6.2. Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности

Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка n

		a11	…	a1k	…	a1n	.
		…	…	…	…	…
A=		ai1		aik	…	ain
		…	…	…	…	…
		an1	…	ank	…	ann

Матрица А называется обратно-симметричной, если для любых i и k выполняется соотношение

a _ki = 1 / a _ik.

Из этого, в частности, следует, что

a _ii = 1.

Матрица А называется согласованной, если для любых i, k и l выполнено равенство

a _ik a _kl = a_il.

Сравнивая свойства идеальной матрицы сравнения с приведенными определениями, приходим к выводу, что идеальная матрица сравнений — обратно-симметричная и согласованная.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают: λ _max = n.

Индекс согласованности. Если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А изменить незначительно («пошевелить»), то максимальное собственное значение λ_mах также изменится незначительно. Пусть А − произвольная положительная обратно-симметричная матрица и λ_mах − ее наибольшее собственное значение.

Если

λ_mах = n,

то матрица А — согласованная.

Если

λ_mах n

(всегда λ_mах n), то в качестве степени отклонения положительной обратно-симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение

которое называется индексом согласованности (ИС) матрицы А и является показателем близости этой матрицы к согласованной.

Замечание. Считается, что если ИС не превышает 0,10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений.

6.3. Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы

Довольно естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное значение λ_mах положительной обратно-симметричной матрицы. Для n = 2 такую задачу решать мы умеем. Правда, это не так интересно: обратно-симметричная матрица 2-го порядка всегда со­гласованная. Действительно, рассмотрим обратно-симметричную матрицу:

1	a
1/a	1	.

Найдем ее собственные значе­ния. Имеем:

1− λ	a
1/a	1− λ	=0 ,

Или иначе:

(1 − λ) ² = 1,

Откуда нетрудно получить, возводя в степень и приводя подобные члены:

λ (λ − 2) ² = 1.

Из последнего выражения следует, что λ₁ = 2 и λ₂ = 0.

Однако в общем случае эта задача хотя и разрешима, но техни­чески достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но отно­сительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычисле­ний, как это часто делается на практике, т. е. искать приближенное значение наибольшего собственного числа.

Решается эта задача так: сначала приближенно строится соб­ственный столбец, а затем по нему ищется приближенное собствен­ное значение.

Существует несколько способов приближенного вычисления собст­венного столбца.

1-й способ:

1. суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;

2. складываем все элементы найденного столбца;

3. делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.

2-й способ:

1. суммируем элементы каждого столбца и записываем получен­ные результаты в столбец;

2. заменяем каждый элемент построенного столбца на обратный ему;

3. складываем элементы столбца из обратных величин;

4. делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

3-й способ:

1. суммируем элементы каждого столбца;

2. делим элементы каждого столбца на их сумму;

3. складываем элементы каждой строки полученной матрицы;

4. записываем результаты в столбец;

5. делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы п.

4-й способ:

1. перемножаем элементы каждой строки и записываем получен­ные результаты в столбец;

2. извлекаем корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;

3. складываем элементы этого столбца;

4. делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

5-й способ:

1)возводим матрицу парных сравнений в достаточно высокую степень;

2)суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;

3)складываем элементы этого столбца;

4)делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

Следует пояснить, что такое достаточно высокая степень. С увеличением степени будет расти точность вычисления собственного вектора матрицы. Как только точность вычислений будет удовлетворять наперед заданной величине, степень можно считать достаточной.

Каждый из этих способов, будучи примененным к идеальной матрице, приводит к одному и тому же точному результату.

Покажем это для 1-го способа (для остальных проверка проводится столь же просто).

Пусть

		w1/w1	w1/w2	…	w1/wn
A=		w2/w1	w2/w2	…	w1/wn		(6.2)
		…	…	…	…
		wn/w1	wn/w2	…	wn/wn

– идеальная матрица сравнений.

Просуммируем элементы каждой строки матрицы (6.2) и, записав полученные результаты в столбец

w1/w1	+ …+	w1/wn						w1
….	….	….		=				…		(6.3)
wn/w1	+ …+	wn/wnn						wn		,

сложим элементы этого столбца. Имеем:

w₁ +…+w_n = (w₁ + …+ w_n) = _.

Поделим каждый из элементов столбца (6.3) на найденную сумму. В результате получим

				w1
	…		=	…
				wn

Нетрудно заметить, что итогом этих операций будет собственный столбец матрицы (6.2), сумма элементов которого равна единице, поскольку присутствует нормирующий множитель 1 / . Лег­ко убедиться и в том, что соответствующее собственное значение равно n.

В применении к обратно-симметричной, но не согласованной матрице ни один из предложенных способов уже не дает точного значения собственного столбца. Тем не менее, при вычислении собственных столбцов таких матриц мы будем пользоваться именно этими способами, получая в результате приближенные значения собственных столбцов.

Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа, но увеличивается и точность. Особенно трудоемким является пятый способ вычисления собственного столбца, поскольку возведение матрицы в степень есть не что иное, как многократное умножение ее саму на себя (следует помнить правило перемножения матриц). В случаях принятия особо важных решений пользуются наиболее точными способами вычислений, или вычисляют сначала собственные значения матрицы классическим способом, а затем строят собственный вектор.

Замечание. Описанные первые 4 способа приближенного вычисления собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратно-сим­метричных матриц, достаточно близких к согласованным. Последний, пятый способ можно использовать в любых случаях.

Пример 6.1. Рассмотрим обратно-симметричную матрицу 4-го по­рядка

1	4	5	6
1/4	1	3	5
1/5	1/3	1	3
1/6	1/5	1/3	1

и вычислим приближенно ее собственный столбец всеми пятью способами.

1-й способ (указаны результаты каждого шага):

	16,00			0,51
1)	9,25	, 2) 31,48	3)	0,29
	4,53			0,14	.
	1,70			0,05

	1,62		0,62			0,64
1)	5,53	, 2)	0,18	, 3) 0,98,	4)	0,19
	9,33		0,11			0,11	.
	15,00		0,07			0,07

2-й способ (указаны результаты каждого шага):

3-й способ:

После 1-го и 2-го шагов получаем матрицу

0,62	0,72	0,54	0,40
0,15	0,18	0,32	0,33
0,12	0,06	0,11	0,20
0,10	0,04	0,04	0,07	,

в результате 3-го и 4-го шагов получим столбец

2,28
0,99
0,49
0,24	,

и окончательный результат:

0,57
0,25
0,12
0,06	.

4-й способ дает после первого и второго шагов соответственно:

120
3,75
0,20	,
0,01

3,31
1,39
0,67	.
0,32

Сумма чисел последнего столбца равна 5,69 и, производя деление чисел последнего столбца на эту сумму, получаем следующий окончательный результат:

0,58
0,24
0,12
0,06	.

5-й способ дает после возведения матрицы в третью степень, сложения элементов строк и нормирования соответственно:

353,22
143,21
68,06
34,41	,

19,35	44,27	92,27	197,33
8,13	18,81	37,42	78,85
3,78	9,11	18,07	37,10
1,83	4,48	9,22	18,89	,

0,59
0,24
0,11
0,06	.

Для построения собственного столбца заданной матрицы традиционным (точным) методом необходимо решить характеристическое уравнение:

׀А – λЕ׀ = 0.

Решая уравнение, сначала найдем максимальное собственное число λ _max , а затем – собственный вектор. Характеристическая матрица этого уравнения имеет вид:

1– λ	4	5	6
1/4	1– λ	3	5
1/5	1/3	1– λ	3	.
1/6	1/5	1/3	1– λ

Характеристический многочлен, соответствующий этой матрице:

λ⁴ − 4λ³ – 667/180 λ − 147/225.

Уравнение для вычисления λ получим, приравняв нулю характеристический многочлен. Приближенное решение уравнения, например методом Ньютона, дает λ _max 4,22. Найдем собственный вектор матрицы, соответствующий λ _max. Для его нахождения необходимо решить уравнение, которое в матричной форме выглядит как (А − λ Е) α = 0, где α – собственный вектор матрицы. Матричному уравнению соответствует система уравнений:

–3,22 α₁ + 4 α₂ + 5 α₃ + 6 α₄ =0

1/4α₁ – 3,22 α₂ + 3 α₃ + 5 α₄ =0

1/5α₁ + 1/3 α₂ – 3,22 α₃ + 3 α₄ =0

1/6α₁ + 1/5 α₂ + 1/3 α₃–3,22 α₄ =0.

Решая систему уравнений, например методом исключения переменных, имеем: α₁=0,61; α₂=0,25; α₃=0,12; α₄=0,06, т. е. собственный вектор будет:

0,61
0,25
0,12	.
0,06

Напомним, что корни системы уравнений зависимы, в силу того, что определитель системы равен нулю, и собственный вектор получается назначением, к примеру, α₄=0,06. Хотя для нахождения собственного вектора здесь мы использовали методы приближенных вычислений, но поскольку корни характеристического уравнения найдены с высокой степенью точности, будем называть найденный собственный вектор точным.

Вернемся к приближенным вычислениям собственных чисел по приближенным значениям собственных столбцов. Итак, собственный столбец найден. Теперь остается найти соответствующее собственное значение. Покажем, как это делается в случае приближенных вычислений.

Вспомним, что имеет место равенство: А α = λ α. Если мы хотим проверить, является ли предъявленный столбец α собственным столбцом матрицы А, то алгоритм действий будет следующий:

1. умножить матрицу А на этот столбец:

А α = y= λ α,

или подробнее:

a 11	…	a 1n		α 1		y1		α 1
…	…	…		…	=	…	= λ	…	.
a n1	…	a nn		α n		yn		α n

2. разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца α:

y₁ / α ₁ , …., y_n / α _n

и, если

y₁ / α ₁ = ….= y_n / α _n , (6.4)

то это отношение и есть собственное значение λ матрицы А, отвечаю­щее данному столбцу α.

Если же хотя бы одно из равенств (6.4) нарушается, то столбец α не является собственным столбцом матрицы А.

В данном случае столбец, получаемый любым из описанных выше четырех способов, мы заранее рассматриваем как приближение соб­ственного столбца, и ожидать выполнения даже одного из равенств (6.4) нельзя.

Поэтому здесь мы поступим по-иному — считая каждое из отно­шений

y₁ / α ₁ , …., y_n / α _n

приближением к искомому собственному значению, выберем в каче­стве собственного значения их среднее арифметическое:

λ_mах = (1 / n) .

Продолжение примера 6.1. Для отыскания приближенного зна­чения наибольшего собственного числа заданной матрицы использу­ем приближение собственного столбца, например, вычисленное по 2-му способу. Умножив матрицу на соответствующий столбец, получаем

1	4	5	6	0,64		2,37
1/4	1	3	5	0,19	=	1,03
1/5	1/3	1	3	0,11		0,51
1/6	1/5	1/3	1	0,07		0,25 .

Поделив элементы найденного столбца-произведения на соответст­вующие элементы исходного столбца-сомножителя, получим следу­ющие числа:

3,70, 5,42, 4,65, 3,59.

Найдем их среднее арифметическое. Имеем:

(3,70+5,42+4,65+3,59) = = 4,34.

Тем самым,

_mах = 4,34.

Теперь уже совсем легко найти:

ИС = = = 0,11.

Напомним, что для точного собственного столбца было получено значение λ_mах = 4,22 и ему соответствует ИС = 0,07. 1-й способ дает значение _mах = 4,32, ИС = 0,11; 3-й, 4-й и 5-й способы дают одинаковые результаты: _mах = 4,22, совпадающие с точным, ИС = 0,07.