Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

выражаются через ее производные по новым переменным ξ, η по следующим формулам:

Подробное обоснование описанного метода можно найти, например, в [6].

Замечание 1. При нахождении функций φ1(x, y), φ2(x, y) полезно иметь в виду следующий известный из теории дифференциальных уравнений факт: если φ(x, y) есть интеграл уравнения

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

(уравнения (1.51), (1.52), (1.5) именно таковы), то Φ(φ(x, y)), где Φ(z) — любая дифференцируемая функция, также является интегралом этого уравнения.

Например, если ln(x+y−5) является интегралом указанного уравнения, то функция x + y также является интегралом этого уравнения. В самом деле,

x + y = eln(x+y−5) + 5,

а функция Φ(z) = ez + 5 дифференцируема при любом z.

Замечание 2. Аналогичное рассуждение относится и к уравнениям параболического типа. Так, если φ(x, y) = c общий интеграл уравнения (1.5), то в качестве замены берем

ξ = φ(x, y)

или

ξ = Φ(φ(x, y)),

где Φ(z) такая же, как и выше. Пусть, например, (1.5) записалось в виде

3x dy + y dx = 0.

Разделяя переменные, получим

dyy = −dx3x,

или

ln |y| = −ln |x| + ln c.

3 √ √

Отсюда общий интеграл запишется в виде y 3 x = c. Но замена ξ = y 3 x

√

неудобна. Лучше ξ = (y 3 x)3, или ξ = y3x. При подстановке последней редакции ξ «хлопот» будет поменьше.

Для уравнения эллиптического типа изменять φ1(x, y) и φ2(x, y) нельзя.Максимум допустимого умножить на −1 для удобства (см. пример 1.1).

Рассмотрим некоторые примеры задач.

Пример 1.1. Уравнение

привести к каноническому виду в области x ≠ 0, y ≠ 0.

Решение. Имеем

∆= B2 − AC = x2y2 − 2x2y2 < 0

вуказанной области. Следовательно, в этой области заданное уравнение является эллиптическим. Составляем для него характеристическое урав-

нение:

y2dy2 − 2xy dx dy + 2x2dx2 = 0.

Разрешая его относительно dy, получаем два уравнения:

y dy − (1 + i)x dx = 0 и y dy − (1 − i)x dx = 0.

Найдем интеграл какого-нибудь из этих уравнений (например, первого).

Так как

−y2 + (1 + i)x2 = C

есть общий интеграл этого уравнения, его интегралом является комплексная функция

φ(x, y) = x2 − y2 + ix2.

Как указывалось выше, для приведения заданного уравнения к каноническому виду достаточно произвести замену переменных:

Легко видеть, что условие (1.3) для этих функций выполняется. Производя замену (1.8), мы по формулам (1.6) получаем

Подставив полученные выражения в (1.7) и заменив x и y на ξ и η по формулам (1.8), мы приходим к следующему каноническому уравнению:

§2. Общее решение линейного уравнения второго порядка

вчастных производных

Уравнение (1.1), будучи приведенным к каноническому виду, может иметь простое выражение, а в некоторых случаях и проинтегрировано, другими словами, можно записать общее решение. Под общим решением уравнения с частными производными второго порядка понимаем выражение, содержащее две произвольные, достаточно гладкие, независимые

функции определенных аргументов, которое обращает данное уравнение в тождество.

Заметим, что класс уравнений, для которых можно найти общие решения в явном виде, небогат представителями. Все уравнения эллиптического типа (если решение ищется в действительной области) исключаются. Приведем простейшие примеры интегрирования уравнений гиперболического типа.

Пример 2.1. В каноническом виде уравнение (1.1) записалось в такой форме:

Решение. Здесь u — неизвестная функция от ξ и η. Перепишем равен-

Если u решение уравнения (2.1), а (2.2) понимается как тождество, то равенство нулю производной ∂u/∂η по ξ означает, что последняя не зависит от ξ, а значит, является функцией только η, ∂u/∂η = C(η), C(η) — произвольная функция. Сама u(ξ, η) находится неопределенным интегрированием с произволом в виде некоторого слагаемого, зависящего только от ξ: w

u(ξ, η) = C(η) dη + φ(ξ).

Нет особого смысла записывать решение с интегралом от произвольной функции C(η), но удобно этот интеграл обозначить другой произвольной функцией, например ψ(η). Итак, общее решение (1.1) представилось следующим образом:

Решение. Найдем общее решение уравнения (2.3), второе решается аналогично. Положив в (2.3) v = ∂u/∂η, получим

r

v = C(η) · e− a(ξ) dξ,

C(η) — произвольная функция, а так как при C(η) ≡ 0 имеем v ≡ 0, то потери общности не произошло. Далее из уравнения

∂∂uη = C(η) · e− r a(ξ) dξ

получаем r w

u(ξ, η) = e− a(ξ) dξ · C(η) dη + φ(ξ).

r

Полагая C(η) dη = ψ(η), получаем общее решение уравнения (2.3):

r

u(ξ, η) = φ(ξ) + ψ(η) · e− a(ξ) dξ,

где φ(ξ) и ψ(η) — дважды непрерывно дифференцируемые произвольные функции.

Можно решить (2.4) умножением на интегрирующий множитель

{w }

µ(ξ) = exp a(ξ) dξ .

Предлагаем читателю воспользоваться предложенным методом для интегрирования уравнения

∂2u + a(ξ, η)∂u = f(ξ, η). ∂ξ∂η ∂η

в области x ≠ 0, y ≠ 0.

Решение. В указанной области справедливо ∆ = x2y2 > 0. Следовательно, в этой области уравнение (2.6) гиперболическое. Для приведения его к каноническому виду составим характеристическое уравнение

Смешанную производную, естественно, не вычисляем. Подставим найденные производные в уравнение (2.6) и приведем подобные члены:

(вследствие произвольности C(η) функция ω(η) также является произвольной). Итак,

Решение уравнения (2.9) получается интегрированием по η:

w ω(η)

u = √ dη + ψ(ξ).

ξ

18 Глава I. Метод характеристик

Вместо произвольной постоянной мы написали здесь произвольную функцию ψ(ξ), так как указанная функция u удовлетворяет уравнению (2.9)

при произвольной ψ(ξ), в чем легко убедиться. Обозначив w

ω(η) dη = φ(η),

где функция φ(η) снова произвольна, мы получаем общее решение уравнения (2.8) в виде

1

u = √ φ(η) + ψ(ξ).

ξ

Возвращаясь к переменным x, y по формулам (2.7), выводим общее решение исходного уравнения (2.6):

§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка

Для уравнения (1.1), помимо общего решения, зачастую ставится задача определения частных решений, удовлетворяющих специальным требованиям. В данной главе это будет задача Коши, которую мы сформулируем, предположив для простоты, что уравнение (1.1) определено на всей координатной плоскости xOy.

Пусть L — простая гладкая бесконечная кривая. Для уравнения гиперболического типа требуем, чтобы L пересекала характеристики под ненулевым углом. Кривая L разобьет плоскость xOy на две области: D+ и D−, которым соответствуют внутренние нормали n+ и n−. На L задаются две достаточные гладкие функции φ(x, y) и ψ(x, y). Задача Коши формулируется следующим образом.

В области D+ найти частное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее

В дальнейшем в главах II, III, V и VI неизвестная функция зависит от времени t и геометрических координат (x, y, z). Условия задачи Коши задаются при t = 0 и называются начальными данными, их число равно высшему порядку производной по t в заданном дифференциальном уравнении.

Решение. На всей плоскости xOy справедливо ∆ = 1 + 3 > 0. Следовательно, на всей плоскости уравнение (3.1) является гиперболическим, а его характеристическое уравнение dy2 −2 dx dy −3 dx2 = 0 распадается на два уравнения: dy = −dx и dy = 3dx. Их общие интегралы — x + y = C и y − 3x = C, а функции x + y и y − 3x — интегралы этих уравнений. Поэтому к каноническому виду приводит следующая замена переменных:

откуда заключаем, что функция v от η не зависит, т. е. имеет вид v = ω(ξ), где ω(ξ) — произвольная функция. Таким образом, для функции u мы

имеем уравнение

∂u∂ξ = ω(ξ).

Интегрируя по ξ, находим общее решение уравнения (3.4): w

u = ω(ξ) dξ + ψ(η) = φ(ξ) + ψ(η).

Здесь обе функции φ(ξ), ψ(η) произвольные. Возвращаясь к переменным x, y, получаем общее решение уравнения (3.1):

Наша задача состоит в том, чтобы из бесконечного множества решений (3.5) выделить то, которое удовлетворяет условиям (3.2). Иными словами, мы должны найти вполне определенные функции φ и ψ, при которых функция u удовлетворяет условиям (3.2). Из (3.5) имеем

Из последнего равенства желательно получить уравнение, в которое вместо производных φ′(x), ψ′(−3x) входили бы функции φ(x), ψ(−3x). Казалось бы, этой цели можно достичь, изменив в (3.7) сумму производных на производную суммы функций. Но этому мешает то обстоятельство, что штрихи в (3.7) означают производные указанных функций по их аргументам (φ′(x) есть производная по x, ψ′(−3x) — производная по −3x). Поэтому вначале в (3.7) перейдем к производным по одной и той же переменной (например, по x). Имеем