,

∂u

≡ 0. В результате u(r, t) удовлетворяет

∂φ

∂z

∂2u

1 ∂u

= a2

(

)

∂t2

∂r2

∂r

\|u(0, t)\| < ∞,		∂u		(R, t) = 0;

		∂r
u(r, 0) = f(r),	∂u		(r, 0) = F (r).

	∂t

I 6.9. Определить поперечные колебания однородной круглой мембраны радиуса R, вызванные начальной скоростью

f(r) = {u0, 0 6 r 6

; 0,

< r < R},

если край мембраны закреплен упруго.

Указание. Решить уравнение

∂2u

1 ∂

∂u

= a2

), 0

6 r < R, t > 0,

∂t2

∂r

при условиях

(

|u(0, t)| < ∞,

∂u

∂r + hu) r=R= 0, h > 0;

u(r, 0) = 0, ∂t (r, 0) = f(r).

I 6.10. Круглая однородная мембрана радиуса R, закрепленная по краю, находится в состоянии равновесия при натяжении T . В момент времени t = 0 к мембране приложено нормальное давление P на единицу площади. Определить форму мембраны при t > 0.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

∂2u	1		∂u	−	1 ∂2u		= −	P
	+
∂r2		r	∂r		a2	∂t2		T

при следующих условиях: u(0, t) равно конечной величине, u(R, t) = 0; u(r, 0) = 0, ∂u∂t (r, 0) = 0.

Задачи

195

I 6.11. В круге 0 6 r < R найти частное решение уравнения

∂2u

1 ∂

∂u

= a2

) + F,

∂t2

∂r

удовлетворяющее условиям

|u(0, t)| < ∞,

∂u

(R, t) = u0

;

∂r

u(r, 0) = 0,

∂u

(r, 0) = 0,

∂t

F и u0 — постоянные числа.

I 6.12. Круглая однородная мембрана радиуса R, закрепленная по контуру, находится в состоянии равновесия при натяжении T . В момент времени t = 0 к поверхности мембраны приложена равномерно распределенная нагрузка f = P0 sin ωt. Найти радиальные колебания мембраны.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

∂2u 1 ∂u 1 ∂2u								P0
	+			−			= −		sin ωt,
∂r2		r	∂r		a2	∂t2		T

при условиях, что u(0, t) равно конечной величине, u(R, t) = 0, u(r, 0) = 0,

∂u∂t (r, 0) = 0.

Рассмотреть случай ω ≠ µRka, где µk > 0 корни уравнения J0(x) = 0, k N.

I 6.13. В круге 0

6 r < R относительно функции u = u(r, t) решить

задачу

∂2u

1 ∂

∂u

= a2

), 0 6 r < R, t > 0;

∂t2

∂r

|u(0, t)| < ∞,

u(R, t) = u0 sin ωt;

u(r, 0) = 0,

∂u

(r, 0) = 0;

∂t

µka

ω ̸=

, k N, J0(µk) = 0.

196 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

I 6.14. В круге 0 6 r < R относительно функции u = u(r, t) решить задачу

∂2u

(

)

= a2

, 0 6 r < R, t > 0;

r ∂r

∂r

∂t

|u(0, t)| < ∞,

∂u

(R, t) = u0 cos ωt,

t > 0;

∂r

∂u

ω ̸=

µka

, k N,

u(r, 0) = 0,

(r, 0) = 0,

∂t

где µk > 0 корни уравнения J1(µ) = 0 или уравнения J0′(µ) = 0.

I 6.15. Определить поперечные колебания однородной мембраны радиуса R, вызванные непрерывно распределенной по мембране поперечной нагрузкой плотностью q cos ωt, действующей с момента t = 0, если:

а) край мембраны закреплен жестко; б) край мембраны закреплен упруго.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

∂2u

(

)

= a

cos ωt

∂t2

r ∂r

∂r

при условиях:

∂u

а) |u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0;

u(r, 0) =

(r, 0) = 0,

∂t

µk

, k, J0(µk) = 0;

̸=

б) |u(0, t)| < ∞,

(

∂u

+ hu)

r=R= 0, h > 0; u(r, 0) =

∂u

(r, 0) = 0,

∂r

∂t

µk

µ J

RhJ

= ,

a ̸

I 6.16. Найти в области 0 6 r < ℓ, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2 (

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

∂u

|u(0, t)| < ∞,

(ℓ, t) + hu(ℓ, t) = 1, h > 0;

∂r

u(r, 0) = 0,

∂u

(r, 0) = 0.

∂t

Задачи

197

I 6.17. Найти в области 0 6 r < ℓ, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2 (

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

|u(0, t)| < ∞,

u(ℓ, t) = cos 2t;

∂u

aµ

u(r, 0) = 0,

(r, 0) = 0,

̸= 2, k N, J0(µk) = 0.

∂t

ℓ

I 6.18. Найти в области 0 6 r < ℓ, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2 (

) + sin 2t,

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

∂u

|u(0, t)| < ∞,

(ℓ, t) = sin 2t;

∂r

∂u

aγ

u(r, 0) = 0,

(r, 0) = 0,

̸= 2, k N, J0′(γk) = 0 или J1

(γk) = 0.

∂t

ℓ

I 6.19. Найти в области 0 6 r < R, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2 (

) + A,

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = u0;

u(r, 0) = 0,

∂u

(r, 0) = 0;

A, u0 — const.

∂t

I 6.20. Найти в области 0 6 r < R, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2 (

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = u0;

u(r, 0) = 0,

∂u

(r, 0) = 0.

∂t

I 6.21. Найти в области 0 6 r < R, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2 (

) + A,

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

198 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя


\|u(0, t)\| < ∞,			∂u(R, t)	+ hu(R, t) = 0, h > 0;
\|u(0, t)\| < ∞,			∂r	+ hu(R, t) = 0, h > 0;
u(r, 0) =	A	(R2 − r2),			∂u	(r, 0) = 0.

	4a2				∂t

I 6.22. Найти в области 0 6 r < R, t > 0 решение уравнения

∂2u

1 ∂u

= a2

(

) + A cos ωt,

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

µk

(µk) = 0;

|u(0, t)| < ∞,

u(R, t) = u0 cos

ωt,

̸=

, k, J0

u0(4a2 + ω2) + AR2

∂u

u(r, 0) =

(

r),

(r, 0) = 0.

(4a2 + ω2)J0

ωa R

∂t

I 6.23. Найти в

области 0

r < R, t > 0 решение уравнения

(

∂2u

1 ∂u

= a2

(

∂t2

∂r2

∂r

удовлетворяющее условиям

|u(0, t)| < ∞,

∂u(R, t)

= u0 cos ωt;

∂r

∂u

̸=

γn

, n, J0′(γn) = 0.

u(r, 0) = 0,

(r, 0) = 0,

∂t

Задачи для уравнений параболического типа, требующие применения функций Бесселя

I 6.24. Найти распределение температуры внутри бесконечного кругового цилиндра радиуса R при условии, что начальная температура равна

u(r, 0) = u0

1 − r2/R2

, а на боковой поверхности поддерживается темпе-

ратура,

равная нулю.

)

(

Указание. Найти решение уравнения

∂u

∂2u

1 ∂u

= a2 (

)

при условиях

∂t

∂r2

∂r

|u(0, t)| < ∞, u(R, t) = 0;

u(r, 0) = u0 (1

−

Задачи

199

I 6.25. Найти распределение температуры при t > 0 в бесконечном однородном круглом цилиндре радиуса R, если начальная температура цилиндра равна u0r2, а поверхность цилиндра теплоизолирована.

Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения

	∂u			∂2u			1 ∂u
		= a2 (				+			)
	∂t	= a2 (		∂r2		+	r	∂r	)
при условиях
			∂u(R, t)
\|u(0, t)\| < ∞,					= 0; u(r, 0) = u0r2.
\|u(0, t)\| < ∞,			∂r		= 0; u(r, 0) = u0r2.

I 6.26. Дан неограниченный цилиндр радиуса R, начальная температура которого равна f(r). С боковой поверхности цилиндра происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой считается равной нулю. Найти распределение температуры внутри цилиндра в любой момент времени t.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

	∂u		∂2u		1 ∂u
		= a2 (		+			)
	∂t	= a2 (	∂r2	+	r	∂r	)
при условиях, что u(0, t) равно конечной величине,

∂u(R, t)

+ hu(R, t) = 0; u(r, 0) = f(r).

∂r

I 6.27. В круге 0 6 r < R найти решение u = u(r, t) задачи

∂u

∂2u

1 ∂u

= a2

(

) − h2u,

∂t

∂r2

∂r

|u(0, t)| < ∞,

∂u

(R, t) = 0, u(r, 0) = φ(r).

∂r

I 6.28. Найти распределение температуры при t > 0 в бесконечном однородном круглом цилиндре радиуса R, если начальная температура цилиндра равна u0r2, а на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

∂u		1 ∂			∂u
	= a2			(r		)
∂t		r	∂r		∂r

200 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

при условиях
\|u(0, t)\| < ∞,	∂u(R, t)	+ hu(R, t) = 0; u(r, 0) = u0r2.
\|u(0, t)\| < ∞,	∂r	+ hu(R, t) = 0; u(r, 0) = u0r2.

I 6.29. В начальный момент времени t = 0 температура бесконечной однородной трубы b 6 r 6 d равна u0. Найти распределение температуры в трубе при t > 0, если поверхность трубы поддерживается при нулевой температуре.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

	∂u		1 ∂			∂u
		= a2			(r		)
	∂t	= a2	r	∂r	(r	∂r	)
при условиях

u(b, t) = u(d, t) = 0, u(r, 0) = u0.

I 6.30. Исследовать радиальное распределение тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса R, боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре u0. Начальная температура внутри цилиндра равна нулю.

Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения

	∂u		∂2u			1 ∂u
		= a2 (		+				)
	∂t		∂r2			r	∂r
с условиями \|u(0, t)\| < ∞, u(R, t) = u0,					u(r, 0) = 0.

I 6.31. Найти распределение температуры при t > 0 в бесконечном однородном круговом цилиндре радиуса R, если начальная температура цилиндра равна u0r2, а температура поверхности цилиндра поддерживается равной T .

Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения

	∂u		∂2u		1 ∂u
		= a2 (		+			)
	∂t		∂r2		r	∂r
с условиями \|u(0, t)\| < ∞, u(R, t) = T ,				u(r, 0) = u0r2.

I 6.32. В бесконечном однородном цилиндре радиуса R с момента t = 0 выделяется тепло с постоянной плотностью Q. Считая температуру цилиндра при t = 0 равной нулю, определить распределение температуры в нем при t > 0, если поверхность цилиндра поддерживается при температуре T .

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]