8.2. Диверсификация портфеля

Рассмотрим пример.

Пример 8.3. Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, состоящего из 30 % акций компании А и 70 % акций компании В, если доходности акций этих компаний некоррелированы и равны соответственно 25 и 10 %, а стандартные отклонения – 15 и 8 %.

Решение. По формуле (8.8) получаем: r_p = 0,3·25 % + 0,7·10 % = 14,5 %. Поскольку доходности бумаг некоррелированы, μ_ij = 0 при i j и тогда из формулы (8.9) следует:

D(r_p) = , σ(r_p)= ≈ 7,2 %.

Приведенный пример показывает, что риск портфеля ценных бумаг не превосходит отдельных рисков составляющих его бумаг. Это свойство портфеля называется диверсификацией (от англ. diverse, что означает разнообразный): увеличение количества видов ценных бумаг при одновременном сокращении их долей в общей ожидаемой доходности уменьшает риск портфеля. Проиллю­стрируем это еще на одном примере.

Пример 8.4. Найти ожидаемую доходность и ее стандартное отклонение для портфеля, состоящего из 10 пакетов ценных бумаг с некоррелированными доходностями. Доли пакета ценных бумаг x_i в портфеле, их доходности r_i и стандартные отклонения σ_i приведены в табл. 8.3.

								Таблица 8.3
Параметры, %	Номер пакета ценных бумаг
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	5	5	10	20	5	5	20	10	10	10
ri	12	12	20	15	15	20	20	30	30	35
σi	9	9	12	12	10	11	12	20	15	25

Решение. Вычисляем ожидаемую доходность портфеля:

r_р = 0,05 · 12 + 0,05 · 12 + 0,1 ·20 + 0,2 · 15 + 0,05 · 15 +

+ 0,05 · 20 + 0,2 · 20 + 0,1 · 30 + 0,1 · 30 + 0,1 · 35 = 21,45 %.

Так как случайные величины доходностей бумаг являются независимыми, дисперсия доходности портфеля равна:

D(r_p) = 0,0025 · 81 + 0,0025 · 81 + 0,01 · 144 + 0,04 · 144 + 0,0025 · 100 +

+ 0,0025 · 121 + 0,04 · 144 + 0,01 · 400 + 0,01 · 225 + 0,01 · 625 = 26,42.

Тогда σ(r_p) = = 5,14 %. Отсюда видно, что среднее квадратическое отклонение доходности портфеля оказалось ниже минимального значения для пакетов ценных бумаг с номерами 1 и 2, а максимальные значения средних квадратических отклонений пакетов ценных бумаг с номерами 8 и 10 стали незаметны в общей величине σ(г_р).

8.3. Достижимое и эффективное множества

На рис. 8.1 показано дости­жимое множество, представляющее собой все портфели, которые можно сформировать из n видов ценных бумаг. Множество портфелей, обеспечивающих минимальный риск при меняющемся уровне ожидаемой доходности, находится на левой части границы достижимого множества, расположенной между точками А и С (касательная к кривой АС в точке А параллельна оси Oσ_р, касательная в точке C параллельна оси Оr_р). Справедлива теорема об эффективном множестве портфелей: инвестор выбирает свой оптимальный портфель из такого множества портфелей, каждый из которых:

1. максимизирует ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;

2. минимизирует риск для некоторого уровня ожидаемой доходности.

Согласно этой теореме инвестора удовлетворяют только портфели, находя­щиеся на верхней и левой границе достижимого множества, т. е. эффективное множество портфелей представляет собой участок границы АВ. На этом мно­жестве инвестор будет выбирать свой оптимальный портфель.