- •Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях
- •Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Модель границы производственных возможностей
- •Возможности и потребности. Модели и реальность
- •1.2. Альтернативная стоимость. Издержки и выбор
- •1.3. Экономический рост и эффективность
- •Графы, сети и их применение в экономике
- •Основные определения и характеристики графов. Плоские графы
- •2.2. Ориентированные графы. Построение минимального остовного дерева сети
- •2.3. Задача нахождения кратчайшего пути. Дерево решений
- •2.4. Сетевые графики
- •3. Управление запасами
- •3.1. Вводные замечания и основная модель
- •3.2. Модель производственных поставок. Модель поставок со скидкой
- •3.3. Модель управления запасами, включающая штрафы
- •3.4. Обобщенная модель определения оптимального размера партии
- •4. Распределение ресурсов
- •4.1. Постановка задачи распределения ресурсов. Механизм прямых приоритетов
- •4.2. Механизм обратных приоритетов. Конкурсный механизм
- •4.3. Механизм открытого управления
- •4.4. Открытое управление и экспертный опрос
- •5. Математические модели в финансовых операциях
- •5.1. Простые проценты. Сложные проценты
- •5.2 Начисление процентов в условиях инфляции.
- •5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство
- •5.4. Балансовое уравнение
- •Иерархии и приоритеты
- •6.1. Приоритеты. Измерения и согласованность. Идеальные измерения
- •6.2. Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
- •6.3. Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
- •6.4. Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии
- •7. Методы прогнозирования
- •7.1. Анализ временных рядов. Метод подвижного (скользящего) среднего.
- •7.2. Метод проецирования тренда
- •7.3. Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель
- •7.4. Мультипликативная модель. Каузальные методы прогнозирования. Качественные методы прогнозирования
- •8. Основы управления рисками в экономике
- •8.1. Риски в экономике. Оптимизация портфелей банка
- •8.2. Диверсификация портфеля
- •8.3. Достижимое и эффективное множества
- •8.4. Выбор оптимального портфеля
- •9. Динамические модели
- •9.1. Модель народонаселения
- •9.2. Модель мобилизации
- •9.3. Модель гонки вооружений
- •9.4. Модель хищник – жертва
- •Глоссарий
- •Библиографический список
- •Порядковые номера дней в невисокосном году
- •Порядковые номера дней в високосном году
- •Предметный указатель
- •Оглавление
4.4. Открытое управление и экспертный опрос
Если требуется определить объем финансирования крупного проекта, то часто прибегают к проведению экспертного опроса. Мы рассмотрим следующую процедуру опроса. Каждому из n экспертов предлагается сообщить число s из отрезка [d; D], после чего на основании экспертных оценок определяется итоговое решение х. Например, экспертам предлагается определить стоимость проекта, которая должна находиться в промежутке от d до D. Суть задачи состоит в том, чтобы определить итоговую оценку х, исходя из полученных от экспертов оценок si (i=1,2,…,n). Самым естественным представляется подход, когда наилучшим решением здесь является среднее арифметическое мнений экспертов
x = . (4.4)
Однако у такого решения есть существенный недостаток.
Дело состоит в следующем. У каждого эксперта есть мнение ri относительно объема финансирования. И, если эксперт каким-либо образом заинтересован в том, чтобы итоговая оценка х совпала с его мнением ri , то он может попытаться добиться этого совпадения, сообщая оценку si ri .
Пример 4.5. Пусть три эксперта имеют следующие мнения:
r1 = 10, r2 = 10, r3 = 25.
Если каждый из них сообщит свое мнение без искажений, то при принятии решения по способу (4.4) результат будет таким:
x = (10 + 10 + 25) / 3 = 15.
Однако третий эксперт может (имея представление о мнениях или зная мнения остальных двух экспертов) сообщить оценку s3 — 55. Тогда итоговый результат
x = (10 + 10 + 55) / 3 = 25.
как раз совпадет с его истинным мнением r3.
Замечание. В теории коллективного принятия решений такой способ действий называется манипулированием. В свою очередь, если механизм коллективного принятия решений допускает манипулирование с чьей-либо стороны, то он называется манипулируемым. Рассмотренный только что пример показал, что механизм (4.4) является манипулируемым: искажая свои истинные предпочтения, можно приблизить итоговое коллективное решение к собственному истинному предпочтению.
Вернемся к экспертному опросу. Говоря более строго, i-й эксперт решает задачу
|
→ |
min |
, |
|
|
si |
|
т. е. пытается минимизировать разность между итоговым решением х и своим истинным мнением ri путем надлежащего выбора сообщаемой оценки si.
Опишем механизм выработки решения х*, являющийся механизмом открытого управления (т. е. неманипулируемым механизмом).
Напомним, что эксперты сообщают свои оценки
si , i = 1,2,…,n.
Будем считать, не ограничивая общности, что оценки экспертов расположены по неубыванию:
s1 s2 … sn
(этого всегда можно добиться, перенумеровав экспертов).
Вычисляются n вспомогательных чисел
vi = D – (i − 1) (D − d) / n, i = 1,2,…,n. (4.5)
Эти числа делят отрезок [d,D] на n равных частей. При i =1 от D отнимается ноль, т. е. первым числом v1 будет D. При i =2 от D отнимается одна n-я часть длины отрезка [d,D], при i =3 – две n-е части и т. д.. После этого для каждого i берется меньшее из двух чисел si и vi:
min .
И наконец, из всех этих минимумов выбирается наибольший, который и является итоговым решением:
х* = |
max min . |
|
1 |
Можно доказать, что описанный механизм является механизмом открытого управления.
Пример 4.6. Пусть 5 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [40,80]: 80, 44, 62, 75, 56. Определить итоговое решение в соответствии с описанным механизмом.
Решение. Выпишем числа vi (здесь (D – d) / n = (80 – 40) / 5 = 8):
v1 = 80, v4 = 80 – 24 = 56,
v2 = 80 – 8 = 72, v5 = 80 – 32 = 48,
v3 = 80 – 16 = 64,
Дальнейшее удобно изобразить в виде таблицы, в первой строке которой записаны упорядоченные по неубыванию оценки экспертов:
si : |
44 |
56 |
62 |
75 |
80 |
|
vi: |
80 |
72 |
64 |
56 |
48 |
|
min : |
44 |
56 |
62 |
56 |
48 |
. |
В качестве итогового решения берется максимальное значение в последней строке:
х* = 62.
Замечание. Во всех предыдущих рассуждениях квалификация экспертов предполагается одинаковой. Можно в случае необходимости вводить коэффициенты, позволяющие учитывать мнение разных экспертов различным образом – принципиально это ничего не меняет, а лишь несколько усложняет вычисление итогового результата х*.
Вопросы для самопроверки
1. Пять Потребителей подали заявки в размере 4, 9, 11, 6 и 9. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 24. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?
2. Имеется пять Потребителей, приоритеты которых определяются числами 5, 8, 10, 17, 8. Ресурс Центра составляет 80. Определить равновесные стратегии (заявки) Потребителей, если ресурс распределяется в соответствии с механизмом обратных приоритетов.
3. Имеется шесть Потребителей, подавших заявки в размере 12, 14, 11, 10, 9,15 и сообщивших Центру соответственно следующие показатели эффекта: 33, 37, 27, 40, 22, 26. Каким должно быть распределение ресурса объемом 65 в соответствии с конкурсным механизмом?
4. Восемь Потребителей подали Центру свои заявки. Они таковы: 11, 4, 6, 2, 8, 7, 12, 14. Центр обладает ресурсом R = 50. Требуется распределить этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления.
5. Предположим, что 5 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [40,80]: 45, 70, 44, 75, 65. Определить итоговое решение в соответствии с описанным механизмом. Изменится ли результат, если пятый эксперт назовет вместо 65 оценку 55?
6. Предположим, что 8 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [40,80]: 45, 70, 44, 75, 65, 80, 66, 60. Определить итоговое решение в соответствии с описанным механизмом. Изменится ли результат, если пятый эксперт назовет вместо 65 оценку 60? А что будет, если второй эксперт назовет вместо 70 оценку 80?