СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.А. Чирухин

Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях

Санкт-Петербург

Издательство СЗТУ

2010

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.А. Чирухин

Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Информационные ресурсы дисциплины

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Санкт-Петербург

Издательство СЗТУ

2010

Утверждено редакционно-издательским советом университета

УДК 330.4

ББК 65В6

К64

Чирухин, В.А. Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях: учебно-методический комплекс (информационные ресурсы дисциплины: учебное пособие) /В.А. Чирухин. − СПб.: Изд-во СЗТУ, 2010. – 198 с.

Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

Данное учебное пособие является составной частью учебно-методического комплекса и соответствует тематическому плану дисциплины, приведенному в УМК.

Учебное пособие содержит основные сведения для изучения разделов теории экономико-математических методов: графы и сети, динамическое программирование, теория игр, методы прогнозирования, многокритериальные задачи, вопросы финансовой математики и др.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 080506.65 − «Логистика и управление цепями поставок».

Рецензенты: кафедра логистики СЗТУ (зав. кафедрой А. Д. Шматко, канд. экон. наук); Е.И. Зайцев, д-р экон. наук, профессор кафедры логистики Санкт-Петербургского государственного инженерно-экономического университета.

© Северо-Западный государственный технический университет, 2010

© Чирухин В.А., 2010

Предисловие

Учебное пособие предназначено для подготовки дипломированных специалистов по специальности 080506.65 − «Логистика и управление цепями поставок». Этот предмет изучается студентами всех форм обучения в двух семестрах. Теоретической и практической основами дисциплины являются курсы «Математика», «Экономическая теория», «Социология» и др. Приобретенные в этом курсе знания студентами будут непосредственно использоваться при изучении дисциплин «Экономико-математические методы и модели в логистике», «Экономические основы логистики и управления цепями поставок», дисциплин специализации, а также в курсовом и дипломном проектировании.

Материал учебного пособия включает в себя 9 глав основного материала, библиографический список, приложение, глоссарий, предметный указатель и заключение. Основными источниками при составлении учебного пособия являются учебное пособие Е.В. Шикина и А.Г. Чхартишвили «Математические методы и модели в управлении» 2-е изд. и учебник М.С. Красса и Б.П. Чупрынова «Математика в экономике. Математические методы и модели».

Изучение курса начинается с краткого описания типов моделей, используемых в науке, и рассмотрения модели границы производственных возможностей, как одной из простейших моделей. Построение учебного курса по принципу «от простого − к сложному» облегчает студентам освоение материала. В настоящем курсе содержатся главы, назначением которых является облегчить изучение специальных дисциплин.

Основной материал включает в себя следующие разделы, кроме уже упомянутых: графы, сети и их применение в экономике; управление запасами; распределение ресурсов; математические модели в финансовых операциях; иерархии и приоритеты; методы прогнозирования; основы управления рисками в экономике; динамические модели.

Введение

Коротко о типах моделей. Опишем некоторые типы моделей, не пытаясь претендовать на сколько-нибудь полную классифи­кацию существующих моделей. Целью описания типов моделей является лишь ознакомление учащихся с существующим положением вещей.

Физические модели. Физические модели представляют собой уменьшенные или увеличенные копии реальных объектов. Чаще всего создают уменьшенные копии реальных объектов в определенном масштабе, т. е. с соблюдением всех пропорций, например 1:100, 1:35 и т. д.

Наиболее известным примером физической модели является ко­пия конструируемого самолета, выполненная с полным соблюдени­ем пропорций, скажем 1:50. На одном из этапов разработки летательного аппарата новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовлен­ную копию продувают в аэродинамической трубе. Аэродинамические трубы бывают различных размеров, большие, как например в хорошо известном ЦАГИ (Центральный аэрогидродинамический институт), и небольшие, имеющиеся например в университетах. Постройка большой аэродинамической трубы весьма дорогое удовольствие, да и эксплуатация ее обходится весьма дорого. Достаточно представить себе затраты электроэнергии на работу ее вентиляторов, создающих поток воздуха. Зато в нее можно поместить целиком летательный аппарат в натуральную величину. Небольшие аэродинамические трубы значительно дешевле в постройке и эксплуатации, а это означает, что их можно строить в довольно больших количествах. Испытания модели, выполненной в определенном масштабе, дают возможность наблюдать обтекание этой модели воздушными потоками визуально и измерять силы, действующие на модель. Поскольку масштаб модели всегда известен, то, используя законы аэродинамики, можно описать поведение реального объекта в таких же условиях. Таким образом, на моделях отрабатываются основные черты будущего изделия. И лишь на заключительных этапах испытания проводятся в большой аэродинамической трубе на объекте реальных размеров, чтобы, как говорят, поставить последние штрихи. Выгодность та­кого подхода совершенно очевидна. И потому все ведущие самолето­строительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата. Говоря о летательных аппаратах, можно подразумевать и самолеты, и ракеты, и вертолеты и т. п.

Часто в аэродинамическую трубу помещают уменьшенные копии многоэтажных зданий, имитируя при этом ветровое воздействие на здание, характерное для той местности, где предполагается строительство.

Используют физические модели и кораблестроители. Соответственно для этого строится испытательный бассейн, в котором испытывают уменьшенные копии судов и изучают параметры взаимодействия изделия с окружающей средой в движении.

Аналоговые модели. Аналоговыми моделями называют модели, которые ведут себя как реальный объект, но не похожи на него.

Вот два характерных примера аналоговых моделей.

Пример 1.1 График, иллюстрирующий соотношения между за­траченными усилиями и результатами, является аналоговой моде­лью. График на рис. 1.1 показывает, как количество времени, отведен­ное студентом на подготовку к экзамену, влияет на его результат.

Рис. 1.1

Пример 1.2 Предположим, что нужно найти наиболее экономич­ный способ для регулярных известных поставок товаров в три го­рода, построив для этого только один склад. Основное требование: место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что транспортная работа при перевозке равна произведению расстояния от склада до пункта на­значения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонно-километрах).

Рис. 1.2

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахо­ждения каждого населенного пункта подвесим грузики, пропорциональные ­ запро­сам товаров в этот пункт (рис. 1.2). Найдем точку центра тяжести этой конструкции, т. е. точку, продев нитку через которую и подвесив систему, последняя будет находиться в равновесии. Эта точка и определит то место, где при размещении склада транспортная работа при распределении товаров будет минимальна.

Замечание. Может оказаться, что найденная таким образом точка окажется на местности, где нет дорог, или даже строительство дорог там нецелесообразно или невозможно (например, точка попала на место болота и строительство дорог и склада окажется дороже потерь от неоптимального выбора места расположения склада). Если строительство дорог возможно, то этот метод не учитывает стоимость дорог, которые придется построить заново.

Математические модели. Так называют модели, в которых для описания свойств и харак­теристик объекта или события используются математические символы и методы. Если некоторую проблему удается сформулировать на языке формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, кото­рые нельзя отменить указом или иным способом. Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от пут условностей.

Как правило, для построения математической модели выбирают характерные черты явления, нечто главное, не рассматривая второстепенные с точки зрения построения модели явления. Можно сказать, что рассматриваемая ситуация упрощается, т. е. математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По существу, любая формула (или совокупность формул) представля­ет собой определенный этап в построении математической модели. Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение) до­вольно легко. Трудно построить модель таким образом, чтобы суметь передать суть изучаемого явления в этой модельной и, следовательно, упрощен­ной форме

Для нахождения приемлемого или оптимального решения зада­чи полезно знать, в чем она состоит. Как ни просто и прозрачно данное утверждение, чересчур многие < ... > игнорируют оче­видное (Р. Шеннон).

Вернемся к задаче, представленной на рис. 1.2. Эту задачу можно сформулировать на языке математики. Если ввести прямоугольную систему координат (на подробных топографических картах сетка прямоугольных координат уже нанесена), то можно каждому населенному пункту на карте местности сопоставить соответствующие координаты X_i и Y_i. Обозначим через Q_i величины запросов товаров в эти населенные пункты. Через X_с и Y_с обозначим координаты предполагаемого положения склада. Формула для нахождения центра тяжести хорошо известна из курса физики и для принятых обозначений в нашем случае для двух координат имеем:

X_с = Y_с =

Можно говорить, что это – математическая модель выбора местоположения распределительного склада.

Итак, говоря о математических моделях, мы рассматриваем модели, в которые входят изменяющиеся во времени величины, уделяя основное внимание простейшим из них. Дело в том, что сами модельные уравнения (модели) строятся на основе простых и зачастую почти очевидных соображений. А вот выявить степень их адекватности описываемым ими обстоятельствам в какой-то мере позволяет анализ предлагаемых уравнений. Более подробные рассуждения о моделях приводятся ниже, в главе 1.4.1.