Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Сформулируем основные краевые (гармонические) задачи для уравнения Лапласа в области B с границей ∂B.

Первая краевая задача (задача Дирихле). Найти функцию u,

¯

гармоническую в области B, непрерывную в замкнутой области B и принимающую на границе области ∂B заданное значение, т. е. удовлетворяющую условию

где ψ — заданная на ∂B непрерывная функция.

Вторая краевая задача (задача Неймана). Найти функцию u, гар-

¯

моническую в области B, непрерывную в замкнутой области B вместе с частными первыми производными по переменным x, y, z в пространственном случае (по x, y в плоском случае), такую что ее производная по направлению внешней нормали к гладкому контуру ∂B принимает заданное значение, т. е. удовлетворяющую условию

∂u

∂n ∂B= ψ,

где ψ — заданная на ∂B непрерывная функция.

Третья краевая задача. Найти функцию u, гармоническую в области B, непрерывную вместе с первыми производными по переменным x, y, z (x, y — в плоском случае), удовлетворяющую на границе области ∂B

Смешанная краевая задача. Смешанной краевой задачей называют задачу об отыскании гармонической функции по краевому условию различных типов на различных частях контура. Примером может служить задача об отыскании гармонической функции, непрерывной вместе с пер-

¯

выми частными производными в замкнутой области B, если на одной части контура ∂B задается условие задачи Дирихле, а на другой — условие задачи Неймана.

Если область B ограниченная, то задачу назовем внутренней, а если B содержит бесконечно удаленную точку, то внешней. Далее внутренние

132 Глава IV. Уравнения эллиптического типа

задачи будут ставиться для областей, ограниченных замкнутой поверхностью (замкнутой кривой в случае плоскости), а внешние — для внешности замкнутой поверхности (замкнутой кривой в плоском случае).

Функции, определенные в бесконечной области B−, гармонические в любой конечной ее части и удовлетворяющие условию (1.1), называются гармоническими функциями, регулярными на бесконечности. Известно, что

вклассе гармонических функций, регулярных на бесконечности, внешняя задача Дирихле не может иметь более одного решения. Внутренняя задача Дирихле, если она разрешима, имеет единственное решение.

Все сказанное выше о постановке краевых задач для уравнения Лапласа относится и к задачам для уравнения Пуассона.

Необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана как

впространственном, так и в плоском случае является равенство нулю ин-

теграла от граничной функции ψ: w

ψ dσ = 0 (dσ — элемент поверхности ∂B),

Если задача разрешима, то решение содержит произвольное постоянное слагаемое.

Второе из условий (1.2) является достаточным для разрешимости внешней задачи Неймана в плоском случае. Однако первое из условий (1.2) не является достаточным для разрешимости внешней задачи Неймана.

§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике

При решении приведенных ниже задач для прямоугольных областей приходится находить общее решение уравнения

Это решение в общем курсе дифференциальных уравнений записывается равенством

вая, что функции X1(x) = ch µx, X2(x) = sh µx также образуют фундаментальную систему уравнения (2.1). Если при этом рассматриваются краевые задачи на отрезке [0, ℓ], то общее решение (2.1) удобнее представить в виде

В связи с этим приведем некоторые тождества для гиперболических функций, которые могут пригодиться при преобразовании полученных выражений:

sh 2α = 2 sh α ch α,

ch α ch β sh α sh β = ch(α β), ch 0 = 1, sh 0 = 0.

В данном разделе приводятся примеры решения краевых задач для

∂2u ∂2u

уравнения Лапласа ∂x2 + ∂y2 = 0 (сокращено ∆u = 0) в прямоуголь-

ной области, как правило заданной неравенствами 0 < x < a, 0 < y < b. Рассматриваются задачи Дирихле, Неймана и смешанные задачи. Повсеместно применяется метод разделения переменных (метод Фурье). Получить решение хотя бы задачи Дирихле другим методом (например, через функцию Грина [8]), на наш взгляд, неэффективно. Приведем характерный пример.

Пример 2.1. Тонкая однородная прямоугольная пластина с теплоизолированными поверхностями занимает область 0 < x < a, 0 < y < b. Найти

стационарное распределение температуры в пластине, если две непараллельные ее боковые стороны поддерживаются при нулевой температуре, а на двух других задан определенный температурный режим, независимый от времени.

Решение. Для простоты будем считать, что искомая температура u(x, y) равна нулю на сторонах, лежащих на осях координат, и согласно постановке задачи Дирихле непрерывна на всей границе. Запишем задачу на языке формул.

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее условиям

u(x, 0) = 0, u(0, y) = 0, u(x, b) = f(x), u(a, y) = F (y);

f(x), F (y) непрерывны соответственно на [0, a], [0, b] и

f(0) = f(a) = F (0) = F (b) = 0.

Непосредственно метод Фурье неприменим. Разделим задачу на две простые, положив u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y).

Слагаемое u1(x, y) удовлетворяет (2.4) и условиям

Ищем нетривиальное решение уравнения ∆u1 = 0, удовлетворяющее условиям (2.5), в виде u1(x, y) = X(x)Y (y). Разделяя переменные, получаем тождественное равенство

X′′(x) + Y ′′(y) ≡ 0.

X(x) Y (y)

Чтобы оно выполнялось, каждая из дробей должна равняться постоянной, причем эти постоянные либо равны нулю, либо имеют разные знаки, но совпадают по модулю. Имея в виду краевые условия (2.5), которые выполняются при X(0) = X(a) = 0, отношение X′′/X следует считать

отрицательным, равным для простоты −λ2. Для X(x) получаем дифференциальное уравнение X′′+λ2X = 0 при X(0) = X(a) = 0. Такая краевая задача разрешима при λ2 > 0 и была решена в примере 1.1, глава II. Имеем

Для Y (y) получаем уравнение

Y ′′(y) − (πk)2 Y (y) = 0. a

Так как область изменения переменной y конечная, то его общее решение согласно формуле (2.2) запишем в виде

Предполагая, что ряд (2.7) сходится равномерно в данном прямоугольнике, найдем значения ak, bk из расчета удовлетворить условиям (2.6). При y = 0

136 Глава IV. Уравнения эллиптического типа

Функция u2(x, y) удовлетворяет условиям

∆u2 = 0, u2(x, 0) = u2(x, b) = 0, u2(0, y) = 0, u2(a, y) = F (x).

Таким образом, сумма u1(x, y) + u2(x, y) удовлетворяет всем требованиям на u(x, y). Функция u2(x, y) находится аналогично:

При этом из равенств u2(0, y) = 0, u2(a, y) = F (y) следует, что ck = 0, а

где bk и dk находятся по формулам (2.8), (2.9).

Краевую задачу u ∂B= 0 для уравнения Пуассона

где B — прямоугольник, а f(x, y) — непрерывная в этой области функция, решают в два этапа. Записав

u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),

подбирают v(x, y) как частное решение (2.10) в простом варианте, w(x, y) решает задачу Дирихле для уравнения ∆w = 0 с краевым условием

w ∂B= −v(p), p ∂B.

Пусть B — прямоугольник: 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b. Если f(x, y) зависит от одной переменной, скажем x, то можно считать v = v(x), и тогда из (2.10) v′′(x) = f(x). Две постоянные интегрирования можно подобрать так, чтобы v(a) = v(b) = 0. Рассмотрим пример.

Пример 2.2. Найти решение уравнения ∆u = 6x, равное нулю на границе прямоугольника 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b.

Решение. Представляем u = v(x) + w(x, y). Имеем

v′′(x) = 6x, v(0) = v(a) = 0.

После интегрирования v(x) = x3 +C1x+C2, далее C2 = 0, так как v(0) = 0, v(a) = a3 + aC1 = 0, C1 = −a2 и, наконец, v(x) = x3 − a2x.

Для w(x, y) получаем следующую задачу. В прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b найти решение уравнения ∆w = 0, удовлетворяющее условиям

w(0, y) = w(a, y) = 0,

w(x, 0) = w(x, b) = −v(x) = a2x − x3.

Как видим, w(x, y) практически совпадает с функцией u1(x, y) из примера 2.1, и формальное решение задачи для w(x, y) записывается рядом (2.7)

n=1

При решении задачи для круга 0 6 r < R появляется дополнительное, как бы краевое условие при r = 0, поскольку точка r = 0 является особой для уравнения (3.1). Достаточно потребовать ограниченности функции u(r, φ) в начале координат:

С учетом (3.4) формальное решение (3.3) для внутренности круга представится равенством

Коэффициенты b0, cn и dn положили равными нулю.

При решении внешних задач (в области r > R) требуется ограниченность функции u(r, φ) на бесконечности, см. условия (1.1). Теперь полу-

чаем

u(r, φ) = a20 + ∑∞ r−n(cn cos nφ + dn sin nφ). (3.6)

n=1

В формулах (3.3), (3.5), (3.6) an, bn (n = 0, 1, . . . ), cn, dn (n N) — неизвестные коэффициенты, определяемые при выполнении заданных краевых условиях. Вывод представлений (3.5), (3.6) см. в [11, гл. IV, § 3].

Краевые задачи в круге и кольце с центрами в начале координат для уравнения Пуассона

несложным приемом сводят к соответствующим задачам для гармонических функций. Искомую функцию u(x, y) (или в полярных координатах u(r, φ)) записывают в виде суммы двух функций:

u(x, y) = v(x, y) + w(x, y)

140 Глава IV. Уравнения эллиптического типа

или

u(r, φ) = v(r, φ) + w(r, φ).

В качестве v(x, y) берут какое-то удобное частное решение уравнения (3.7). Слагаемое w(x, y) будет частным решением уравнения Лапласа с аналогичными краевыми условиями.

Для определения функции v можно предложить два варианта. Если f(x, y) — простая функция, полином порядка n, еще лучше однородный, то v(x, y) можно искать в виде полинома порядка n+2 с неизвестными коэффициентами (для однородной f(x, y) полином v(x, y) лучше записать однородным). Подставляя v(x, y) в (3.7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых мономах xkym, обнаруживаем большое число свободных неизвестных. Этой свободой следует воспользоваться для придания v(x, y) удобного вида, а именно максимально простого представления в полярных координатах, что упростит дальнейшее нахождение w(x, y), точнее w(r, φ).

обращающееся в нуль на границе.

Решение. Полагаем u(x, y) = v(x, y)+w(x, y). Слагаемое v(x, y) ищем в виде v = Ax3 + Bx2y + Cxy2 + Dy3. Удобная запись в полярных координатах будет при условии A = B = C = D. Теперь

∆v = A(6x + 2y + 2x + 6y) = 8A(x + y).

Уравнение (3.8) сведется к равенству

8A(x + y) = x + y,

откуда A = 1/8.

Функция w(r, φ), являясь решением (3.1), будет удовлетворять при r = 1