Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

∂v(x)/∂t.

В результате для w(x, y) сформулирована задача, рассмотренная в § 2, пример 2.1, но с другим начальным отклонением. Можно сразу записать

Осталось удовлетворить начальным условиям. Из равенства (5.9) следует, что все bk = 0. Коэффициенты ak в силу (5.8) запишутся интегралом

ak = g 2 wℓ (x2 − 2xℓ) sin 2πℓ(2k + 1)x dx.

0

Интеграл берется по частям, не разбивая его на сумму интегралов, используя тем самым свойства разлагаемой функции — удовлетворение краевым условиям. Приведем готовый результат:

72 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

5.2. Неоднородные задачи со специальными неоднородностями

Рассмотрим неоднородные начально-краевые задачи, неоднородность которых имеет следующие представления. Свободный член уравнения

g(x, t) = x(t)φ(x)

и неоднородные части в краевых условиях записаны, например, в виде u(0, t) = y(t), u(ℓ, t) = z(t), причем x(t), y(t) и z(t) являются частными решениями уравнения

Y ′′(t) = µY (t), µ ≠ 0,

т. е. функциями: eαt, sin βt, cos βt.

Помимо метода решения общей неоднородной задачи, рассмотренного ниже, можно предложить, на наш взгляд, более простой вариант.

Пример 5.2 ([10, № 102]). Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закрепленной на конце x = 0 и подверженной на конце x = ℓ действию возмущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное

A sin ωt.

Решение. По умолчанию предполагается, что начальные смещение и скорость равны нулю. Кроме того, считается, что частота ω не совпадает ни с одной собственной частотой струны:

что означает отсутствие резонанса. Переведем задачу на язык формул. Требуется найти решение уравнения

Итак, ищем только вынужденные колебания струны. Краевое условие (5.12) удовлетворяет соотношению Y ′′(t) = −ω2Y (t) и является специальным. Это позволяет найти частное решение (5.10), удовлетворяющее граничным условиям, сохранив тем самым однородность исходного уравнения. Представим u(x, t) в виде

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t).

Здесь v(x, t) — частное решение (5.10), удовлетворяющее (5.11) и (5.12), а w(x, t) решает стандартную однородную задачу. Функцию v(x, t) запишем следующим способом v(x, t) = φ(x) sin ωt, где φ(x) неизвестный мно-

Для w(x, t) получаем задачу, которую сформулируем подробно. Найти

Таким образом, для w(x, t) получена простейшая начально-краевая задача (см. пример 1.1) и можно сразу записать формальное решение —

В силу (5.18) все ak = 0, коэффициенты bk найдем из тождества

что совпадает с результатом в задачнике [10]. Складывая v(x, t) и w(x, t), записываем ответ:

Несколько слов о резонансе по какой-то частоте ωn = πnaℓ , когда краевое условие (5.12) имеет вид u(ℓ, t) = A sin πnaℓ t. В этом случае задачу можно свести к общему случаю неоднородности (см. раздел 5.3) либо решить приведенным способом, а в тех слагаемых найденного ряда, в которых частота вынужденных возмущений совпадает с собственной, перейти к пределу при ω → ωn, как это разъясняется в ответах к задачам 2.77 и 2.78.

5.3.Вынужденные колебания физических объектов с неоднородностями общего вида

Вкачестве примера рассмотрим вынужденные колебания струны с подвижными концами. На языке уравнений задача формулируется так.

Вобласти 0 < x < ℓ, t > 0 найти решение уравнения

Все функции, входящие в постановку задачи, достаточно гладкие на соответствующих множествах.

На первом этапе избавимся от неоднородности краевых условий. Полагаем

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t).

Подберем v(x, t) так, чтобы она удовлетворяла только равенствам (5.21), (5.22). Это можно сделать бесконечным числом способов. Самый простой и удобный — записать v(x, t) линейной по x функцией:

76 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

где A(t), B(t) — неизвестные коэффициенты, которые подбирают с расчетом удовлетворить неоднородным краевым условиям почти всех рассматриваемых видов. Исключение составляет пара

для которой представление (5.25) не срабатывает и приходится привлекать вторые степени x, а именно:

В рассматриваемом случае для выполнения условий (5.21) и (5.22) v(x, t)

Второй этап. Записываем условия, которым должна удовлетворять w(x, t), чтобы в сумме с v(x, t) решить поставленную задачу. Начнем с урав-

Условие (5.31) выполняется автоматически. Tk(t) пока неизвестные функции, к определению которых мы и приступаем. Предварительно разложим g(x, t) в ряд Фурье:

Подставляя в уравнение (5.20) разложения u(x, t) и g(x, t), получаем

Поскольку ряды по обе стороны равенства должны тождественно совпадать, то и их коэффициенты при одинаковых собственных функциях, в нашем случае при синусах, должны быть равны. В результате имеем урав-

Итак, задача свелась к решению уравнения (5.34) с начальными условиями (5.35), которая легко решается методом вариации постоянных. Запишем сразу ответ:

ℓ wt πka

Tk(t) = πka gk(τ) sin ℓ (t − τ) dτ,

0

что и завершает решение поставленной задачи.

Заметим, что представленный метод применяется и при других краевых условиях, даже в общей схеме Фурье (см. § 3). В последнем случае

краевые условия (3.2) и (3.3), начальные условия (5.32) нулевые. Решение

∑∞

ищется в виде u(x, t) = Tk(t)Xk(x), где Xk(x) — собственные функции

k=1

соответствующей задачи Штурма—Лиувилля, g(x, t) представляется ря-

∑∞

дом g(x, t) = gk(t)Xk(x). Проиллюстрируем замечание на конкретном

k=1

примере.

Пример 5.4. Изучить вынужденные колебания стержня, подверженного действию внешней силы

p(x, t) = h(2xℓ − x2)t2,

h — постоянная, со свободным концом x = ℓ и закрепленным концом x = 0.

Решение. Конец x = 0 стержня закреплен, а сечение x = ℓ мягко закреплено (свободно). Поставленная задача сводится к интегрированию уравнения

где A = h/ρ, ρ — постоянная объемная плотность стержня. Краевые условия такие же, как в примере 2.1:

Собственные функции данной задачи были получены при решении при-

Функцию g(x, t) = A(2xℓ − x2)t2 разлагаем в ряд

g(x, t) = At2 ∑∞ gk sin 2πℓ(2k + 1)x,

k=0

80 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

Подставляя u(x, t) и g(x, t) в уравнение (5.36), получаем тождество

k=0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, в нашем случае при синусах, после небольших упрощений получаем дифференциальные уравнения

которые решаются при условиях Tk(0) = Tk′(0) = 0. Общее решение однородного уравнения запишется так:

Tk0(t) = Ak sin ωkt + Bk cos ωkt.

Частное решение неоднородного уравнения представляем в виде

Tk (t) = Bt2 + Ct + D,

B, C, D — неизвестные числа. Подставляем Tk в (5.38). Имеем