2.2. Ориентированные графы. Построение минимального остовного дерева сети

Ребро графа G(X, Т) называется ориентированным, или дугой, если одну вершину считают началом, а другую концом этого ребра.

На рисунке дугу обозначают стрелкой. Дугу с началом в вершине x_i и концом в вершине x_j записывают (x_i, x_j).

Определение2.7. Граф, все ребра которого ориентированы, называется ориентированным графом.

Число дуг, исходящих из вершины ориентированного графа x_i, называется полустепенью исхода вершины x_i, число дуг, входящих в вершину x_i, − полустепенью захода вершины x_i.

Вершина x_i называется источником, если ее полустепень захода равна нулю, и стоком, если ее полустепень исхода равна нулю.

Рассмотрим ориентированный граф на рисунке 2.26. Полустепень исхода вершины х₁ равна 1, полустепень захода этой вершины – 2, степень вершины х₁ равна 3. Вершина х₃ является источником, вершина х₂ – стоком.

Рис. 2.25	Рис. 2.26

Определение 2.8. Последовательность дуг (x₁, x₂), (x₂, x₃), …, (x_k-1, x_k), в которой конец предыдущей дуги совпадает с началом следующей, называется маршрутом от x₁ до x_k .

Маршрут, в котором первая и последняя вершины совпадают, называется замкнутым.

Пример 2.6. Рассмотрим ориентированный граф (Рис. 2.26). Он имеет мно­жество маршрутов, например: (х₁, х₂), (х₂, х₆), (х₆, х₇), (х₇, х₃), (x₃, х₂), (х₂, x₆), (х₆, х₅), (х₅, х₁). Этот маршрут является замкнутым.

Маршрут, в котором все вершины различны, называется путем от x₁ до x_k.

Если существует путь из вершины x_i в вершину x_j, то говорят, что x_j достижима из x_i.

Замкнутый путь называется контуром.

Рассмотрим ориентированный граф (Рис. 2.27). Он имеет пути (х₄, х₁), (х₁, х₂), (х₂, х₃) и (x₁, х₂); (х₂, х₄), (х₄, х₃), а также один контур (х₄, x₁), (х₁, х₂), (х₂, х₄). Вершина х_з достижима из вершины х₁.

Полным ориентированным графом называется граф G(X, Т), в котором каждая пара вершин соединена в точности одной дугой.

Ориентированный граф, изображенный на рис.2.28, является полным.

Рис. 2.27	Рис. 2.28

Ориентированный граф G(X,T) можно задать с помощью матрицы инци­дентности. Пусть x₁, x₂, ..., х_n — вершины графа, 1₁, 1₂, …, l_m — дуги графа.

Определение 2.9. Матрицей инцидентности ориентированного графа G(X, T) называется матрица В_{n х m}, у которой элемент b_ij равен 1, если дуга l_j исходит из вершины x_i, равен (−1), если дуга l_j входит в вершину x_i; равен 0, если дуга l_j и вершина x_i не инцидентны.

Пример 2.7. Для ориентированного графа, изображенного на рис. 2.29, матрица инцидентности имеет следующий вид:

1 0 0 -1 0 -1 1 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 0 1 1 -1 4 5	x1 l1 x2
Рис. 2.29

Построение минимального остовного дерева сети. В экономических приложениях графы принято называть сетями, а их верши­ны — узлами. Каждому ребру (дуге) придают некоторое числовое значение, которое в зависимости от смысла задачи может обозначать расстояние, про­пускную способность, время и т. д. С каждым видом сети связан определенный тип потоков, например, поток нефти в нефтепроводах, автомобильные потоки в сети городских дорог).

Определение 2.10. Остовным деревом сети называется дерево, содержа­щее все узлы сети.

Пример 2.8. Рассмотрим сеть с пятью узлами (рис. 2.30, а). Для этой сети можно построить множество остовных деревьев. Некоторые примеры таких остовных деревьев изображены на рис. 2.30, б-е.

x1 x2 x3 x4 x5	x1 x2 x3 x4 x5
а	б
x1 x2 x3 x4 x5	x1 x2 x3 x4 x5
в	г
x1 x2 x3 x4 x5	x1 x2 x3 x4 x5
д	е
Рис. 2.30

При изучении сетей возникает задача построения минимального остовного дерева, т. е. задача соединения всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины. Примером такой задачи является проектирование сети дорог между населенными пунктами, где дороги, соединяющие два пункта, могут проходить через другие населенные пункты. Наиболее экономичный проект должен минимизировать общую длину дорог.

Рассмотрим процедуру построения минимального остовного дерева. Вве­дем обозначения:

X = { х₁, х_{2 , …,} х_n} — множество узлов сети;

C_k — связное множество узлов сети, соединенных алгоритмом после выполнения k− ой итерации;

— множество узлов сети, не соединенное с узлами множества C_k после выполнения k− ой итерации;

Минимальное остовное дерево строят по следующему алгоритму:

1. выбирают произвольный узел сети х_i: С₁ = х_i , = X \ {х};

2. выбирают из оставшихся узлов узел Xj, ближайший к множеству узлов С₁: С₂ = Xi,.x_j, = X \ {x_i, Xj};

3. выбирают из множества узел, ближайший к узлам множества С₂, включают его в множество С₂ и исключают из множества .

За конечное число шагов будут обработаны все узлы сети и построено минимальное остовное дерево: С_n = X, = .

Пример 2.9. Телевизионная компания планирует подключение к кабельной сети пяти новых районов. Структура планируемой сети и расстояния между пунктами (в км.) заданы на рис. 2.31, а. Требуется спланировать кабельную сеть наименьшей длины.

Проведем пошаговое построение минимального остовного дерева для данной сети. Со = , = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆}. Начнем с узла x₁.

Итерация 1 (рис. 2.31, б):

С₁ = {х₁}. = {х_2, х₃, х₄, х₅, х₆}, min(1,5,7,9) = 1.

Ближайший узел к множеству С₁ — узел х₂. Добавляем его к остовному дереву с ребром длиной 1 км.

Итерация 2 (рис. 2.31, в):

С₂ = {х₁ , х₂}. = {х₃, х₄, х₅, х₆}. min(3,4,5,6,7,9) = 3.

Ближайший узел к множеству С₂ — узел х₅. Добавляем его к остовному дереву с ребром длиной 3 км.

Итерация 3 (рис. 2.31, г):

С₃ = {х₁, х₂, х₅}. = {х₃, х₄, х₆}. min(4,5,6,7,8) = 4.

Ближайший узел к множеству Сз — узел х₄. Добавляем его к остовному дереву с ребром длиной 4 км.

Итерация 4 (рис. 2.31, д):

С₄ = {x₁, х₂, х₄, х₅}, = {х_3, х₆}, min(3,5,6) = 3.

Ближайший узел к множеству С₄ — узел х₆. Добавляем его к остовному дереву с ребром длиной 3 км.

Итерация 5 (рис. 2.31, е):

С₅ = {x₁, х₂, х₄, х₅, х₆}, = {х₃}, min(5,6,10) = 5.

Ближайший узел к множеству С₅ — узел х_3. Добавляем его к остовному дереву с ребром длиной 5 км. При этом возможно два альтернативных соединения (х₁, х₃) и (х₄, х₃) длиной 5 км. Процесс построения минимального остовного дерева завершен (рис. 2.31, ж).

Итак, С₆ = X = { x₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆}, = . Минимальная длина телевизионного кабеля составит 1 + 3 + 4 + 3 + 5 = 16 км.

а	б 3 3
3 3 6 5	3 6 8
в 3 3	г
д	е
	ж
	Рис. 2.31