Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ответы к задачам

Ответы к задачам главы V

5.1. 1) u(x, t) =

dτ x+aw(t−τ)f(z, τ) dz;

2) u(x, t) =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы IV

281

φk =

φ(x) cos

(2k + 1)πx

dx;

3πy

3πx 2a

5πy

5πx

2) u(x, y) =

−

e− 2a

cos

e−

2a cos

;

∞

k+1

(2k+1)πy

u(x, y) =

16u0a

(−1)

e−

sin

(2k + 1)πx

π3

(2k + 1)3

2a .

∑k

∞

µky

µkx

4.28. 1) u(x, y) =

φke−

sin

∑k

2(a2h2 + µ2)

µ x

φk =

φ(x) sin

dx,

a(µk + a

) + a

µk = aλk, где λk — положительные корни уравнения h tg aλk = −λk;

2) u(x, y) =

∞ u02(

h2 + λk2

− h)

h2 + λk2

e−λky sin λkx,

k=1

λ a

h2 + λ2) + h)

√k( (

√

∑

где λk — положительные корни уравнения h tg aλ = −λ;

3) u(x, y) =

∞

fke−λky cos λkx,

∑k

2(h2

+ λ2)

w f(x) cos λkx dx,

fk =

a(h

+ λk) + h

где λk — положительные корни уравнения λ tg aλ = h;

∞

4) u(x, y) =

h2 + λ2

e−λky cos λkx,

−

u02h

k=1 a( √+ k) + h ·

∑

где λk — положительные корни уравнения λ tg aλ = h;

5) u(x, y) =

∞

fke−λky(λk cos λkx + h sin λkx),

∑k

wa f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx,

fk =

a(λk

+ h

) + h

где λk — положительные корни уравнения h tg λa = −λ;

282

Ответы к задачам

6) u(x, y) =

∞

fke−λky(λk cos λkx + h sin λkx),

∑k

wa f(x)(λk cos λkx + h sin λkx) dx,

fk =

a(λk + h ) + h

где λk — положительные корни уравнения h ctg λa = λ.

8b2A ∞

(2k+1)πx

(2k + 1)πy

4.29. 1) u(x, y) =

e−

sin

;

(2k + 1)

∑k

∞

(2k+1)πy

2) u(x, y) =

(−1)

sin

(2k + 1)πx

;

π2

(2k + 1)2

∑k

∞

16b2

(2k+1)πx

(2k + 1)πy

3) u(x, y) = u0

cos

;

(2k + 1)

∑k

πy

πx

4) u(x, y) =

e− b

cos

;

3πy

3πx 2a 5πy

5πx

5) u(x, y) =

e 2a cos

−

e 2a cos

;

5π

6) u(x, y) = C +

πx

πy

−

3πx

3πy

, C = const;

e b

cos

e b cos

3π

7) u(x, y) = C +

3πx

3πy

−

b 5πx

5πy

, C = const.

e b

cos

e b

cos

9π

5π

4.30. u(r, θ) =

+ k=1 (

)

(fk cos kθ + f˜k sin kθ),

2π

∑

fk =

w f(ψ) cos kψ dψ,

k = 0, 1, 2, . . . ;

2π

f˜k =

w f(ψ) sin kψ dψ,

k = 1, 2, . . . ;

а) u(r, θ) = (α sin θ + β

cos 2θ)

;

б) u(r,

θ) =

−

(

)

cos 2θ;

Ответы к задачам главы IV

283

∞

n cos nθ

∑

(

)

в) u(r, θ) = 1 + n=1

Указание. Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид

∂2u

1 ∂u

1 ∂2u

= 0,

∂r2

∂r

∂φ2

причем от функции u(r, φ) помимо указанных условий требуем выполнения условий u(r, φ + 2π) = u(r, φ), u(r, φ) — ограничена при r → 0. Кстати в случае внешних задач нужно последнее требование заменить на u(r, φ) ограничена при r → ∞.

	∞	rk
	∑k
	∑k	kRk−1 (fk cos kφ + f˜k sin kφ), C = const,
	4.31. u(r, φ) = C +	kRk−1 (fk cos kφ + f˜k sin kφ), C = const,

w2π

fk и f˜k те же, что и в задании 4.30. Условие разрешимости f(θ) dθ = 0;

а) u(r, θ) = αr cos θ +

β r3

sin 3θ + c; c = const;

б) решения нет;

cos nθ

∞

в) u(r, θ) =

∑

+ c; c = const;

n=1

Rn−1

г) решения нет.

∞

4.32. u(r, θ) =

∑

(

) (fk cos kθ + f˜k sin kθ),

+ k=1

fk и f˜k те же, что и в задании 4.30;

а) u(r, θ) =

cos θ + β (

)

sin 2θ;

б) u(r, θ) =

(

)

cos 2θ;

∞

R n sin nθ

в) u(r, θ) =

∑

(

)

+ n=1

284		Ответы к задачам
∞	Rk+1
∑k		r−k(fk cos kφ + f˜k sin kφ), C = const,
4.33. u(r, φ) = C −	k	r−k(fk cos kφ + f˜k sin kφ), C = const,
=1

fk и f˜k те же, что и в задании 4.30. Условие разрешимости то же, что и в задаче 4.31.

а) u(r, θ) = −α

sin θ −

β R3

cos 2θ + C, C = const;

б) решения нет;

∞

Rn+1

∑

в) u(r, θ) = − n=1

n!rn

cos nθ + C, C = const;

г, д) решения нет.

∞

4.34. u(r, θ) =

∑k

2 ln r+ 2 +

{(akrk +bkr−k) cos kθ+(ckrk +dkr−k) sin kθ},

R−k

f R−k

g Rk

a0 =

0 −

ak =

−

bk =

− k 0

∆k

f0 ln R − g0 ln R0

b0 = ln R ,

	g˜ R−k	−	f˜ R−k			f˜ Rk	−	g˜ Rk
ck =	k 0		k	,	dk =	k		k 0	,
								k 0
		∆k					∆k
		∆k					∆k

∆k = RkR0−k − R0kR−k,

fk и f˜k те же, что и в задаче 4.30, gk и g˜k определяются аналогично.

4.35. Искомая функция u(r, φ) определяется той же формулой, что и в задаче 4.34, коэффициенты ak, bk, ck, dk определяются формулами

a0 = f0R0

a0 = g0R,

b0 const,

(g R−k−1

−

R−k−1)

−

Rk−1

−

f Rk−1)

ak =

k 0

bk =

k∆k

RR (˜g

R−k−1

−

f˜ R−k−1)

−

RR (˜g

rk−1

−

f Rk−1)

ck =

0 k

dk =

k∆k

∆k, fk, gk, f˜k, g˜k те же, что и в задаче 4.34.

Условие разрешимости f0R0 = g0R, оно равносильно равенству

Ответы к задачам главы IV

285

w2π

(R0f(θ) − Rg(θ)) dθ = 0.

4.36. u(r, θ) =		g0	+	f0	R1 ln	r	+

	2		2			R
∞	(f R−k + kR−k−1g )rk + (kRk−1g Rkf )r−k
∑k			0		k		0	k −	k
+	k									cos kθ +
			k(R0k−1R−k				+ RkR0−k−1)
=1

∞	(f˜ R−k + kR−k−1g˜ )rk + (kRk−1g˜								Rkf˜ )r−k
∑k			0		k		0	k −	k
+	k									sin kθ,
			k(R0k−1R−k				+ RkR0−k−1)
=1

где fk, f˜k, gk, g˜k имеют те же значения, что и в задаче 4.34.

R02q

4.37. а) u(r, θ) = Q +

(r −

)cos θ +

R02 + R2

R2T

R02

(

)sin 2θ;

R02 + R2

R02

+ R

б) u(r, θ) = T + R0RU0

cos θ.

+ R2

∞

4.38. u(r, φ) = k=1 ck sh λkφ sin

(λk ln R1 ),

∑

(

ln(Rw2/R1)

)

ck =

f(r)

sin

kπ

dr,

λk =

kπ

, ℓ = ln

ℓ sh λkω

ℓ

Указание. Ввести новую неизвестную функцию v(s, φ), положив

v(s, φ) = u(esR, φ), s = ln

, r = esR1.

Функция v(s, φ) удовлетворяет уравнению

∂2v

= 0. Если

∂φ2

∂s2

v(s, φ) = X(s)Y (φ),

то для X(s) получится краевая задача

X′′(s) + λ2X(s) = 0,

X(0) = X(ℓ) = 0,

286 Ответы к задачам

где ℓ = ln(R2/R1). Решив эту краевую задачу и уравнение, определяющее

∞

функцию Yk(φ), строим vk(s, φ), а затем и v(s, t) = vk. Возвращаясь

к переменной r получим ответ.

k=1

∑

∞

kπ

kπφ

4.39. u(r, φ) = k=1 ck sh

(ln

− ln

)sin

ω ∑

ck =

w F (φ) sin

kπ

φ dφ.

ω sh

kπ

ω 0

		Aω	∞	1)k 1			r kπ
4.40. u(r, φ) =	2		∑	(−	−	(		) ω
4.40. u(r, φ) =		π	k=1	k		(	R	) ω

sin kωπφ.

	u(r, φ) = u		+	4(u2 − u1)	∞		r		2kω+1 π sin 2kω+1 πφ
4.41.		1			∑	(		)			.
4.41.		1		π	k=0	(	R	)		2k + 1	.

Указание. Так как граничные условия при φ = 0 и φ = ω ненулевые, но не зависят от r, то решение можно искать в виде

u(r, φ) = v(r, φ) + w(φ),

где функция w(φ) удовлетворяет уравнению ∆u = 0 и граничным условиям w(0) = U1, w(ω) = U2.


4.42. u = r2 − R2		= x2 + y2 − R2 (см. указание к решению задачи 4.17
и ввести полярные координаты).
	r2 sin 2θ		xy
4.43. u =		(r2 − R2) =		(x2 + y2 − R2) (см. указание к решению
4.43. u =	24	(r2 − R2) =	12	(x2 + y2 − R2) (см. указание к решению
задачи 4.17; ввести полярные координаты).
4.44. u(r, φ) = ((a4 + b4)r4 − (a6 + 2b6)r2 − (a2 − 2b2)					a4b4	)	cos 2φ
								.
					r2		a4 + b4	.
Указание. Ввести полярные координаты.

4.45. u = r2(r2 − R2) cos 2φ = (x2 + y2 − R2)(x2 − y2).

Указание. Ввести полярные координаты, решение отыскивать в виде u = (Ar4 + Br3 + Cr2 + Dr + E) cos 2φ.

Ответы к задачам главы V

287

4.46. u = r4 − R4.

Указание. Ввести полярные координаты, решение отыскивать в виде u = Ar4 + Br3 + Cr2 + Dr + E.

4.47. u = 241 (r2 − 2R2)r2 sin 2φ + c = 121 (x2 + y2 − 2R2)xy + C,

C — произвольная постоянная.

Указание. Ввести полярные координаты.

4.48.

(r5

rR4) sin

(r5

R2r3) sin 3φ + α

r 2

u =

φ +

cos 2φ =

−

(

2 )

)

3(x

+ y

(x2 − y2) + y(x2 + y2

− R2) (

(x2 + y2 + R2) +

−

u = α + r3 − rR2 (A cos φ + B sin φ) = α + Ax + By(x2

+ y2

R2)

4.49.

−

4.50.

(rR4 − r5) sin

(r5 − R2r3) sin 3φ +

u =

φ +

∞

+ k=1 (

)

(fk cos kφ + f˜k sin kφ),

∑2π

2π

где fk =

w f(θ) cos kθ dθ, f˜k =

w f(θ) sin θ dθ.

()

4.51. u =	1			1					5					sin 3φ + C,
			(r5 − 5R4r) sin φ +				r5		−		R2r3
	12			8						3
C — произвольная постоянная.
	4												5
4.52. u =		(5R4r − r5) sin φ + αr cos φ + (r5 −													R2r3)sin 3φ + C,
	3													3
C — произвольная постоянная.
4.53. u =	1	(r5 − rR4) sin φ + α		(		r	)	2	sin 2φ +			3	(r5 − R2r3) sin 3φ.

	4				R							8

(x−ξ)2 e−4a2(t−τ)

f(ξ, τ) √

4a2t

(x+ξ)2 )

t − τ

0x−a(t−τ)

5.2.u(x, t) = 12(f(x − at) + f(x + at)) + 21a xw+atF (z) dz.

x−at

x+at

5.3. u(x, t) =

f(x + at) + f(|x − at|) sign(x − at)

F (z) dz.

x−at

0 < t < x/a,

5.4. u(x, t) = { (t − x/a)2 ,

t > x/a.

5.5. u(x, t) =

f(x + at) + f(|x − at|)

|x−at|

x+at

F (z) dz

sign(x

at)

F (z) dz .

2a(

−

)

∞

5.6. u(x, t) =

dτ w

2a√π

−∞

∞

(x−ξ)2

5.7. u(x, t) =

e−

−

e−

4a2t

2a√πt 0

(

e−

4a2(t−τ)

5.8. u(x, t) =

√

µ(τ) dτ.

3/2

2a π

(t − τ)

∞

5.9. u(x, t) =

dτ w f(ξ, τ)

2a√π

√

t − τ

dξ.

f(ξ) dξ.

( )

(x−ξ)2 (x+ξ)2

e−4a2(t−τ) − e−4a2(t−τ) dξ.

Ответы к задачам главы V

289

∞

(x ξ)2

(x+ξ)2

−

5.10.

u(x, t) =

2a√

w dτ w f(ξ, τ)

√

(e−4a2(t−τ) + e−4a2(t−τ)

−

∞ ∞

5.11.

u(x, t) =

−

w (w f(y) sin λy dy)e−λx sin λ dλ.

5.12.u(x, y) = x + y cos x − sin x + 12x sin x.

5.13.u(x, t) = t cos x + 12x sin x + wx f(x − s) sin s ds.

5.14.u(x, y) = Ae−2y cos √3x − B2 x sin x.

5.15.u(x, t) = 15 cos x − 35 sin x − 15e−x cos x + 25e−x sin x.

5.16.u(x, t) = 12 cos x − 12 ch x.

5.17.u(x, t) = −12x sin x + cos x.

5.18.u(x, t) = 12 sin x + x2 cos x.

5.19.u(x, t) = cos 2x − 14x sin 2x.

5.20.u(x, t) = t ch 2x + 14x sh 2x − 18 ch 2x + 18 cos 2x.

5.21.u(x, t) = t ch x.

5.22.u(x, t) = t sh 2x.

5.23.u(x, t) = t ch 2x.

5.24.u(x, t) = cos 2x − 18 sh 2x + 18 sin 2x.

)

dξ.

290 Ответы к задачам

∑

Ответы к задачам главы VI

aµ t

(

µkr

)

∞

6.1. u(r, t) = k=1 (Ak cos

+ Bk sin

)J0

µ ρ

Ak =

ρφ(ρ)J0

dρ,

R )

J1 (µk) 0

(

Bk =

wR ρψ(ρ)J0

µkρ

dρ,

( R

aRµkJ1 (µk) 0

)

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

u0R

∞ J1(µk/2)

aµkt

µkr

6.2. u(r, t) =

∑

· sin

· J0

(

k=1

µk2J12(µk)

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

()

	2v0h	∞	J1	µkh		aµk			µkr
				R
6.3. u(r, t) =		∑			· sin		t · J0	(		),
	a	k=1	µk2J12(µk)			R			R

где µk — положительные корни уравнения J0(µk) = 0.

	2Ru0	∞	1		aµkt			µkr
6.4. u(r, t) =		∑		· sin		· J0	(		),
6.4. u(r, t) =	a	k=1	µk2J1(µk)	· sin	R	· J0	(	R	),

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

∞

µkr

6.5. u(r, t) =

e−ht cos qkt +

w ρφ(ρ)J0

sin qkt

k=1

(

)

J1((µk))

∑

qk = √

a2µ2

− h2,

a k

> h, k,

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

(µkr)dρ,

6.6. u(x, t) =

∞

(µ2k µ

) cos aµkt wℓ f(x)J0

µk

x dx,

x/ℓ

∑

J1 (√k)

2√

( √

)

ℓ k=1

ℓ

где µk — положительные корни уравнения J0(µ) = 0.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]