5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство

При анализе договоров о погашении кредита между кредитором и заемщиком необходимо помнить о неравноценности денежных сумм, относящихся к разным моментам времени. При этом необходимо приведение величин этих сумм к одному и тому же моменту времени. Как правило, за такой момент выбирают момент выдачи ссуды или кредита. Иными словами, необходимо дисконтировать денежные величины, относящиеся к моментам погашения кредита, на момент выдачи этого кредита. Если кредит выдавался несколькими траншами, необходимо кроме того дисконтировать величины всех траншей после первого на момент выдачи первого транша кредита. Подход к решению задач подобного рода для случаев с начислением по ставкам простых и сложных процентов принципиально одинаков, разнятся только формулы для расчетов. Рассмотрим случаи, когда начисление производится по ставкам сложных процентов, т. е. когда кредиты выдаются на сроки больше года. Для решения задачи воспользуемся формулами (5.36) и (5.37):

x₀ = x_k / (1+ i) ^k = x_k · (1+ i) ^−k = x_k υ ^k , где υ ^k = 1 / (1+ i) ^k . (5.64)

Рассмотрим решение подобной задачи на примере.

Пример 5.25. Предположим, что две стороны, кредитор и заемщик, договариваются о плане погашения кредита:

кредит в 10 млн руб. берется на 7 лет при годовой ставке 10 % с условием, что через 3 года в счет погашения кредита будет внесено 5 млн руб., через год — 4 млн. руб., еще через год — 3 млн руб. и еще через год — 2 млн руб.

Какая сумма должна быть внесена через 7 лет для полного погашения кредита?

Решение. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно пере­считать все суммы, о которых идет речь, на момент получения кредита. Пересчитать суммы

y₀ = 10,0; у₃ = 5,0; y₄ = 4,0; у₅ = 3,0; у₆ = 2,0

означает дисконтировать их. В результате получим, согласно (5.64):

10,0; 5,0 ·1,1^-3; 4,0 · 1,1 ^-4; 3,0 · 1,1 ^-5; 2,0 · 1,1 ^-6; у₇ ·1,1 ^-7.

Величина y₇ находится из условия погашения кредита:

10,0 = 5,0 · 1,1 ^-3 + 4,0 · 1,1 ^-4 + 3,0 · 1,1 ^-5 + 2,0 · 1,1 ^-6 + у₇ ·1,09 ^-7, (5.65)

откуда после несложных вычислений получаем, что

у₇ = 1 012 671 руб.

Тем самым при оговоренном порядке погашения кредита в седьмой год надо возвратить сумму 1 012 671 руб. Полная сумма, которая будет возвращена кредитору, составит:

5,0 + 4,0 + 3,0 + 2,0 + 1 012 671 = 15 012 671 (руб.)

Процент по кредиту, таким образом, равен 5 млн 012 тыс. 671 руб., т. е. почти половине взятой суммы.

Рассмотрим другую схему погашения кредита. Здесь

y ₁= y ₂ = y ₃ = y ₄ = y ₅ = y ₆ = 0.

В этом случае:

10,0 = y ₇ · 1,1 ⁻⁷ . (5.66)

Откуда получаем искомый ответ:

y ₇ = 10,0 · 1,1⁷ = 19 487 171 (руб.).

При таком порядке погашения процент по кредиту еще больше — 9 млн 487 тыс. 171руб.

Большое распространение получила практика выплаты в счет погашения кредита каждый год одной и той же суммы.

То есть:

y ₁= y ₂ = y_З = y₄ = y₅ = y_б = y₇ =y.

Как ее вычислить при той же взятой сумме и той же процентной ставке? Запишем условие погашения кредита с дисконтированными на момент выдачи кредита величинами. Имеем:

10,0 = y (1,1 ^-1 + 1,1 ^-2 + 1,1^-3 + 1,1^-4 + 1,1^-5 + 1,1^-6+ 1,1^-7), (5.67)

откуда

y = 2 054 055 руб.

А как будет выглядеть схема погашения кредита, если предположить наличие инфляции? Из рассмотренных вариантов легче всего рассуждать на примере, когда вся сумма выплачивается сразу в последний год, в нашем случае – в седьмой. Предположим, что ежегодная инфляция составляет 14 %.

Запишем выражение (5.63):

x_k = x₀ (1 + h) ^k (1 + i)^k = x₀ [(1 + h)(1 + i)]^k,

откуда

x₀ = x_k (1 + h) ^−k (1 + i)^−k = x_k [(1 + h) (1 + i)]^−k. (5.68)

Тогда условие погашения кредита для этого случая (5.66) запишется в следующем виде:

10,0 = y₇ · [(1 + 0,14) · 1,1] ⁻⁷ . (5.69)

Величина y₇ будет:

y ₇ = 10,0 · (1,14 · 1,1) ⁷ = 48 762 140. (5.70)

Таким образом, из сравнения результата в отсутствие инфляции, когда надо было возвратить через семь лет 19 487 171 руб., при ежегодной инфляции в 14 % через семь лет нужно будет вернуть уже 48 762 140 руб., чтобы сохранить реальную доходность финансовой операции на уровне 10 %.

Теперь подсчитаем, насколько велика разница в возвращаемых суммах будет в первой задаче, где кредит погашался частями, в условиях инфляции и без нее. Уравнение погашения кредита в этом случае запишется, исходя из (5.65) и учитывая (5.68):

10,0 = 5,0 · (1,14 · 1,1) ⁻³ + 4,0 · (1,14 · 1,1) ⁻⁴ + 3,0 · (1,14 · 1,1) ⁻⁵ +

+ 2,0 · (1,14 · 1,1) ⁻⁶ + у₇ · (1,14 · 1,1) ⁻⁷,

откуда после уже известных вычислений:

у₇ = 21 248 819 (руб.).

В условиях отсутствия инфляции по кредиту надо было вернуть 1 012 671 руб., а при ежегодной инфляции в 14 % − 21 248 819 руб. Эта сумма в 21 раз больше.

Для решения задачи погашения кредита равными суммами уравнение погашения кредита запишется по аналогии с (5.67), используя (5.68):

10,0 = y ((1,14·1,1) ^-1 + (1,14·1,1) ^-2 + (1,14·1,1) ^-3 + (1,14·1,1) ^-4 + + (1,14·1,1) ^-5 + (1,14·1,1) ^-6 + (1,14·1,1) ^-7),

откуда

y = 3 195 279 руб.

В отсутствие инфляции необходимо было бы возвращать ежегодно сумму 2 054 055 руб., а в условиях инфляции − 3 195 279 руб. В первом случае сумма, возвращенная за семь лет, будет равна 14 378 385 руб., а во втором – 22 366 953 руб.

Приведенные примеры убедительно показывают, что при наличии инфляции банки будут вынуждены повышать ставки по кредитам, чтобы не работать себе в убыток и сохранить реальную доходность на прежнем уровне.

Балансовое равенство

Рассмотрим задачу несколько сложнее.

Пример 5.26. Предположим, что заемщик берет кредит по частям у одного и того же кредитора под 10 % годовых:

сразу − 12 млн руб. (у₀ = −12).

через год − еще 10 млн руб. (у ₁ = − 10)

и еще через два года − 4 млн руб. (у₃ = − 4), а схема погашения кредита выглядит так:

у₅ = 6, у₆ = 8, у₇ = 10, у₈ = 8, у₉ = 6, y₁₀ = 6, у₁₁ =?

Дисконтируя все суммы на момент выдачи первой части креди­та и приравнивая суммы, соответствующие кредитам и погашениям, получаем:

12+ 10q ^-1 + 4q ^-3 = 6q ^-5 + 8q ^-6 + 10q ^-7 + 8q ^-8 + 6q ^-9 + 6q ^-10 + y ₁₁q ^-11;

здесь

q = l + 0,01p = 1 + i = 1,1.

Перепишем последнее соотношение формально более подробно, имея в виду, что

y ₂ = y ₄ = 0.

В результате получим равенство

(−12) q⁰ + (−10)q⁻¹ + 0q⁻² + (−4)q⁻³ + 0q⁻⁴ + 6q ⁻⁵ + 8q⁻⁶ + 10q⁻⁷ + 8q⁻⁸ +

+ 6q⁻⁹ + 6q⁻¹⁰ + у₁₁q⁻¹¹ = 0.

Записанное в такой форме равенство удобно для вычислений в Microsoft Excel. После необходимых вычислений находим y ₁₁:

y₁₁ = 6.086.734 руб.

Подведем некоторые итоги.

Пусть у_k — величина взноса в конце k−го года, k ≥ 0 (отрицательное значение у_k трактуется как кредит).

Все кредиты погашены за n лет, если имеет место балансовое равенство

y₀ + q^-1 y₁ + …+ q^–n y_n = 0, (5.65)

где

q = 1 + 0,01p =1 + i,

т. е. сумма всех дисконтированных кредитов и взносов равна нулю.