Основные методы решения практических задач в курсе «Уравнения математической физики». Учебное пособие

Наконец, положив −3x = z, получаем

ψ(z) = z2 − 3C. 4 4

Требуемые функции φ и ψ найдены. Подставляя их в (3.5), мы получим искомое решение задачи:

Замечание 3. Осложнения, связанные с неодинаковостью аргументов функций φ и ψ в (3.6) и (3.7), устранятся, и решение поставленной задачи упростится, если произвольную функцию ψ в (3.5) мы представим в виде сложной функции ψ(ω(y − 3x)), где ψ — произвольная, а ω — определен-

Той же цели мы могли бы достичь, если бы в (3.3) вместо η = y −3x взяли η = x − y/3, воспользовавшись замечанием 1.

где f0(x), f1(x) — заданные функции.

Решение. В области x ≠ 0, y ≠ 0 справедливо ∆ = 4x2y2 > 0, следовательно, в указанной области уравнение (3.9) является гиперболическим. Его характеристическое уравнение

x2dy2 + 2xy dx dy − 3y2dx2 = 0

распадается на два уравнения:

x dy − y dx = 0 и x dy + 3y dx = 0.

Функции y/x и x3y являются интегралами этих уравнений соответственно. Поэтому для приведения уравнения (3.9) к каноническому виду произведем замену переменных:

Это есть уравнение типа (2.3). В соответствии с (2.5) его общее решение

имеет вид w w

dvv − 14 dηη = C(ξ),

откуда v = η1/4C1(ξ). Общее решение уравнения (3.11) получается из урав-

нения

∂u∂ξ = η1/4C1(ξ)

интегрированием по ξ:

w

u = η1/4 C1(ξ)dξ + C2(η) = η1/4C3(ξ) + C2(η)

(функции C(ξ), C1(ξ), C2(η), C3(ξ) произвольные). Возвращаясь к пере-

Теперь наша задача состоит в том, чтобы из бесконечного множества функций C2 и C3 выбрать такие, при которых (3.12) будет удовлетворять условиям (3.10).

Когда в соответствии с (3.10) мы положим в (3.12) y = 1, аргументы функций C2 и C3 окажутся равными 1/x и x3. А это, как видно из предыдущего примера, вызовет определенные осложнения. Поэтому произвольные функции C2 и C3 мы, имея в виду замечание 3, заменим другими произ-

где функции φ и ψ произвольны, а ω1 и ω2 выберем так, чтобы аргументы функций φ и ψ при y = 1 оба оказались равными x. Для этого следует

положить

ω1(z) = z1 и ω2(z) = z1/3.

Теперь общее решение уравнения (3.9) получает более подходящий вид

Исключая из этой системы уравнений функцию ψ(x), мы приходим к следующему уравнению относительно функции φ(x):

(слагаемое с f0′(x) проинтегрировано по частям). Мы увидим далее, что последующие формулы получат более компактный вид, если неопределенный интеграл в (3.15) заменить интегралом от той же функции с переменным верхним пределом. Тогда будем иметь

x0 — произвольное фиксированное число. Как известно, интегралы в формулах (3.15), (3.16) могут отличаться друг от друга только на постоянное число, что, ввиду наличия в этих формулах произвольного постоянного C, ничего не меняет.

Из (3.14) и (3.16) находим

Подставляя найденные функции φ и ψ в (3.13), получаем решение поставленной задачи:

Решение. Составим характеристическое уравнение

−2x dx dy − 3y dx2 = 0, (3.18)

(2x dy + 3y dx) dx = 0.

Приравниваем по очереди нулю сомножители. Равенство

2x dy + 3y dx = 0

является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя их, получим

2dyy + 3dxx = 0.

Интегрируем каждое слагаемое

2 ln |y| + 3 ln |x| = ln C1,

отсюда

x3y2 = C1.

Далее, dx = 0 и x = C2 Первый вариант замены:

ξ = x3y2, η = x.

Функция ξ, как и в предыдущем примере, на прямой y = 1 принимает значение ξ|y=1 = x3, что мало согласуется с данными (3.17), но мы не меняем ее, а, как и в примере 3.1, запишем удобное общее решение. Это преобразование вполне будет оправдано простой заменой переменных. Вычисляем производные при ξ = x3y2, η = x:

Подставим найденные производные в данное уравнение:

После приведения подобных членов получаем

ln |v| = −3 ln |η| + ln C(ξ).

Здесь C(ξ), φ(η) и ψ(ξ) — произвольные функции, w

ψ(ξ) = C(ξ) dξ.

Переходим к переменным x и y

u(x, y) = x13 ψ(x3y2) + φ(x).

Преобразуем ψ(x3y2) к произвольной функции от аргумента ξ1 = xy2/3:

Подберем функции g и φ, удовлетворяющие начальным условиям (3.17).

Подставим y = 1 в равенства (3.19) и (3.20) и удовлетворим условиям (3.17):

Подставляем найденные выражения для g(x) и φ(x) в (3.19), заменив аргумент в g(x) на xy2/3:

После небольших упрощений получаем окончательный результат:

u(x, y) = x3(y4 − 1) + x2 − 2.

4

§ 4. Задачи с данными на характеристиках

Помимо условий задачи Коши, для уравнения (1.1) на практике возникают другие требования. В частности, для уравнения гиперболического типа ставится задача нахождения частного решения по значениям на двух характеристиках разных семейств. Приведем характерный пример.

Решение. Из условия видно, что решение ищется в полуплоскости y < 0 в области, ограниченной линиями L1, L2 и y = 0.

Y

L2 L1

Рис. 4.1

√ √

Легко видеть, что подстановкой ξ = x−2 −y, η = x+2 −y уравнение

где θ1 и θ2 — произвольные функции. Наша задача состоит в том, чтобы

Из (4.4), полагая 2x − 1 = z, получаем

()

Подставляя в (4.3) x = 1/2, получим θ1(0) + θ2(1) = φ1 (1/2), так что искомое решение задачи приобретает вид

Задачи

Определить тип заданного уравнения в заданной области.

I 1.1. (y + 1)∂2u − 2 ∂2u + x∂2u − ∂u = 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂y

в прямоугольнике 1 < x < 3, 0 < y < 1.

в круге x2 + (y − 6)2 < 1.

I 1.3. 2xy ∂2u + x2 ∂2u + y2 ∂2u − x∂u + y∂u = 0 ∂x∂y ∂y2 ∂x2 ∂y ∂x

в квадрате |x| < 1, |y| < 1.

в круге (x − 5)2 + y2 < 1.

I 1.5. (x + 1)∂2u − 2x2 ∂u + (y − 3)∂2u + u = 0

∂x2 ∂x ∂y2

в квадрате 0 < x < 1, 0 < y < 1.