Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3127 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы III

261

× −t + ((2k + 1)πa) 1 − e−(

2ℓ

)

cos 2

2ℓ

πx.

2ℓ

aπ(2k+1)

k + 1

k=0 (

(

)

3.53.

π(1 + 2k)

− a4π6(1 + 2k)6 )

∞

aπ(2k+1)

∑

4( 1)

128ℓ

−

2ℓ

u(x, t) =

−

t)cos

128ℓ

32ℓ

2k + 1

−

πx.

a4π6(2k + 1)6

a2π4(2k + 1)4

2ℓ

∞

nπa

nπx

3.54. u(x, t) =

∑

ane−(

) t sin

ℓ

xt +

6a2ℓ

(x2 − ℓ2) +

ℓ

n=1

ℓ

nπx

Aℓ2

1)n

w x(x2

(−

an =

ℓ2) sin

dx =

−

ℓ

−

ℓ

a π n

ℓ2A

3.55. u(x, t) = At (1 −

) −

((

)

− 3

(

)

+ 2

) +

ℓ

6a2

ℓ

2ℓ2A

∞

nπa 2

nπx

∑

e−(

) t sin

ℓ

n=1

ℓ

ℓ )

+ π3a2

k=1 k3

e−(

)

− 1 sin

ℓ .

= At (1 −

ℓ

2Aℓ2

∞

πka

πkx

∑

3.56. u(x, t) = −ex−t sin x + ex−4t sin 2x + ex sin x + 1 + t.

)

3.57. u(x, t) = Q a2t + 3x2 − ℓ2

+ 2ℓ

∞ (−1)k+1e−(kℓ

∑k

πa

ℓ

6ℓ

π2

a2At2

Ax2

Aℓ a2T

3.58. u(x, t) =

−

− (

− Ax +

−

)t +

2ℓ

ℓ

2ℓ

+ a2π4

∞

Aℓ2 −

Aℓ2 + (−1)kT (akπ)2

e−(

ℓ

)

cos

2ℓ

akπ

∑k

(

)

kπx cos ℓ .

− ℓT6 +

kπℓx.

262 Ответы к задачам

3.59. u(x, t) = 2ℓ

+ 2ℓ

−

+ a2π4

(−k4

1 − e−(

ℓ

) cos

ℓ .

tx2

a2t2

ℓt

2ℓ3

∞

1)k+1

akπ

πkx

∑k

3.60. u(x, t) = tx2ℓ

+ e−(5

ℓ )

t cos 5πℓx + a2ℓt .

πa

2 2

3.61.

u(x, t) =

1 − tx2 + tx

−

ℓt

−

ℓ +

2ℓ

−

) − (kπ)2

( )

ℓ .

k=1

(kπ)4a2 − −

(

( )

∞

akπ

∑

2ℓ

((

1)k

1) e−

ℓ

2ℓ(−1)

e−

ℓ

cos kπx

()

3.62. u(x, t) = A(1 − e−αt)

−

1 + p

)

−

)

ℓ

n=1

µn · p(p + 1) + µn

· a µn

αℓ

( (

∞

p2 +

µ2

ℓ2

aµn

µ x

∑

−

e−

ℓ

e−αt

sin

+ 2Aα

где µ1, µ2,

µ3,

. . . — положительные

корни

уравнения

tg µ

−µ/p

(p = Hℓ).

e−(

)

− 1 −

3.63. u(x, t) = (x − ℓ)t2 + 1 +

∞

(π(2k + 1))6

2ℓ

28ℓ5

aπ(2k+1)

∑k

(

)

2ℓ .

π(2k + 1)

aπ(2k+1)

a2(π(2k + 1))4

4( 1)k

−

2ℓ

26ℓ3

2k + 1

−

t cos

πx

−

3.64. u(x, t) = t2(x − ℓ) + t3 +	∞	Ck	1 − e−(aπ	2ℓ
	∑k			(2k+1)
	∑k
	=0

)2 t +

+ Akt2 + Bkt)cos 2k + 1πx, 2ℓ


где Ak =				48(−1)k+1ℓ2			,
где Ak =				a2(π(2k + 1))3			,
				a2(π(2k + 1))3
			4(−1)k			2ℓ	3
B		=	4(−1)k			2ℓ		1 +
B		=	a2					1 +
	k		a2		(π(2k + 1)) (

)

12ℓ

(aπ(2k + 1))2

Ответы к задачам главы III

263

2ℓ

Ck = − (

) Bk.

aπ(2k + 1)

3aπ)

(t + (3aπ)

(e−(

)

t − 1))cos

3.65. u(x, t) = t(x −ℓ) + 3

(

2ℓ

2ℓ .

2ℓ

3πa

3πx

∞

8 5

aπ(2k+1)

∑k

2 ℓ (−1)

e−

u(x, t) = xt2

+ 1 +

2ℓ

3.66.

(2k + 1)6π6a4

−

)

−

(

)

2ℓ .

(2k + 1)π

(2k + 1)4π4a2

aπ(2k+1)

e−

26ℓ3(−1)k

sin (2k + 1)πx

2ℓ

−

3.67. u(x, t) = tx + 3

(

3aπ

)

(

) (

2ℓ

)

− 1

)

2ℓ .

(t +

3aπ

e−(

)sin

2ℓ

3aπ

3πx

3.68. u(x, t) = x + t2 + k=0

(aπ(2k + 1))

4ℓ

1 − e−(

2ℓ

)

−

∞

2ℓ

aπ(2k+1)

− (aπ(2k + 1))

∑

e−(

2ℓ

+ 4ℓ t sin 2

πx.

−

ℓ2

)

2ℓ

π(2k + 1)

aπ(2k+1)

k + 1

∞

(

2ℓ

)

∑

3.69. u(x, t) = t2x + k=0

(−1)k+1

(2k + 1)πa

ℓ

πx.

× t + (aπ(2k + 1))

e−(

2ℓ

)

− 1 sin 2

2ℓ

aπ(2k+1)

k + 1

(

)

∞

2ℓ

∑

3.70. u(x, t) = t2 + x + k=0

aπ(2k + 1)

ℓ

2ℓ

πx.

× (aπ(2k + 1))

1 − e−(

2ℓ

)

− t sin 2

2ℓ

aπ(2k+1)

k + 1

264	Ответы к задачам

3.71. u(x, t) = xt + t2 + a4

π5

∞

(2k + 1)5

1 − e−(

2ℓ

128ℓ4

aπ(2k+1)

∑k

)sin

aπ

k + 1

− (

)

πx.

2ℓ

(2k + 1)3

2ℓ

)

3.72. u(x, t) = A

−

ℓ

sin ωt −

πa

wt e(

2ωA

∞

e−(

ℓ

) t sin

nπx

nπa

ℓ

τ cos ωτ dτ.

ℓ

− π

∑

n=1

)2 t −

3.73.u(x, t) = et + sin t − cos t.

3.74.u(x, t) = e−3t cos 2x + et + sin t − cos t + t2x.

3.75. u(r, t) =

∞ e−(

nπa

)2t sin

nπr

wR ρf(ρ) sin

nπρ

dρ.

∑

Rr n=1

∂u

Указание 1. Задача сводится к решению уравнения

= a2∆u при

∂t

< ∞.

условиях u

t=0= f(r), u

r=R

= 0, u(0, t)

Оператор Лапласа ∆u в сферических| | координатах имеет вид

1 ∂

∂u

1 ∂

∂u

∂ u

∆u =

(r2

)

(sin θ

) +

∂r

r2 sin θ

∂θ

r2 sin2 θ

∂φ2

Так как начальное значение искомой функции u не зависит от углов θ и φ, то u = u(r, t), а уравнение задачи принимает вид

∂u

∂

∂u

= a2

(r2

∂t

∂r

Указание 2. Перейти к новой неизвестной функции v = ru.

3.76. u(r, t) =

2(1 − Rh)

∞

e−a2λn2 t

wRrf(r) sin λnr dr sin λnr,

∑

−

cos

Rλn (

)

k=1

где λn — положительные корни уравнения tg Rλ =

Rλ

1 − Rh

Указание. Краевое условие в задаче 3.75 следует заменить на следу-

ющее: ∂u(R, t) + hu(R, t) = 0. ∂r

Ответы к задачам главы III

265

3.77. u(r, t) =

wR r2f(r) dr +

∞

R2λ2

1 +

w rf(r) sin

λkr dr e−a

λkt sin λkr,

k=1

λk

(

)

∑

где λk — положительные корни уравнения tg Rλ = Rλ.

3.78.

u(r, t) = 4u

∞

sin µnR − µnR cos µnR

sin µnr

e−µn2 a2t

0 n=1

µn(4µnR

−

sin 4µnR)

∑

2µnR

где µn — положительные корни уравнения tg 2µnR =

1 − 2hR

Указание. Задача приводится к решению уравнения

∂u

∂

∂u

= a2

(r2

)

∂t

∂r

при условиях

∂u

+ hu) r=2R

u0, 0 6 r 6 R,

|u(0, t)| < ∞.

(∂r

= 0, u(r, 0) = { 0, R < r 6 2R,

∞

e−λka t

3.79. u(r, t) =

(Rλk cos λk(r − R) + sin λk(r − R)),

∑k

где λ1, λ2, . . .

— положительные корни уравнения

(1 − 2Rh + 2λ2R2) sin λR = (1 + 2Rh)Rλ cos λR,

3R3λ2(1 + 2Rh)u0

Ak =

(1 + λk2R2)[(1 + 2Rh)λk2R2

+ (2hR + 2λk2R2

− 1) sin2 λkR]

Указание. Задача приводится к решению уравнения

∂u

∂

∂u

= a2

(r2

)

∂t

∂r

∂u

+ hu) r=2R= 0, |u(0, t)| < ∞.

при условиях u(r, 0) = u0, ∂r

r=R= 0, (∂r

2R(T

∞

k+1

e−(

akπ

)

kπr

3.80. а) u = P +

− P )

(−1)

sin

;

πr

∑k

266 Ответы к задачам

б) u = P +

2Rh(T − P )

∞

cos Rλk

e−a2λk2t sin λkr,

λk(1

−

cos2 Rλk)

∑k

где λk — положительные корни уравнения tg λR = Rλ/(1 − Rh).

Указание. Задача приводится к решению уравнения

∂u

∂

∂u

= a2∆u, ∆u =

(r2

)

∂t

∂r

при условиях: а) u(R, t) = P , u(r, 0) = T , |u(0, t)| < ∞;

∂u

б)

(R, t) + hu(R, t) = hP , u(r, 0) = T , |u(0, t)| < ∞.

∂r

u(r, t) = Q (R2

r2) + 2QR3 ∞

(−1)n+1 e−(nRπa)2t sin nπr

3.81.

−

∑

π3kr n=1

Указание. Задача приводится к решению уравнения

∂u

∂

∂u

= a2∆u +

, ∆u =

(r2

)

∂t

ρc

∂r

при условиях u(R, t) = 0, u(r, 0) = 0, a2

, |u(0, t)| < ∞.

cρ

sin µnr

u(r, t) =

QR +Q(R2 − r2)

2HQR4 ∞

cos µn · e−(aRn ) t

3.82.

−

3kH

µn3 (1

−

cos2 µn)

∑

n=1

где µ1, µ2, . . . — положительные корни уравнения tg µ = 1 − HR.

Указание. Краевое условие в задаче 3.81 заменить на следующее:

∂u

(

∂r

+ Hu) r=R

= 0, H =

3.83. а) u(r, t) = u0 +

(R2 − r2) +

anπ 2

nπr

2R ∞ ( 1)n

QR2

∑

−

(u0 − T −

)e−( R ) t sin

;

πr

n=1

kn2π2

б) u = P +

Q(R2 − r2)

3kh

Ответы к задачам главы III

267

∑

−

2Rh ∞

cos Rλn

n=1 (T − P

−

kλn2

)

λn(1

Rh cos2 Rλn)

e−a

λnt sin λnr,

где λn — положительные корни уравнения tg λR =

Rλ

1 − Rh

Указание. Задача приводится к решению уравнения

∂u

∂

∂u

= a2

∆u +

, ∆u =

(r2

∂t

cρ

∂r

при условиях: а) u(R, t) = u0, u(r, 0) = T , |u(0, t)| < ∞;

∂u

б)

(R, t) + hu(R, t) = hP , u(r, 0) = T , |u(0, t)| < ∞.

∂r

Здесь c — удельная теплоемкость, ρ — плотность, k — коэффициент

теплопроводности шара.

3.84.

u(r, t) = T + Q

3a2

−

3R2 − 5r2

) −

10R2

( R2

2Q ∞

2 2

−

∑

e−a λnt sin λnr,

kRr

λ3 cos Rλn

n=1

где λn — положительные корни уравнения tg λR = Rλ. Указание 1. Задача приводится к решению уравнения

∂u			1	∂		∂u
	= a2	∆u, ∆u			(r2		),
∂t			r2	∂r		∂r

при условиях k∂u∂r (R, t) = Q, u(r, 0) = T , k — коэффициент теплопроводности шара.

Указание 2. После замены v = ru, получаем неоднородную задачу для функции v. Решение полученной задачи следует отыскивать в виде v = y(r, t) + w(r, t), y(r, t) = Art + φ(r), где A и φ(r) находим из предположения, что y(r, t) удовлетворяет уравнению и граничным условиям для функции v.

3.85.

u(r, t) = T +

QR − 3q

t +

(3R2

−

5r2) +

10kR

∞

cρR

2 2

∑

e−a λnt sin λnr,

kRr

λ3

cos Rλn

n=1

268

Ответы к задачам

где λn — положительные корни уравнения tg λR = λR.

Указание 1. Задача приводится к решению уравнения

∂u

∂

∂u

= a2∆u +

, ∆u

(r2

∂t

cρ

∂r

при условиях k

∂u

(R, t) = −q, u(r, 0) = T .

∂r

Указание 2. См. указание 2 к задаче 3.84.

3.86. а) u = e−t X(r) +

∞ ake−(aR

)

t sin kπr,

∑k

πk

kπr

X(r) =

(A + B) sin a

−

Br, ak =

w (rf(r)

−

X(r)) sin

dr;

sin a

б) u =

e−t

X(r) +

wR r(rf(r)

−

X(r)) dr +

∞

λ2

w (rf(r)

∑

1 +

−

X(r)) sin λnr dr

e−a λnt

sin λnr,

r n=1

λn

(

)

AR2a sin r

− Br,

X(r) =

R cos Ra − a sin Ra

где λn — положительные корни уравнения tg λR = λR;

e−t

∞

2 2

∑

в) u =

X(r) +

ane−a λnt sin λnr,

n=1

R2(A + hB) sin r

− Br,

X(r) =

Ra cos Ra − sin Ra + Rh sin Ra

an =

2(1 − Rh)

wR(rf(r)

−

X(r)) sin λnr dr,

Rλn)

R(1 − Rh − cos

где λn — положительные корни уравнения tg λR =

Rλ

1 − Rh

Ответы к задачам главы IV

269

3.87. а) u =	2	∞		wR rf(r) sin kπr dr		e−((	akπ	)	2
							R		+β2)t
		∑	(			)
	rR k=1			0	R

sin kRπr;

б) u =

wR r2f(r) dre−β2t +

∞

1 + R2

λ2

2 2 2

∑

w rf(r) sin λkr dr e−(a λk+β )t sin λkr,

r k=1

λk

)

где λk — положительные корни уравнения tg λR = Rλ;

в) u = e−β2t

2u0

e−β2t

∞

2 sin R2λn

− Rλn cos R2λn

e−a2λn2 t sin λnt,

∑

2Rλn

−

sin 2Rλn

n=1

где λn — положительные корни уравнения tg Rλ = Rλ;

∑

−

∞

2(1

Rh)e−β2t

г) u(r, t) =

−

w rf(r) sin λnr dr e−a

λnt sin λnr,

Rr n=1

cos

Rλn (0

)

где λn — положительные корни уравнения tg Rλ = Rλ;

д) u(r, t) = X(r) +

X(r)) sin kπr dr e−( R

)

t sin kπr

+ 2e−β t

∞

w r(f(r)

∑

akπ

k=1 (

−

)

AAR sh βa r

X(r) = − .

β2 rβ2 sh βaR

Ответы к задачам главы IV

4.1. Указание. Положить u = v + A + Bx + Cy + Dxy и подобрать коэффициенты A, B, C, D гармонической функции A + Bx + Cy + Dxy таким образом, чтобы v удовлетворяла требуемому условию, т. е. обращалась бы в ноль в угловых точках контура. Требуемое условие будет выполнено,

если

A = f(0),

B =

(f(a) − f(0)),

C =

(ψ(b) − ψ(0)),

D =

(φ(a) − φ(0))

−

(f(a) − f(0)).

270 Ответы к задачам

4.2. 1) u1(x, y) =

∞

ψk sh kπ(a − x) + Fk sh kπx

sin kπby ,

∑

k=1 (

πa

) sh kb

ψk =

wb ψ(y) sin

kπy

dy,

Fk =

wb F (y) sin

kπy

dy;

2π

(a − x)

2πy 1

3π

(a − x)

3πy

2) u(x, y) =

· sin

−

· sin

2πa

3πa

4πx

4πy

5πx

5πy

;

sin

· sh

sin

4 sh

4πa

5 sh

5πa

3) u(x, y) =

2 sh

2π(a − x)

+ 5 sh

2πx

sin 2πby

2πa

(

) sh

−

3 sh

4π(a − x)

sin 4πby

sh 6πbx

sin

6πy

−

· sh

4πa

6πa

b .

u(x, y) =

2bA

∞

(−1)k+1

kπ(a − x)

sin kπby

4.3. 1)

∑k

sh kπba ;

u(x, y) =

2bh

∞

(−1)k+1

sh kπbx

sin

kπy

∑k

sh kπba ·

b ;

3) u(x, y) =

3 sh πx

πy

sh 3πx

3πy

· sin

− 2

· sin

πa

3πa

∞

k+1 sh

kπ(a−x)

2bA

∑k

(−1)

sin

kπy

sh kπba

b .

4.4. 1) u2(x, y) =

∞

fk sh kπ(b − y) + φk sh kπy

sin kπax ,

∑

k=1 (

πb

) sh ka

fk =

wa f(x) sin

kπx

dx,

φk =

wa φ(x) sin

kπx

dx;

π(b−y)

πx

3π(b−y)

3πx 1

sh 2πy

2πx

2) u(x, y) = 3

· sin

−

· sin

;

sh πab

3πb

2πb

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3127 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]