Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Если x = 0, то следует равенство C1 = 0. Находим производную

X′(x) = C2λ cos λx

и, полагая в последнем равенстве x = ℓ, получаем X′(ℓ) = C2λ cos λℓ = 0. Постоянную C2, которая не будет равняться нулю, полагаем равной единице, λ тоже не равна нулю. Значит, выполняется равенство cos λℓ = 0, тогда

Заметим, что отрицательные значения k не дают существенно новых решений и поэтому полагаем k = 0, 1, . . .

Перейдем к определению сомножителей T (t), которые удовлетворяют

Общее решение этого уравнения обозначим Tk(t) и запишем в виде

здесь ak и bk — некоторые неизвестные коэффициенты. Искомые частные решения уравнения (2.14)

uk(x, t) = Xk(x)Tk(t), k = 0, 1, . . .

Формальное решение представляем в виде ряда

Предполагаем, что ряд (2.19) сходится равномерно в области 0 < x < ℓ, t > 0. Неизвестные коэффициенты найдем из расчета удовлетворить начальным условиям (2.12) и (2.13). Выполнение условия (2.12), равенство

нулю начальных скоростей, означает, что все bk = 0. Для определения ak в равенстве (2.19) положим t = 0 и учтем требование (2.13). Получаем

для любого целого k > 0. Это позволяет считать ряд (2.20) обобщенным рядом Фурье. Коэффициенты его записываются в виде

Внеинтегральный член равен нулю, на нижнем пределе — за счет множителя x, на верхнем — в силу равенства нулю косинусов. Вычисляя оставшийся интеграл, устанавливаем, что

Подставляя пределы интегрирования и учитывая, что sin π2 (2k + 1) = (−1)k,

окончательно получаем

ak = (−1)k 28Qℓ 2 . Eσπ (2k + 1)

Найденные коэффициенты подставляем в соотношение (2.19) и по традиции постоянные множители (не зависящие от k) выносим за знак суммы. Искомое решение равно

§ 3. Общая схема метода Фурье

Учитывая многообразие дифференциальных уравнений и краевых условий, полезно рассмотреть достаточно общую постановку задач, объединенных близкими методами решения.

Пусть в области 0 < x < ℓ, t > 0 требуется найти решение уравнения

где f(x) и F (x) достаточно гладкие на [0, ℓ] функции.

Будем считать, что ρ(x), p(x), p′(x) и q(x) непрерывны на [0, ℓ],

ρ(x) > 0, p(x) > 0, q(x) > 0;

α, β, γ, δ — неотрицательные постоянные и α + β > 0, γ + δ > 0.

Поставленная начально-краевая задача может быть решена методом Фурье. Ищем сначала нетривиальные решения уравнения (3.1) в виде произведения u(x, t) = X(x)T (t), удовлетворяющие краевым условиям (3.2) и (3.3). Подставляя u(x, t) в (3.1), получаем

()

Здесь мы, как и выше, приравняем левую и правую части постоянной −λ, исходя из ранее приведенных рассуждений об условии тождественного равенства двух функций от разных независимых аргументов. Теперь для X(x) имеем уравнение

с неизвестным параметром λ. Для (3.7) ставится краевая задача. Искомое решение X(x) должно удовлетворять условиям

которые получаются подстановкой u = X(x)T (t) в равенства (3.2), (3.3). Поставленная задача называется задачей Штурма—Лиувилля и строго

формулируется следующим образом.

Задача Штурма—Лиувилля. Найти такие значения λ, называемые собственными значениями, при которых существует нетривиальное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее условиям (3.2), (3.3), а также найти эти решения, называемые собственными функциями.

Имеют место следующие основные факты для задачи Штурма—Лиу- вилля.

1.Существует счетное множество собственных значений λ1 < λ2 <

<. . . < λn < . . . , которым соответствуют с точностью до постоянного множителя собственные функции X1(x), X2(x), . . . , Xn(x), . . .

2.Собственные значения неотрицательны, причем λ = 0 является собственным значением тогда и только тогда, когда q(x) ≡ 0 на [0, ℓ]

иα = γ = 0.

3.Собственные функции образуют ортогональную на отрезке [0, ℓ] систему с весом ρ(x), т. е.

4. Теорема Стеклова. Всякая функция f(x), удовлетворяющая граничным условиям (3.8), (3.9) и имеющая непрерывную производную второго порядка, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [0, ℓ] ряд Фурье по собственным функциям Xn(x):

Для каждого собственного значения λn решаем уравнения относительно T (t):

T ′′(t)

T (t) = −λn,

или

T ′′(t) + λnTn(t) = 0, n = 1, 2, . . .

Общие решения этих уравнений имеют вид

√√

Tn(t) = An cos λn t + Bn sin λn t,

где An, Bn — произвольные постоянные. В результате мы получаем счетное множество решений уравнения (3.1) вида

√ √

un(x, t) = Tn(t)Xn(t) = (An cos λn t + Bn sin λn t)Xn(x),

которые удовлетворяют краевым условиям (3.2), (3.3).

Чтобы удовлетворить начальным условиям (3.4), (3.5), составим ряд

n=1

Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетворять уравнению (3.1) и краевым условиям (3.2), (3.3). Для выполнения начальных условий (3.4), (3.5) необходимо

∑∞

Предположим, что функции f(x) и F (x) удовлетворяют условиям теоремы Стеклова, тогда их действительно можно представить в виде рядов (3.11) и (3.12), а коэффициенты An и Bn находятся по формулам

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (3.10), получаем решение нашей задачи.

Изложенный метод переносится на уравнения параболического и эллиптического типов.

§4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением

Вэтом разделе рассматриваются задачи о колебании струны в среде

ссопротивлением, которое либо пропорционально первой степени скорости ∂u/∂t (задачи 2.7, 2.8, 2.9), либо сопротивление пропорционально отклонению u(x, t) (задачи 2.10–2.14). Приведем несложный пример.

68 Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье

Замечание. В ранее рассмотренных примерах коэффициенты при «косинусах с t» (ak) зависели только от начальных отклонений (f(x)), а при «синусах с t» (bk) от начальных скоростей (функции F (x)) и равенство нулю одной из этих функций означало обращение в нуль всей серии коэффициентов. Для приведенной задачи роль коэффициентов при косинусах сохранилась, но уже bk зависят и от начального отклонения, и от начальной скорости, и bk ≠ 0 для всех k, если F (x) ≡ 0.

§5. Неоднородные задачи

Вэтом параграфе мы рассматриваем так называемые неоднородные задачи, т. е. в задачах либо присутствуют внешние силы, либо неоднородные краевые условия (подвижные концы), либо то и другое вместе.

5.1. Стационарная неоднородность

Начально-краевая задача имеет стационарный характер, если неоднородность условий определяется функциями, независимыми от времени t. Другими словами, в этом случае функция g(x, t) в уравнении (1.3) записывается как функция только x, g = g(x), а краевые условия типа (1.11) имеют вид

с постоянными u0 и u1. Предполагается, что хотя бы одно из данных g(x), u0, u1 ненулевое.

Стационарную неоднородную задачу можно без особого труда свести к однородной, представив

u(x, t) = v(x) + w(x, t).

Слагаемое v(x) выбирают так, чтобы оно удовлетворяло неоднородному уравнению и краевым условиям. Для v(x) получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Две произвольные постоянные, входящие в общее решение, определяются однозначно из расчета удовлетворить краевым условиям. Отметим, если краевые условия имеют вид

то указанный метод может потерпеть фиаско. Для такой задачи применяется общий метод (см. п. 5.3). Не вдаваясь в подробности обоснования корректности подобного способа решения, продемонстрируем его на примере.

Пример 5.1. Стержень подвешен вертикально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В момент t = 0 стержень освобождается, оставаясь закрепленным в верхней точке. Найти смещение сечений стержня в любой момент t > 0.

Решение. В рассматриваемой задаче на стержень действует внешняя сила, сила тяжести P , на участке dx равная P = mg = ρσg dx, g — ускорение силы тяжести, ρ — объемная плотность, σ — площадь поперечного сечения. Уравнение продольных колебаний стержня запишется в виде (2.2)

Запишем краевые и начальные условия. Ось абсцисс направим вертикально вниз, начало координат совместим с точкой закрепления стержня. Пусть длина стержня равна ℓ, по условию задачи конец стержня x = ℓ будет свободным. Это позволяет записать краевые условия в виде

Последние соотношения означают, что собственных колебаний стержень не будет иметь и фактически ищутся только вынужденные колебания, вызванные силой тяжести. Свободный член в уравнении (5.2) не зависит от времени, неважно, что и от x тоже. Полагаем u(x, t) = v(x) + w(x, t). Предполагается, что v(x) частное решение уравнения (5.2), удовлетворяющее краевым условиям (5.3) и (5.4), которые перепишутся в виде v(0) = 0 и v′(ℓ) = 0. Подставим v(x) в (5.2) и учтем, что ∂v/∂t ≡ 0. Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение a2v′′(x) + g = 0 или v′′ = −g/a2. Отсюда v′ = −gx/a2 + C1. Далее,

gx2

v(x) = −2a2 + C1x + C2.

Если x = 0, то v(0) = C2 = 0. Подставляя в производную v′ значение x = ℓ, получаем v′(ℓ) = −gℓ/a2 + C1 = 0. Отсюда C1 = gℓ/a2. В итоге

v(x) = 2ga2 (2xℓ − x2).

Для w(x, t) имеем задачу с однородными данными. Полезно записать

еев полном виде.

Вобласти 0 < x < ℓ, t > 0 найти решение уравнения