Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f(τ) cos z(τ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Задачи

151

где k — коэффициент внутренней теплопроводности, при краевых условиях

u(0, y) = 0;	∂u(a, y)	= 0; u(x, 0) = 0;	∂u(x, b)	= 0.
	∂x		∂y

Краевые задачи для гармонических функций в полуполосе

Взаданиях 4.21—4.28 решаются краевые задачи для уравнения Лапласа

вполуполосе 0 < x < a, 0 < y < ∞. Метод Фурье применим только тогда, когда на лучах x = 0, y > 0; x = a, y > 0 задаются однородные гранич-

ные условия. Так как ищутся гармонические функции в неограниченной плоской области, то, естественно, появляется требование ограниченности решения в этой области, см. условия (1.1). Нетривиальные частные решения уравнения ∆u = 0 по-прежнему ищутся в виде u = X(x)Y (y), и если X(x) решает известные по предыдущим примерам краевые задачи, то Y (y) нецелесообразно записывать через гиперболические функции,

неограниченные при y → ∞, а следует представить через экспоненты:

Y (y) = C1eλ1y + C2eλ2y.

Надеемся, что в особенностях задачи 4.29 читатель разберется самостоятельно.

I 4.21. Найти гармоническую в полуполосе 0 < x < a, 0 < y < ∞ функцию u(x, y) по условию

u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = φ(x), φ(a) = φ(0) = 0, u(x, y) ограничена

I 4.22. Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в полуполосе 0<x<a, 0 < y < ∞, удовлетворяющее краевым условиям:

1)u(0, y) = 0; u(x, 0) = A (1 − xa); u(a, y) = 0; u(x, y) ограничена;

2)u(0, y) = 0; u(x, 0) = 13 sin 3πax − 14 sin 4πax; u(a, y) = 0; u(x, y) ограничена;

3) u(0, y) = 0;	u(x, 0) = Ax;
u(a, y) = 0;	u(x, y) ограничена.

152 Глава IV. Уравнения эллиптического типа

I 4.23. Найти гармоническую в полуполосе 0 < x < a, 0 < y < ∞ функцию u(x, y) по условиям:

∂u(0, y)

∂u(a, y)

= 0,

∂u(x, 0)

= φ(x),

φ(0) = φ(a) = 0,

∂x

∂y

∂x

u(x, y) ограничена;

∂u(0, y)

∂u(x, 0)

3πx

4πx

= 0;

= 3 cos

− cos

;

∂x

∂y

∂u(a, y)

= 0;

u(x, y) ограничена;

∂x

∂u(0, y)

∂u(x, 0)

3πx

= 0;

−

cos

;

∂x

∂y

∂u(a, y)

= 0;

u(x, y) ограничена.

∂x

I 4.24. Найти гармоническую в полуполосе 0 < x < a, 0 < y < ∞ функцию по условиям:

1)		∂u(0, y)	=	∂u(a, y)		= 0,	u(x, 0) = φ(x), φ(0) = φ(a) = 0,
1)		∂x	=			= 0,	u(x, 0) = φ(x), φ(0) = φ(a) = 0,
		∂x			∂x
	u(x, y) ограничена;
2)		∂u(0, y)	= 0;		u(x, 0) =		Ax	;
2)		∂x	= 0;		u(x, 0) =			;
		∂x					a
		∂u(a, y)	= 0;		u(x, y) ограничена;
		∂x	= 0;		u(x, y) ограничена;
		∂x
3)		∂u(0, y)	= 0; u(x, 0) = A(a − x);

		∂x
		∂u(a, y)	= 0;		u(x, y) ограничена.
		∂x	= 0;		u(x, y) ограничена.
		∂x

I 4.25. Найти гармоническую в полуполосе 0 < x < a, 0 < y < ∞ функцию по условиям:

1)	u(0, y) =			∂u(a, y)	= 0, u(x, 0) = φ(x), u(x, y) ограничена;
1)	u(0, y) =				= 0, u(x, 0) = φ(x), u(x, y) ограничена;
				∂x
2)	u(0, y) = 0; u(x, 0) = Ax;
		∂u(a, y)	= 0; u(x, y) ограничена;
		∂x	= 0; u(x, y) ограничена;
		∂x

Задачи			153
3) u(0, y) = 0; u(x, 0) = u0;
	∂u(a, y)	= 0;	u(x, y) ограничена;
	∂x

4) u(0, y) = 0; u(x, 0) = 12 sin π2ay − 13 sin 32πax;

∂u(a, y) = 0; u(x, y) ограничена.

∂x

I 4.26. Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в полуполосе 0<x<a, 0 < y < ∞, удовлетворяющее условиям:

1)	∂u(0, y)	= 0; u(x, 0) = f(x),
	∂x

u(a, y) = 0, u(x, y) ограничена;

∂u(0, y)

= 0;

u(x, 0) = A(a − x);

∂x

u(a, y) = 0;

u(x, y) ограничена;

∂u(0, y)

= 0;

3πx

−

5πx

;

u(x, 0) =

cos

∂x

u(a, y) = 0;

u(x, y) ограничена;

∂u(0, y)

= 0;

u(x, 0) = u0;

∂x

u(a, y) = 0; u(x, y) ограничена.

I 4.27. Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в полуполосе 0<x< a, 0 < y < ∞, удовлетворяющее условиям:

∂u(0, y)

= 0;

∂u(x, 0)

= φ(x);

∂x

∂y

u(a, y) = 0;

u(x, y) ограничена;

∂u(0, y)

= 0;

∂u(x, 0)

= 3 cos

3πx

− 5 cos

5πx

;

∂x

∂y

u(a, y) = 0;

u(x, y) ограничена;

u(0, y) = 0;

∂u(x, 0)

= u0x;

∂y

154			Глава IV. Уравнения эллиптического типа
	∂u(a, y)	= 0;	u(x, y) — ограничена.
	∂x	= 0;	u(x, y) — ограничена.
	∂x

I 4.28. Найти гармоническую в полуполосе 0 < x < a, 0 < y < ∞ функцию по условиям:

1)	u(0, y) =			∂u(a, y)			+ hu(a, y) = 0, h > 0, u(x, 0) = φ(x),
1)	u(0, y) =						+ hu(a, y) = 0, h > 0, u(x, 0) = φ(x),
				∂x
	u(x, y) ограничена;
2)	u(0, y) = 0; u(x, 0) = u0;
		∂u(a, y)	+ hu(a, y) = 0,					h > 0;	u(x, y) ограничена;
		∂x	+ hu(a, y) = 0,					h > 0;	u(x, y) ограничена;
		∂x
3)		∂u(0, y)	= 0; u(x, 0) = f(x);
3)		∂x	= 0; u(x, 0) = f(x);
		∂x
		∂u(a, y)	+ hu(a, y) = 0,					h > 0;	u(x, y) ограничена;
		∂x	+ hu(a, y) = 0,					h > 0;	u(x, y) ограничена;
		∂x
4)		∂u(0, y)	= 0;			∂u(x, 0)		= u0;
4)		∂x	= 0;				∂y	= u0;
		∂x					∂y
		∂u(a, y)	+ hu(a, y) = 0,					h > 0;	u(x, y) ограничена;
		∂x	+ hu(a, y) = 0,					h > 0;	u(x, y) ограничена;
		∂x
5)		∂u(0, y)	− hu(0, y) = 0, h > 0; u(x, 0) = f(x);

		∂x
	u(a, y) = 0;				u(x, y) ограничена;
6)		∂u(0, y)	− hu(0, y) = 0, h > 0; u(x, 0) = f(x);

		∂x
		∂u(a, y)	= 0,		h > 0; u(x, y) ограничена.
		∂x	= 0,		h > 0; u(x, y) ограничена.
		∂x

I 4.29. Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в полуполосе B:


1)	B :	0 < x < +∞, 0 < y < b;
	u(0, y) = Ay(b − y),		u(x, 0) = 0;
	u(x, y) ограничена;		u(x, b) = 0;
2)	B :	0 < x < a, −∞ < y < 0;

u(0, y) = 0; u(x, 0) = u0x;

Задачи

155

∂u(a, y)

= 0;

u(x, y) ограничена;

∂x

3) B : −∞ < x < 0, 0 < y < b;

∂u(0, y)

= u0

(b − y);

∂u(x, 0)

= 0;

∂x

∂y

u(x, y) ограничена;

u(x, b) = 0;

4) B : 0 < x < +∞, 0 < y < b;

u(0, y) = cos2

πy

;

∂u(x, 0)

= 0;

∂y

u(x, y) ограничена;

∂u(x, b)

= 0;

∂y

5) B : 0 < x < a, −∞ < y < 0;

∂u(0, y)

= 0,

∂u(x, 0)

3πx

− cos

5πx

;

= 3 cos

∂x

∂y

u(a, y) = 0;

u(x, y) ограничена;

6) B : −∞ < x < 0, 0 < y < b;

∂u(0, y)

πy

3πy

;

∂u(x, 0)

= 0;

= 3 cos

− cos

∂x

∂y

u(x, y) ограничена;

∂u(x, b)

= 0;

∂y

7) B : 0 < x < ∞, 0 < y < b;

∂u(x, 0)

= 0;

∂u(0, y) 1

3πy

− cos

5πy

;

cos

∂y

∂x

∂u(x, b)

= 0;

u(x, y) ограничена.

∂y

Краевые задачи для уравнений Лапласа в круговых областях

I 4.30. Решить задачу Дирихле для круга 0 6 r < R:

∆u = 0, u(R, θ) = f(θ),

156

Глава IV. Уравнения эллиптического типа

а) f(θ) = α sin θ + β cos 2θ;

б) f(θ) = cos2 θ + 2 sin2 θ;

∞

cos nθ

в) f(θ) = 1 +

∑

n=1

I 4.31. Решить задачу Неймана для круга 0 6 r < R:

∆u = 0,

∂u(R, θ)

= f(θ).

∂r

Указать условия разрешимости задачи:

а) f(θ) = α cos θ + β sin 3θ;

б) f(θ) = cos2 θ;

∞

cos nθ

∞

cos nθ

∑

в) f(θ) =

; г) f(θ) =

n=1

n=0

I 4.32. Решить задачу Дирихле для внешности круга r > R:

∆u = 0,

u(R, θ) = f(θ),

u(r, θ) ограничена;

а) f(θ) = α cos θ + β sin 2θ;

б) f(θ) = sin2 θ + 2 cos2 θ;

∞

sin nθ

в) f(θ) =

∑

n=1

I 4.33. Решить задачу Неймана для внешности круга R < r < ∞:

∆u = 0,

∂u(R, θ)

= f(θ),

u(r, θ) ограничена.

∂r

Указать условия разрешимости задачи:

∞

cos nθ

∑

а) f(θ) = α sin θ + β cos 2θ;

б) f(θ) = 1 + cos θ; в) f(θ) =

;

n=1

∞

∞ cos nθ

cos nθ

∑

−

∑

г) f(θ) =

; д) f(θ) =

n=1

1)!

n=0

I 4.34. Решить задачу Дирихле для кольца R0 < r < R:

∆u = 0, u(R0, θ) = f(θ), u(R, θ) = g(θ),

а) u(R0, θ) = 0,

u(R, θ) = A cos θ,

A — const;

б) u(R0, θ) = A,

u(R, θ) = B sin 2θ,

A, B — const.

Исследовать решение в случаях R0 → 0 и R → ∞.

u(r, ω) = f(r), R1 6 r 6 R2.

Задачи				157
I 4.35. Решить задачу Неймана для кольца R0 < r < R:
∆u = 0,	∂u(R0, θ)	= f(θ),	∂u(R, θ)	= g(θ)1.
	∂r		∂r

Указать условия разрешимости.

I 4.36. Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в кольце R1 < r < R2, удовлетворяющее краевым условиям

	∂u(R1, θ)		= f(θ), u(R2, θ) = g(θ).
	∂r

I 4.37. Найти гармоническую в кольце R0 < r < R функцию u(r, θ), удовлетворяющую соответственно краевым условиям:

а)	∂u(R0, θ)	= q cos θ, u(R, θ) = Q + T sin 2θ, q, Q, T — const;
	∂r
			∂u(R, θ)
б) u(R0, θ) = T + U0 cos θ,				= 0, U0, T — const.
			∂r

I 4.38. Решить задачу Дирихле для области, ограниченной лучами, выходящими из начала координат φ = 0 и φ = ω, и дугами окружностей r = R1, r = R2, R2 > R1:

u(R1, φ) = 0, 0 6 φ 6 ω,

∆u = 0, u(R2, φ) = 0, 0 6 φ 6 ω, u(r, 0) = 0, R1 6 r 6 R2,

I 4.39. Решить задачу Дирихле в той же области, что и в задаче 4.38, при краевых условиях

u(R1, φ) = F (φ), u(R2, φ) = 0, u(r, 0) = 0, u(r, ω) = 0.

I 4.40. Найти гармоническую внутри кругового сектора 0 < r < R, 0 < φ < ω функцию u(r, φ), удовлетворяющую краевым условиям

u(r, 0) = 0, u(r, ω) = 0, u(R, φ) = Aφ, 0 6 φ 6 ω, A — const.

I 4.41. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластинке, имеющей форму кругового сектора, граничные радиусы которого поддерживаются при постоянной температуре u1, а дуга окружности — при постоянной температуре u2.

1По условию задачи Неймана на контуре области задается производная искомой функции по направлению внешней нормали n к контуру. В случае кольца ∂u/∂n на большей окружности CR совпадает с ∂u/∂r, а на меньшей, CR0 , ∂u/∂n = −∂u/∂r.

158 Глава IV. Уравнения эллиптического типа

Краевые задачи для уравнений Пуассона в круговых областях

I 4.42. Привести к задаче Дирихле для гармонической функции задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге 0 6 r < R:

∆u = 4, u r=R= g(r, θ).

Решить задачу в случае g(r, θ) = 0.

I 4.43. Привести к задаче Дирихле для гармонической функции задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге 0 6 r < R:

∆u = xy, u r=R= g(x, y).

Решить задачу в случае g(x, y) = 0.

I 4.44. Решить уравнение Пуассона ∆u = 12(x2 − y2) в кольце a < r < b,

если u(a, θ) = 0,	∂u	(b, θ) = 0.
	∂r

Начало координат находится в центре кольца.

I 4.45. Решить уравнение Пуассона ∆u = 12(x2 − y2) в круге 0 6 r < R

с условием u r=R= 0.

) в круге 0 6 r < R

I 4.46. Решить

уравнение Пуассона ∆u = 16(x

+ y

с условием u r=R= 0.

I 4.47. Решить

задачу Неймана для уравнения Пуассона ∆u = xy в круге

x2 + y2 < R2 с условием

∂u

r=R= 0.

∂r

y, удовле-

I 4.48. В круге 0 6 r < R найти решение уравнения ∆u = x

творяющее условию u r=R= α cos 2θ.

I 4.49. В круге 0 6 r < R найти решение уравнения ∆u = Ax + By,

удовлетворяющее условию u r=R= α.

I 4.50. В круге 0 6 r < R найти решение уравнения ∆u = (x

−

)y,

удовлетворяющее условию u r=R= f(θ).

I 4.51. В круге 0 6 r < R найти

решение уравнения

∆u = 8x

y, удовле-

∂u

r=R= 0.

творяющее условию ∂r

Задачи

159

I 4.52. В круге 0 6 r < R найти решение уравнения ∆u = 64(x2

∂u

удовлетворяющее условию ∂r r=R= α cos θ.

I 4.53. В круге 0 6 r < R найти решение уравнения ∆ = 24x2y, творяющее условию u r=R= α sin 2θ, α, A, B — постоянные.

− y2)y,

удовле-

Глава V

Метод интегральных преобразований

Помимо метода Фурье, широкие возможности решений начально-крае- вых задач предоставляет метод интегральных преобразований. Мы остановимся на преобразованиях с бесконечными пределами, когда переменная, по которой ведется преобразование, меняется в пределах от −∞ до +∞ или от нуля до +∞. Более того, ограничимся преобразованием Фурье и связанными с ним синус-преобразованием Фурье и косинус-преобразова- нием Фурье, а также преобразованием Лапласа.

§ 1. Преобразование Фурье и его свойства

Преобразование Фурье, на наш взгляд, самое простое интегральное преобразование, применяемое в математической физике. Остановимся на некоторых предварительных положениях.

Пусть для простоты f(x) непрерывна на (−∞, ∞), имеет ограниченную производную в каждой конечной точке и абсолютно интегрируема на

(−∞, ∞), т. е.

w∞

|f(x)| dx < ∞,

−∞

тогда для f(x) имеет место интегральная формула Фурье [12, с. 529]

−∞ −∞

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]