Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

циент теплоемкости, ρ — плотность, k — коэффициент теплопроводности, a2 = k/(cρ).

I 6.33. Найти температуру бесконечного кругового цилиндра, если его начальная температура равна u(r, 0) = u0, а на его поверхности с момента t = 0 извне подается постоянный тепловой поток плотности q.

Указание. Краевое условие задачи имеет вид k∂u(R, t) = q.

∂r

I 6.34. Начальная температура неограниченного кругового цилиндра 0 6 r < R равна u(r, 0) = u0, а на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна u1. Най-

202 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

I 6.38. В круге 0 6 r < ℓ, при t > 0 найти решение уравнения

I 6.39. В круге 0 6 r < ℓ, при t > 0 найти решение уравнения

I 6.40. В начальный момент времени t = 0 температура бесконечной однородной трубы b 6 r 6 d равна u0. Найти распределение температуры

втрубе при t > 0, если:

а) внутренняя поверхность трубы теплоизолирована, а внешняя поддерживается при температуре T ;

б) начиная с момента t = 0 в трубе действуют источники тепла постоянной плотности Q, а ее поверхности поддерживаются при температуре u0.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

при условиях:

а) ∂u(b, t) = 0, u(d, 0) = T , u(r, 0) = u0, g(r, t) ≡ 0; ∂r

I 6.41. В круге 0 6 r < R найти решения следующих задач:

()

()

Задачи для уравнений эллиптического типа, требующие применения функций Бесселя

Раздел был написан профессором В. С. Рогожиным во время подготовки издания [2] и вставлен в данное руководство без изменений.

Рассматриваются краевые задачи для цилиндра ЦhR, ограниченного поверхностями, уравнения которых в цилиндрических координатах r, φ, z имеют вид z = 0, z = h (плоскости оснований цилиндра) и r = R (его боковая поверхность).

I 6.42. Найти гармоническую в цилиндре ЦhR функцию u(r, z), удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

а) u(R, z) = 0, u(r, h) = 0, u(r, 0) = f(r); б) u(R, z) = 0, u(r, h) = g(r), u(r, 0) = 0; в) u(R, z) = F (z), u(z, h) = 0, u(r, 0) = 0;

г) u(R, z) = F (z), u(r, h) = g(r), u(r, 0) = f(r).

I 6.43. Найти гармоническую в цилиндре ЦhR функцию u(r, φ, z), удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

а) u(R, φ, z) = 0, u(r, φ, h) = 0, u(r, φ, 0) = f(r, φ);

204 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

б) u(R, φ, z) = 0, u(r, φ, h) = g(r, φ), u(r, φ, 0) = 0;

I 6.44. Найти гармоническую в цилиндре ЦhR функцию u(r, z), удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

Указать условия разрешимости.

I 6.45. Найти гармоническую в цилиндре ЦhR функцию u(r, φ, z), удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

Указать условия разрешимости

I 6.46. Найти гармоническую в цилиндре ЦhR функцию u(r, φ, z), удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

а) ∂u(R, φ, z) = 0, u(r, φ, h) = 0, u(r, φ, 0) = f(r, φ); ∂r

I 6.47. Найти функцию, гармоническую в полубесконечном цилиндре Ц∞R , удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

а) u(R, φ, z) = 0, u(r, φ, 0) = f(r, φ), u(r, φ, z) ограничена; б) u(R, φ, z) = F (φ, z), u(r, φ, 0) = 0, u(r, φ, z) ограничена;

в) u(R, φ, z) = F (φ, z), u(r, φ, 0) = f(r, φ), u(r, φ, z) ограничена.

I 6.48. Найти функцию, гармоническую в полубесконечном цилиндре Ц∞R , удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:

Указать условия разрешимости этих задач.

I 6.49. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи

∆u + λu = 0,

u ∂B= 0

вслучае, когда B — одна из следующих областей: а) прямоугольник 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b;

б) круг радиуса R с центром в начале координат; в) круговой цилиндр с высотой h.

206 Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя

I 6.50. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи

∆u + λu = 0,

∂u

∂n ∂B= 0

вслучае, когда B — одна из следующих областей: а) прямоугольник 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b;

б) круг радиуса R с центром в начале координат;

в) круговой цилиндр с высотой h.

I 6.51. Показать, что задачу Дирихле в области B для уравнения Пуассона ∆u = g, u ∂B= f можно привести к задаче Дирихле для уравнения Лапласа и к задаче Дирихле для уравнения Пуассона с нулевым граничным условием.

I 6.52. Решить в прямоугольнике T (0 < x < a, 0 < y < b) задачу Дирихле для уравнения Пуассона ∆u = g(x, y), u ∂T = 0.

I 6.53. Решить в круге K радиуса R задачу Дирихле для уравнения Пуассона ∆u = g(r, φ), u ∂K= 0.

Ответы к задачам

Ответы к задачам главы I

1.1. Эллиптический. 1.2. Гиперболический. 1.3. Параболический.

1.4. Эллиптический. 1.5. Гиперболический. 1.6. Гиперболический.

1.7. Параболический. 1.8. Эллиптический. 1.9. Гиперболический.

1.10. Эллиптический. 1.11. Эллиптический. 1.12. Гиперболический.

1.13. ξ = 2y + x, η = x, эллиптический,

1.14. ξ = 3x − 2y, η = 2x + y, гиперболический,

1.15. ξ = 5x + y, η = x, параболический,

1.16. ξ = ex, η = y, эллиптический,

1.17. ξ = x2 − 2ey, η = x, параболический,

1.35. ξ = y − ln(sin x), η = x, параболический,

1.36. ξ = ln(cos y), η = ln sin x, эллиптический,