Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Этот факт легко проверить непосредственной подстановкой J0(x) в уравнение (1.2). Нетрудно показать, что радиус сходимости степенного ряда равен бесконечности и, значит, J0(x) имеет производные любого порядка на (−∞, ∞). Второе частное решение уравнения (1.2), линейно независимое от J0(x), можно получить известным в теории приемом. Оно представ-

ляется в виде w

dx y2(x) = J0(x) xJ02(x).

В точке x = 0 это решение имеет логарифмическую особенность. Однако для построения общего решения уравнения (1.2) привлекают другое частное решение — функцию Неймана, N0(x), которая определяется пределом

N0(x) = lim Jν(x) cos(νπ) − J−ν(x) ν→0 sin(νπ)

и в некотором смысле более удобна, чем y2(x). Функция N0(x) линейно независимая от J0(x) и также неограниченная при x → 0. Общее решение уравнения (1.2) представимо в виде

Перечислим основные свойства функции J0(x):

1.J0(x) — четная функция, определенная на всей оси.

2.Уравнение J0(x) = 0 имеет бесконечное счетное множество вещественных решений и не имеет комплексных. Положительные корни обо-

отрезке [0, ℓ] функций с весом ρ(x) = x, т. е.

если µk ≠ µm.

182Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя

4.Если µk = µm, то

который сходится на всей оси. Заметим, что J1(0) = 0. Функции J0(x) и J1(x) связаны формулами дифференцирования

При вычислении интегралов от бесселевых функций полезно тождество wℓ

гие системы, порожденные поставленными краевыми задачами. Основные условия таковы (см., например, задачи 6.8, 6.9 и др.):

I. |Jν(0)| < ∞, Jν(ℓ) = 0.

Для более полного ознакомления с приведенными без доказательств фактами отсылаем читателя к учебникам [3, 6, 11].

1.1.Радиальные колебания круглой мембраны

Вкачестве примера приведем решение задачи № 113 [10].

Пример 1.1. Найти собственные колебания однородной круглой мембраны радиуса R, закрепленной по краям, если в начальный момент она представляет поверхность параболоида, а начальные скорости равны нулю.

Решение. Считаем, что мембрана занимает некоторую область D плоскости xOy с границей L, в задаче это круг радиуса R с центром в начале

184 Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя

координат. Неизвестная функция u = u(x, y, t) является отклонением точки D с координатами x, y в момент времени t. Проблема сводится к интегрированию следующего уравнения:

По условию задачи функция F (x, y) ≡ 0. Определим начальное отклонение. В декартовых координатах начальные отклонения мембраны запишутся так: u(x, y, 0) = A(x2 + y2) + B, A и B — неизвестные постоянные. Одно условие на эти неизвестные — равенство нулю функции u на границе круга, окружности x2 + y2 = R2. Имеем AR2 + B = 0. Второе ограничение получим, положив значение u в точке O(0, 0) в момент t = 0 равным h. Это дает равенство B = h. В итоге

u(x, y, 0) = Rh2 (R2 − x2 − y2) = Rh2 (R2 − r2).

Перейдем в уравнении (1.10) к полярным координатам, полагая x = r cos φ, y = r sin φ. Это известная задача (см., в частности, пример № 3484 [7]). В результате замены уравнение (1.10) запишется в виде

Начальные и краевые условия решаемой задачи позволяют судить, что искомая функция не будет зависеть от переменной φ. Такие колебания

∂2u

мембраны называют радиальными. В этом случае ∂φ2 = 0. Кроме того, точка r = 0 является особой и требуется дополнительное краевое условие, естественно предположить ограниченность u = u(r, t) при r = 0.

Поставленная задача решается методом Фурье. Ищем частные решения уравнения (1.15), удовлетворяющие условиям (1.16) и (1.17), в виде произведения u(r, t) = X(r)T (t). Подставляя искомую функцию в (1.15),

получаем

X(r)T ′′(t) = a2(X′′(r) + X′(r)/r)T (t).

Данная задача разрешима только для отрицательных µ, для простоты µ = −λ2. Для X(r) получаем уравнение X′′ + X/r = −λ2X. Умножим его на r2, теперь r2X′′ + rX′ + λ2r2X = 0, или

Равенство (1.20) отличается от уравнения (1.2) наличием параметра λ. Сделаем замену: x = λr, r = x/λ. Имеем Xr′ = Xx′ /rx′ = λXx′ . Отсюда

rXr′ = xXx′ . Далее, r(rXr′)′r = x(xXx′ )′x. Теперь (1.20) запишется так:

x(xXx′ )′x + x2X(x) = 0.

Получено уравнение Бесселя нулевого порядка, общее решение которого

вычислим интегрированием по частям, предлагая описанную ниже технику. Сначала сделаем замену в интеграле µkr/R = x, с тем чтобы без хлопот воспользоваться формулами (1.5) и (1.6). Имеем r = xR/µk, dr = = (R/µk) dx, пределы для x: 0 6 x 6 µk. Теперь

Интегрируем по частям, полагая u = µ2k−x2, dv = xJ0(x) dx = (xJ1(x))′ dx. В последнем преобразовании мы воспользовались равенством (1.6). Далее,

следует из свойств разлагаемой функции. В интеграле заменим J1(x) на −J0′(x), воспользовавшись равенством (1.5):

ле по причине того, что µk — корень уравнения J0(x) = 0. Далее, снова применяем равенство (1.6) и завершаем вычисления:

Заметим, что при вычислении Ik можно было сразу воспользоваться равенствами (1.7) и (1.8), но мы хотели показать технику работы с функциями Бесселя и идею получения равенства (1.8).

188 Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя

1.2. Задача о малых колебаниях тяжелой нити

Рассмотрим еще один пример применения бесселевых функций — интегрирование уравнения малых колебаний тяжелой нити. Полагаем, что данная нить однородна, имеет линейную постоянную плотность, равную ρ, практически нерастяжима и легко изгибаема. Реализуется, например, в виде тонкой цепочки. Пусть в положении равновесия нить расположена вертикально и закреплена в верхней точке. Направим ось абсцисс вертикально вверх, нить закреплена в точке x = ℓ, а x = 0 — ее конец (не закрепленный). Пусть она выведена из положения равновесия, u(x, t) — отклонение точки x от вертикали в момент времени t. Предполагая малыми u(x, t)

Здесь a2 = g, g — ускорение силы тяжести. Уравнение (1.25) решается при начальных условиях

f(x) и F (x) — достаточно гладкие функции.

Краевое условие для x = ℓ сразу определяется постановкой задачи: нить закреплена, а значит,

В точке x = 0 мы не располагаем никакими условиями, кроме естественного требования ограниченности u(x, t), что, оказывается, будет достаточным. Итак,

Приступаем к решению задачи, применяя метод Фурье. Ищем частные решения уравнения (1.25), удовлетворяющие только краевым условиям (1.27) и (1.28), в виде произведения u(x, t) = X(x)T (t). Подставляя это произведение в (1.25) и разделяя переменные, получаем

которое решается при условиях |X(0)| < ∞, X(ℓ) = 0. Равенство (1.30) похоже на уравнение Бесселя (1.20), но показатель аргумента x во втором слагаемом не равен двум. Однако заменой x = ξ2 этот «дефект» можно устранить. Итак, пусть x = ξ2, X(ξ2) = Y (ξ). Теперь

Y (ξ) = C1J0(2λξ) + C2N0(2λξ),

см. равенство (1.21). Требование ограниченности Y (ξ) в нуле будет выпол-

T ′′(t) + λ2ka2T (t) = 0,

Tk(t) = Bk cos λkat + Ck sin λkat,

190 Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя

Bk, Ck — произвольные постоянные. Формальное решение представляем рядом

Здесь положено ak = AkBk, bk = AkCk. Коэффициенты ak, bk неизвестны, но предполагается, что ряд (1.32) сходится равномерно в области 0 6 x 6 ℓ, t > 0. Найдем эти коэффициенты из расчета удовлетворить начальным условиям (1.26). Имеем

По свойствам 3 и 4 функции J0(µk ·ξ/ ℓ) ортогональны на отрезке [0, ℓ] с весом ρ(ξ) = ξ, отсюда

Дифференцируя ряд (1.32) по t (приходится предполагать такую возможность), обычным приемом аналогично получаем