7.4. Мультипликативная модель. Кау­зальные методы прогнозирования. Качественные ме­тоды прогнозирова­ния

Иногда во временных рядах сезонная вариация представляет собой определенную долю трендового значения, то есть сезонная вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В этом случае используется мультипликативная модель.

Для мультипликативной модели прогнозируемое значение

А = трендовое значение Т сезонная вариация S оценка ошибки.

Как и в предыдущем случае, рассмотрим применение этой модели на примере. В табл. 7.11 приведены объемы продаж в тыс. руб. за 11 кварталов. Дадим прогноз объемов продаж на 12 и 13 кварталы.

Таблица 7.11
Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	76	89	95	144	81	93	106	156	83	98	108

Обработка данных ведется таким же образом, как и в аддитивной модели, до вычисления центрированных скользящих средних (табл. 7.11). Для вычисления оценки сезонной вариации числа второго столбца делим на соответствующие числа четвертого столбца и округляем до трех значащих цифр после запятой. Полученные значения записываем в соответствующие строки пятого столбца.

Таблица 7.11
Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	76
2	89
3	95	101,00	101,63	0,935
4	144	102,25	102,75	1,401
5	81	103,25	104,63	0,774
6	93	106,00	107,50	0,865
7	106	109,00	109,25	0,970
8	156	109,50	110,13	1,417
9	83	110,75	111,00	0,748
10	98	111,25
11	108

В табл. 7.12 проведем осреднение сезонной вариации для соответствующих кварталов в году. Как и в аддитивной модели, запишем оценки сезонной вариации под соответствующим кварталом в году. Для каждого из кварталов в году вычислим среднюю оценку сезонной вариации. Результирующие цифры запишем в строке «средняя». Значения сезонной вариации – это доли. Так как число сезонов в году равно 4, то необходимо, чтобы сумма средних была равна 4. У нас сумма получилась равной 3,994. Скорректируем значения в строке «средняя» так, чтобы сумма была равна 4. Для этого необходимо помножить все значения средних на коэффициент равный 4,000 / 3,994.

	Таблица 7.12
	Номер квартала в году
	1	2	3	4
	–	–	0,935	1,401
	0,774	0,865	0,970	1,417
	0,748				Сумма
Средняя	0,761	0,865	0,953	1,409	3,988
Скорректированная сезонная вариация	0,763	0,868	0,956	1,413	4,000

Полученные в табл. 7.12 оценки показывают, что в 1-м, 2-м и 3-м кварталах объемы продаж снижаются соответственно на 23,7 %, 13,2 % и 4,4 % от соответствующих трендовых значений. В 4-м квартале года объем продаж возрастает на 41,3 % от соответствующего трендового значения.

Исключим сезонную вариацию из фактических данных (табл. 7.13). Числа 2-го столбца делим на числа 3-го столбца, результат округляем до одной цифры после запятой и записываем в 4-й столбец.

Найдем уравнение тренда с помощью Excel. Уравнение тренда имеет вид:

y = 1,4 t + 98.

Таблица 7.13
Номер квартала	Объем продаж	Сезонная вариация	Объем продаж за исключением сезонной вариации
1	76	0,763	99,6
2	89	0,868	102,5
3	95	0,956	99,4
4	144	1,413	101,9
5	81	0,763	106,2
6	93	0,868	107,1
7	106	0,956	110,9
8	156	1,413	110,4
9	83	0,763	108,8
10	98	0,868	112,9
11	108	0,956	113,0
12		1,413
13		0,763

Оценим значения ошибок. Занесем в таблицу трендовые значения, в том числе и для 12 и 13 кварталов. Они нам пригодятся при составлении прогноза.

Таблица 7.14
Номер квартала	Объем продаж	Объем продаж за исключением сезонной вариации	Трендовое значение	Ошибка ∆
1	76	99,6	99,4	0,2	0,2	0,04
2	89	102,5	100,8	1,7	1,7	3,01
3	95	99,5	102,2	-2,7	2,7	7,42
4	144	101,9	103,6	-1,7	1,7	2,85
5	81	106,2	105	1,2	1,2	1,35
6	93	107,1	106,4	0,7	0,7	0,55
7	106	111,0	107,8	3,2	3,2	10,2
8	156	110,4	109,2	1,2	1,2	1,45
9	83	108,8	110,6	-1,8	1,8	3,31
10	98	112,9	112	0,9	0,9	0,81
11	108	113,1	113,4	-0,3	0,3	0,10
12			114,8
13			116,2
Сумма					15,7	31,0

Среднее абсолютное отклонение: 15,8 / 11 = 1,4 Стандартное отклонение получается примерно равным 1,8 или, округляя до одного знака, 2.

Прогнозируемое значение на 12 и 13 кварталы будет соответственно:

(1,4 12 + 98) 1,41 2 = 162,2 2 162 2 (тыс. руб.),

(1,4 13 + 98) 0,76 2 = 88,7 2 89 2 (тыс. руб.).

Приведенные методы далеко не исчерпывают многообразия мето­дов анализа временных рядов, большинство которых опирается не на простой подсчет при помощи калькулятора, но на основательную аналитическую и компьютерную базу. Однако наша цель состоит в том, чтобы дать определенное рабочее представление об этом типе прогнозирования.

Для составления среднесрочных и долгосрочных прогнозов при­меняются каузальные и качественные методы прогнозирования, ко­торые значительно сложнее приведенных выше методов анализа вре­менных рядов.

Каузальные методы прогнозирования. В случае значительных требований к точности прогноза и при нали­чии большого (даже огромного) массива данных используются кау­зальные, или причинно-следственные, модели прогнозов, в которых прогнозируемая величина является функцией большого числа пере­менных. Объемы продаж товара могут зависеть от цены продукта, затрат на рекламу, действий конкурентов, уровня доходов, общей экономической и политической ситуации и множества других независимых переменных. Если известны все эти величины и связи между этими переменными удается описать математически корректно, то точность каузальной модели прогноза может оказаться довольно высокой. Но, как правило, это требует больших объемов данных и существенно больших интеллектуальных, временных и финансовых затрат, чем анализ временных рядов. К тому же расчет каузальных моделей связан с большими объемами вычислений, что возможно лишь при наличии мощной вычислительной техники. Мы ограничимся краткой характеристикой трех каузальных методов прогнозирования (рис. 7.12).

Многомерные регрессионные методы (модели) (multiple regressive models), посредством которых регрессионная зависимость между величинами устанавливается по статистическим данным, являются наиболее распространенными количественными методами прогнозирования.

Простейшее представление о регрессионных моделях дает описанный выше метод проецирования тренда, в котором регрессионная зависимость устанавливается между прогнозируемым показателем и одной переменной — временем. Многомерные модели линейной регрессии можно рассматривать как естественное обобщение этого метода.

Эконометрические методы (модели) (econometric models) дают количественное описание закономерностей и взаимосвязей между экономическими объектами и процессами и разрабатываются для прогнозирования динамики экономики. Типичная эконометрическая модель представляет собой систему из тысяч уравнений, решение которой требует мощных вычислительных средств.

Каузальные методы Многомерные регрессионные модели Компьютерная имитация Эконометрические модели

Рис. 7.12

Компьютерная имитация (computer simulation). С появлением современных вычислительных средств уровень сложности математических моделей, при помощи которых можно делать правильные предсказания о динамике процессов, существенно вырос. Появились модели, способные создавать «иллюзию реальности». Называемые имитационными, эти модели являются как бы промежуточным звеном между реальностью и обычными математическими моделями. Имитационные модели находятся как бы на пределе возможностей вычислительной техники (и системного программирования).

В качестве примера рассмотрим простейшую реализацию имитационного моделирования. Пусть нам известно количество автомобилей, приезжающих на мойку в течение последних 250 часов. Из наблюдений в течение этого времени известна частота появления того или иного количества автомобилей в час. Предположим, что количество автомобилей на мойке в час и частота появления этих количеств автомобилей заданы следующей таблицей:

Число автомобилей в час	Частота
5	30
6	40
7	50
8	60
9	70

В таблице для краткости под заголовком «Частота» подразумевается «Частота наблюдений данного количества автомобилей в час». По частотам наблюдений появления на мойке данного в таблице количества автомобилей можно вычислить вероятности этих событий, а зная вероятности, можно определить кумулятивные вероятности. Заполним вспомогательную таблицу:

Число автомобилей в час	Частота	Вероятность	Кумулятивная вероятность	Случайные числа
5	30	0,12	0,12	00−11
6	40	0,16	0,28	12−27
7	50	0,20	0,48	28−47
8	60	0,24	0,72	48−71
9	70	0,28	1,00	72−99
Сумма	250

Для первой строки вероятность, очевидно, будет 30/250 = 0,12, для второй – 40/250=0,16 и т. д. Кумулятивные вероятности получаются суммированием вероятностей нарастающим итогом. Поясним, каким образом заполняется последний столбец таблицы. Так как у чисел в столбце «кумулятивная вероятность» после запятой меняются два знака, то случайные числа группируем по два. Столбец заполняется сверху вниз. Берем числа после запятой из первой строки четвертого столбца. Это число 12. Поэтому с 12 начнем вторую строку, а числом 12 – 1 = 11 завершим первую строку. Начнем же первую строку с 00. Возьмем числа после запятой второй строки четвертого столбца (28) и начнем с них третью строку последнего столбца, а числом 28 – 1 =27 завершим вторую строку этого же столбца. Подобным образом заполняются оставшиеся строки пятого столбца.

Пользуются полученной таблицей следующим образом. Пусть мы моделируем количество появляющихся на мойке автомобилей в течение десяти часов. Построим еще одну таблицу.

Час	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Случайное число	25	18	18	36	59	07	75	63	52	98
Прибыло автомобилей	6	6	6	7	8	5	9	8	8	9

Во второй строке записаны случайные числа, полученные с помощью функции СЛЧИС мастера формул f_x пакета Excel. Эта функция возвращает случайное число: f_x → математические → СЛЧИС → ОК. У этой функции нет аргумента. После нажатия ОК появляется десятичная дробь из интервала (0,1). Берем нужное число знаков после запятой. После нажатия клавиши F9 десятичная дробь в ячейке меняется. Берем первое число 25. По второй таблице это число попадает в промежуток 12−27 и ей соответствует число автомобилей, появляющихся на мойке в течение часа – 6. Число 18 попадает в тот же интервал 12−27, что соответствует 6 машинам в час и т. д. Таким образом с помощью случайных чисел по имеющимся наблюдениям (в первой таблице) строится модель появления количества автомобилей на мойке (в третьей таблице).

Замечание. Всегда существуют процессы настолько сложные, что они не поддаются изучению математическими методами. Это не означает, однако, что они непознаваемы. Просто их рассматривают гуманитарными методами и средствами искусства — столь же необходимыми методами изучения реальности, как и математические методы. А подвижная граница между гуманитарными и математическими методами изучения (в том числе и прогнозирования) реальности проходит как раз по имитационным моделям в том понимании этого термина, о котором идет речь здесь.

Качественные методы прогнозирования. При отсутствии количественных данных, или когда количественно модель получается слишком дорогой, используются качественные методы прогнозирования (рис. 7.13), которые строятся на основе разного рода экспертных оценок.

Дельфийский метод (Delphi method), или метод экспертных оценок. представляет собой процедуру, позволяющую приходить к согласию группе экспертов из самых разных, но взаимосвязанных областей. Работа над составлением прогноза этим методом организу­ется так: каждому эксперту независимо рассылается вопросник по поводу рассматриваемой проблемы, ответы экспертов и их мнения кладутся в основу подготовки следующего вопросника, вновь рассы­лаемого экспертам, и так далее до тех пор, пока эксперты не прихо­дят к согласию (при условии запрета на открытые дискуссии между экспертами). Обычно эта рассылка повторяется 3-4 раза.

Качественные методы Изучение рынка Дельфийский метод Метод консенсуса Мнение сбытовиков Историческая аналогия

Рис. 7.13

Изучение рынка (market research), или модель ожидания потре­бителя. Прогноз строится на основании разнообразных опросов по­требителей и последующей статистической обработки.

Метод консенсуса (panel consensus), или мнение жюри, заключа­ется в соединении и усреднении мнений группы экспертов в процессе "мозгового штурма".

Совокупное мнение сбытовиков (grass-roots forecasting). Метод опирается на мнение непосредственно контактирующих с потребите­лем торговых агентов.

Историческая аналогия (historical analogy) обычно используется в тех случаях, когда нужно дать прогноз продажи товара, по сво­им характеристикам близкого к выпущенному ранее (например, его модификации).

Сравнительные характеристики этих пяти методов приведены на рис. 7.14

1 2 3 d m p g h a	2 4 6 8 10 d m p g h b
Рис. 7.14

Обозначения:

d — Delphi method, m — market research, p — panel consensus, g — grass-roots forecasting, h — historical analogy; пл. — плохая, ср. — средняя, х. — хорошая, от. — отличная. пр. — превосходная.

На рис. 7.14 а указано среднее время (в ме­сяцах), требуемое для составления прогноза. На рис. 7.14 b приведена средняя цена (в тыс. долл.) составления прогноза.

Вопросы для самопроверки

1. Объемы продаж организации в течение недели приведены в таблице.

t	1	2	3	4	5	6	7
xX	38	42	41	35	37	39	44

Дать прогноз объема продаж методом простой скользящей средней, методом взвешенной скользящей средней, методом экспоненциального сглаживания и методом проектирования тренда. Принять весовые коэффициенты для сегодняшних, вчерашних и позавчерашних данных соответственно 56,33 и 11. Коэффициент сглаживания принять равным 0,22. Принять значение прогноза на предыдущее воскресенье равным 40.

Ответ: 40,39,38,37,40; 41,38,37,38,42; 40,37,42,42,35,37,38,54; x=0,29t + 38.

2. Дан числовой ряд, отражающий некоторый процесс:

х	0	5	10	15	20	25	30
у	37	15	39	110	242	420	650

Построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую кривую второго порядка.

Ответ: y = 38,7−10,4x+x²

3. В таблице приведены объемы продаж в тыс. руб. за 11 кварталов.

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	52	74	54	67	88	63	82	103	75	115	134

Построить прогноз на 12 и 13 кварталы с помощью аддитивной модели прогнозирования с учетом сезонности.

Ответ: 131±15; 127±15.

4. Используя наблюдения за последние 250 часов о количестве появляющихся в течение часа автомобилей на мойке и о частоте этих появлений и, пользуясь рядом случайных чисел: 80,32,26,69,78,31,64,54,74,08 – смоделировать прибытие автомашин в течение десяти часов. Результаты наблюдений приведены в таблице.

Число автомобилей в час	Частота
4	20
5	40
6	60
7	60
8	70