Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы I

211

∂2u ∂2u ∂u

1.45.

ξ = x + y, η = x,

= 0.

∂ξ2

∂η2

∂η

1.46. ξ = x − y, η = x + 3y,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ∂η

4 ∂η

1.47.

ξ = 2y − x, η = y,

∂2u ∂2u ∂u

= 0.

∂ξ2

∂η2

∂η

∂2u

1 ∂u

1.48.

ξ = x + 3y, η = x,

= 0.

∂η2

3 ∂

∂2u

1 ∂u

1.49. ξ = x + 2y, η = 3x + 2y,

−

= 0.

∂ξ∂η

∂η

1.50.

ξ = y − 3x, η = x,

∂2u

∂u

= 0.

∂η2

∂η

∂2u ∂2u

∂u

1.51.

ξ = x + 2y, η = 3x,

(

) = 0.

∂ξ2

∂η2

∂ξ

∂η

1.52.

ξ = 2x − y, η = x,

∂2u

∂u

= 0.

∂η2

∂η

1.53. ξ = x − 5y, η = x − y,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ∂η

4 ∂η

1.54. ξ = x + y, η = x − 2y,

∂2u

∂u

= 0.

+ 2

∂ξ2

∂η2

∂η

∂2u

1 ∂u

1.55.

ξ = 2x + 3y, η = x,

= 0.

∂η2

3 ∂η

∂2u

∂u

1.56. ξ = x + 2y, η = 2x + y,

+ 2

= 0.

∂ξ2

∂η2

∂η

1.57. ξ = x + 3y, η = 2x − y,

∂2u

∂u

= 0.

∂ξ∂η

∂ξ

212

Ответы к задачам

1.58.

ξ = x + y, η = y,

∂2u

∂u

+ cu = 0.

+ (α + β)

∂η2

∂

∂η

1.59.

ξ = x + y, η = 3x − y,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ∂η

∂ξ

1.60.

ξ = x + 3y, η = x + y,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ∂η

2 ∂η

1.61.

ξ = xy,

η =

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

∂2u

1.62.

ξ = ln(x + √x2 + 1), η = ln(y + √y2

+ 1),

= 0.

∂ξ2

∂η2

1.63.

ξ = y + x2, η = y − x2,

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

∂2u

4 ∂u

1.64.

ξ = x3y, η = y,

= 0.

∂η2

3η ∂

1.65.

ξ = x + y2, η = x − y2,

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

∂2u

∂u

1.66.

ξ = x, η = x + ey,

= 0.

∂

ξ∂η

∂η

1.67.

ξ = x + y2, η = x,

∂2u

= 0.

∂η2

∂2u

∂u

1 ∂u

1.68.

ξ = x2 − y2, η = x2,

= 0.

∂ξ2

∂η2

−

η ∂ξ

2η

∂η

∂2u

∂u

1.69.

ξ = x + sin y, η = x,

+ η

= 0.

∂

η2

∂η

1.70. ξ = x + y + cos x, η = x − y − cos x,

∂2u

ξ + η

∂u

cos

(

−

) = 0.

∂ξ∂η

∂η

∂ξ

Ответы к задачам главы I

213

∂2u

1 ∂u

1.71. ξ = x + cos y, η = x,

= 0.

∂ξ∂η

η ∂ξ

∂2u

ξ ∂u

1.72.

ξ = xy3, η = x,

−

= 0.

∂η2

η2

∂ξ

∂2u

2ξ

∂u

1.73.

ξ = x tg

, η

= x,

∂η2

ξ2 +

η2 ∂ξ

∂2u ∂2u

2ξ2

∂u

1.74.

ξ = tg y, η = ln x,

= 0.

∂ξ2

∂η2

1 + ξ2

∂ξ

∂2u

1.75. ξ = x + cos y, η = y,

= 0.

∂η2

1.76. ξ = ey − 2x, η = ey − x,

∂2u

= 0.

∂ξ∂η

∂2u

5 1 ∂u

1.77.

ξ = y2, η = 4x,

= 0.

∂ξ2

∂η2

8 ξ ∂ξ

1.78. ξ = y2 + 2ex, η = y,

∂2u

−

1 ∂u

= 0.

∂η2

η ∂η

1.79.

ξ = y + x2, η = x2,

∂2u

1 ∂u

= 0.

∂ξ2

∂η2

4η ∂ξ

1.80.

ξ = 4x3 − 3y2, η = x,

∂2u

6η2 ∂u

= 0.

∂η2

4η3 − ξ

∂η

1.81.

ξ = 2x + sin y, η = y,

∂2u

= 0.

∂η2

1.82.

ξ = x + 2e−y, η = 2x,

∂2u ∂2u

= 0.

∂ξ2

∂η2

1.83. ξ = x + y + sin x, η = x − y − sin x,

∂2u

ξ + η

∂u

sin

(

−

) = 0.

∂ξ∂η

∂η

∂ξ

214

Ответы к задачам

1.84. ξ = y tg

, η = y,

∂2u

−

2ξ

∂u

= 0.

∂η2

ξ2 + η2

∂ξ

∂2u

∂u

1.85. ξ = y ch x, η = sh x,

(ξ

+ η

) = 0.

∂η2

1 + η2

∂ξ

1.86. ξ = y sin x, η = y,

∂2u

−

2ξ ∂u

= 0.

∂η2

η2 ∂ξ

∂2u

1 ∂u

1.87. ξ = x, η =

y3/2,

= 0, y > 0,

∂ξ2

∂η2

3η ∂

ξ = x

−

(−y)3/2, η = x +

(−y)3/2,

∂2u

∂u

−

(

−

) = 0, y < 0.

∂ξ∂η

6(η

ξ)

∂ξ

∂η

−

1.88. ξ = x, η = 2√

∂2u

∂u

2α − 1

∂u

= 0, y > 0,

∂ξ2

∂η2

∂η

ξ = x

−

2√

η = x + 2√

−

(

−

∂2u

)

= 0

y < 0

α − 1/2 ∂u ∂u

−

∂ξ∂η

−

ξ ∂ξ

∂η

1.89. ξ = x3/2, η = y3/2 (x > 0, y > 0),

ξ = (−x)3/2, η = (−y)3/2 (x < 0, y < 0),

∂2u

∂u

1 ∂u

= 0;

∂ξ2

∂η2

3η ∂η

3ξ ∂ξ

ξ = (−x)3/2 − y3/2, η = (−x)2/3 + y3/2 (x < 0, y > 0), ξ = x3/2 − (−y)3/2, η = x3/2 + (−y)3/2 (x > 0, y < 0),

∂2u		1 1		∂u		∂u
	+		(η		− ξ		) = 0.
∂ξ∂η		3 η2 − ξ2		∂ξ		∂η

1.90.ξ = √x, η = √y (x > 0, y > 0),

√√

ξ =

−x, η = −y (x > 0, y > 0),

∂2u

1 ∂u

−

= 0;

∂ξ2

∂η2

∂ξ

∂η

ξ = √

, η = √y (x < 0, y > 0),

−

x+2y

Ответы к задачам главы I

215

√√

ξ = x, η = −y, (x > 0, y < 0),

∂2u	−	∂2u	−	1 ∂u	−	1 ∂u	= 0.

∂ξ2		∂η2		ξ ∂ξ		η ∂η

1.91.а) u = φ(x − t) + ψ(x);

б) u = φ(x + y) + ψ(2x + y);

в) u = φ(x + 2y) + ψ(x + 2y)ex/2; г) u = φ(4x + y)ex+y/2 + ψ(2x + y);

y−x

д) u = φ(x − y) + ψ(x + 3y)e 4 ; е) u = φ(x + 3y) + ψ(x + 3y)e−x/3;

ж) u = φ(x + 2y) + ψ(3x + 2y)e ; з) u = φ(y − 3x) + ψ(y − 3x)e−x;

и) u = φ(2x − y) + ψ(2x − y)e−x;

x−y

к) u = φ(x − 5y)e− 4 + ψ(x − y); л) u = φ(2x + 3y) + ψ(2x + 3y)e−x/3;

м) u = φ(2x − y) + ψ(x + 3y)ey−2x;

3x−y

н) u = φ(3x − y) + ψ(x + y)e− 2 ;

x+3y

о) u = φ(x + 3y) + ψ(x + y)e− 2 ; п) u = φ(x) + ψ(x + ey)e−x;

р) u = φ(x + cos y)x1 + ψ(x).

1.92. ξ = x + y, η = 5x − y,

	∂2u		1 ∂u
		+					= 0,	u = φ(x + y) + ψ(5x − y)e−(x+y)/6.
	∂ξ∂η		6		∂η
1.93. ξ = y, η = y − cos x,
	∂2u			∂u
		−				= 0,		u = φ(y) + ψ(y − cos x)ey.
	∂ξ∂η			∂η

216				Ответы к задачам
1.94. ξ = xy4, η = y,	∂2u	−	3 ∂u	= 0, u = φ(xy4)y3 + ψ(y).

	∂ξ∂η		η ∂ξ

1.95. ξ = x2 + y, η = x,

∂2u − ∂u = 0, u = φ(x2 + y) + ψ(x2 + y)ex. ∂η2 ∂η

∂2u

1 ∂u

1.96. ξ = xy, η = y,

−

= 0,

u = yφ(xy) + ψ(y).

∂ξ∂η

∂ξ

1.97. ξ = xy2, η = x,

∂2u

−

1 ∂u

= 0,

u = φ(xy2)x + ψ(x).

∂ξ∂η

η ∂ξ

1.98. ξ = x2 + y, η = x,

∂2u

1 ∂u

−

= 0, u = φ(x2 + y)x2 + ψ(x2 + y).

∂η2

∂η

1.99. ξ = x3y, η = x,

∂2u

−

2 ∂u

= 0,

u = φ(x3y)x2 + ψ(x).

∂ξ∂η

η ∂ξ

1.100. ξ = xy, η = y,

∂2u

−

3 ∂u

= 0,

u = φ(xy)y3 + ψ(y).

∂ξ∂η

η ∂ξ

1.101. ξ = y + sin x, η = x,

1.102.	ξ =	y	, η = y,	∂2u
		x		∂ξ∂η


	∂2u					∂u	= 0, u = φ(ξ) + ψ(ξ)e2η.
				− 2
	∂η2					∂η
		1 ∂u						y
−					= 0,		u = φ (		)y + ψ(y).
		η	∂ξ					x

∂2u

1 ∂u

1.103. ξ = xy4, η = x,

= 0,

u =

φ(xy4) + ψ(x).

∂ξ∂η

∂ξ

1.104. ξ = xy, η = y,

∂2u

1 ∂u

= 0, u = φ(xy) ln y + ψ(xy).

∂η2

η ∂η

1.105. ξ = xt, η = t ,

√xt ψ ( t ).

∂ξ∂η − 21ξ ∂η = 0,

u = φ(xt) +

∂2u

∂u

Ответы к задачам главы I

217

∂2u

1 ∂u

1.106.

ξ = xy3, η = y,

−

= 0,

u = φ(xy3)y + ψ(y).

∂ξ∂η

∂ξ

∂2u

1 ∂u

1.107.

ξ = x, η = xy3,

−

= 0,

u = φ(x) + x1/3ψ(xy3).

∂ξ∂η

3ξ

∂η

∂2u

3 ∂u

1.108.

ξ = xy2, η = y,

−

= 0,

u = φ(xy2)y3 + ψ(y).

∂ξ∂η

∂ξ

1.109. ξ = x + y + cos x, η = x − y − cos x,

∂2u

1 ∂u

= 0, u = φ(ξ)e−η/2 + ψ(η).

∂ξ∂η

2 ∂ξ

1.110. ξ = x + y + cos x, η = x − y − cos x,

∂2u = 0, u = φ(ξ) + ψ(η).

∂ξ∂η

1.111. ξ = 2x − y + cos x, η = 2x + y − cos x,

∂2u = 0, u = φ(η) + ψ(ξ).

∂ξ∂η

1.112. ξ = 2x − y + cos x, η = 2x + y − cos x,

∂2u

1 ∂u

= 0, u = φ(η) + ψ(ξ)e−η/4.

∂ξ∂η

4 ∂ξ

∂2u

1 ∂u

1.113.

ξ = x2y, η = xy,

= 0,

u =

φ(x2y) + ψ(xy).

∂ξ∂η η ∂ξ

1.114.

ξ = xy1/4, η = xy3/4,

∂2u

−

2 ∂u

= 0,

u = η2φ(ξ) + ψ(η).

∂ξ∂η

∂ξ

1.115. ξ = x2 + y2, η = x,

∂2u

2 ∂u

η5

−

− η3 = 0,

u = φ(ξ) + ψ(ξ)η3 +

∂η2

∂η

1.116. ξ = x, η = x2 + y,

∂2u

1 ∂u

ξη

+ 1 = 0,

u =

φ(ξ) + ψ(η) −

∂ξ∂η

∂ξ

218

Ответы к задачам

1.117. u =

t2 − xt − t.

1.118. u =

−

e−3 x(x + 3y + 3) +

(16 −

18x + 9y).

1.119. u = e−x/5(−25y + 5x − 110) + 27y − 27x + 110.

1.120. u = e−x/3(−12y − 4x − 54) + 14y − 14x + 54.

1.121. u = ey/4(12x + 3y + 12) − 10x − 5y − 12.

1.122. u = ey/3(6x + 4y + 24) − 3x − 6y − 24.

1.123. u(x, y) =

3f(x + y) + f(x − 3y)

xw+y F (τ) dτ.

x−3y

x+ 3 y

1.124. u(x, y) = 3f(x + y)

−

x +

+ 2

F (τ) dτ.

(

2 )

x+y

1.125. u(x, y) =

2f(x + y) + 5f(x − 52 y)

xw+y F (τ) dτ.

x−5 y

3f(x − y) + 7f(x + 73 y)

x+ 3 y

1.126. u(x, y) =

w7 F (τ) dτ.

x−y

x+ y

1.127. u(x, y) = 3f

x +

+ 6

w 2 F (τ) dτ.

(

−

(

x+ y3

1.128. u =

e−y

φ(x + y) −

φ(x + 3y) +

x+y

x+3y

e− 2

[3φ(z) + 2ψ(z)]ez/2dz.

x+y

Ответы к задачам главы I

219

5 −1 (x+y)

1.129. u = f(x + y) + 6e 6

xw+y

[F (z) − f′(z)]ez/6dz.

1 x−5 y

1.130. u = (x2 − 1)y3 + y. 1.131. u = x4 + 34x3(y4 − 1). 1.132. u = 3y4 + (x2 − 1)y5. 1.133. u = 2y + 1 + y ln x. 1.134. u = 4x3 + x(y8 − 1). 1.135. u = x + 3x2(y5 − 1).

1.136. u = x2 + y4.

√

1.137. u = x2 3 x (y6 − 1). 1.138. u = 3y5 + (x2 − 1)y11. 1.139. u = 4x4 + x8(y2 − 1). 1.140. u = 4y3 + 12y7(x2 − 1).

1.141. u = y2 + y7(x2 − 1). 1.142. u = xy4 + 1.

1.143. u = (x − 1)y5.

∂2u

1.144. ξ = x3y2, η = x, ∂ξ∂η u = x4 14y4 + 2 + 3x2 − 14x4.

1.145.	ξ = x2y3, η = y,	∂2u
		∂ξ∂η

+	2 ∂u	= 0,	u =	φ(ξ)	+ ψ(η),

	η ∂ξ			η2

+ η1 ∂u∂ξ = 0, u = η1 φ(ξ) + ψ(η),

220

Ответы к задачам

u = x2y2 −

yx4/3 + y5 + 3 − y2 +

∂2u

5 ∂u

φ(ξ)

1.146. ξ = x4y3

η = x,

= 0,

u =

+ ψ(η),

η5/3

∂ξ∂η

3η ∂ξ

u =

y5/4 − xy2 + 3x3 + 3x −

∂2u

3 ∂u

φ(ξ)

1.147. ξ = x5y2

η = x,

= 0,

u =

+ ψ(η),

η3

∂ξ∂η

η ∂ξ

u =

xy8/5 +

y6/5 + 3x2 −

x −

∂2u

5 ∂u

φ(ξ)

1.148. ξ = y4x3

η = y,

= 0,

u =

+ ψ(η),

∂ξ∂η

3η ∂ξ

η3

u =

y3x7/2 + 1

−

y3.

∂2u

2 ∂u

φ(ξ)

1.149. ξ = xy3,

η = y,

= 0,

u =

+ ψ(η),

∂ξ∂η

η2

η ∂ξ

u =

x2/3 − xy + 3y2 −

+ y.

∂2u

4 ∂u

φ(ξ)

1.150. ξ = x2y3

η = x,

= 0,

u =

+ ψ(η),

η4/3

∂ξ∂η

3η ∂ξ

u = 2(y2 − 1) +

x2(1 − y5) + 3x2.

∂2u

3 ∂u

1.151. ξ = xy4,

η = y,

−

= 0,

u = η3φ(ξ) + ψ(η),

∂ξ∂η

∂ξ

u = 8y2(1 − x−1/4) + 3y.

1.152. u = x2 + x2t2. t

1.153. u = 1 + 2x2y2.

1.154. u = 5x4y2 − 3x2y3.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]