- •Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях
- •Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Модель границы производственных возможностей
- •Возможности и потребности. Модели и реальность
- •1.2. Альтернативная стоимость. Издержки и выбор
- •1.3. Экономический рост и эффективность
- •Графы, сети и их применение в экономике
- •Основные определения и характеристики графов. Плоские графы
- •2.2. Ориентированные графы. Построение минимального остовного дерева сети
- •2.3. Задача нахождения кратчайшего пути. Дерево решений
- •2.4. Сетевые графики
- •3. Управление запасами
- •3.1. Вводные замечания и основная модель
- •3.2. Модель производственных поставок. Модель поставок со скидкой
- •3.3. Модель управления запасами, включающая штрафы
- •3.4. Обобщенная модель определения оптимального размера партии
- •4. Распределение ресурсов
- •4.1. Постановка задачи распределения ресурсов. Механизм прямых приоритетов
- •4.2. Механизм обратных приоритетов. Конкурсный механизм
- •4.3. Механизм открытого управления
- •4.4. Открытое управление и экспертный опрос
- •5. Математические модели в финансовых операциях
- •5.1. Простые проценты. Сложные проценты
- •5.2 Начисление процентов в условиях инфляции.
- •5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство
- •5.4. Балансовое уравнение
- •Иерархии и приоритеты
- •6.1. Приоритеты. Измерения и согласованность. Идеальные измерения
- •6.2. Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
- •6.3. Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
- •6.4. Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии
- •7. Методы прогнозирования
- •7.1. Анализ временных рядов. Метод подвижного (скользящего) среднего.
- •7.2. Метод проецирования тренда
- •7.3. Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель
- •7.4. Мультипликативная модель. Каузальные методы прогнозирования. Качественные методы прогнозирования
- •8. Основы управления рисками в экономике
- •8.1. Риски в экономике. Оптимизация портфелей банка
- •8.2. Диверсификация портфеля
- •8.3. Достижимое и эффективное множества
- •8.4. Выбор оптимального портфеля
- •9. Динамические модели
- •9.1. Модель народонаселения
- •9.2. Модель мобилизации
- •9.3. Модель гонки вооружений
- •9.4. Модель хищник – жертва
- •Глоссарий
- •Библиографический список
- •Порядковые номера дней в невисокосном году
- •Порядковые номера дней в високосном году
- •Предметный указатель
- •Оглавление
4.2. Механизм обратных приоритетов. Конкурсный механизм
Механизм обратных приоритетов основывается на предположении, что, чем меньше требуется Потребителю ресурса, тем выше эффективность его использования. В соответствии с этим распределение ресурса осуществляется по правилу
xi= min , i=1,2,…,n, (4.3)
где число γ определяется, как и в механизме прямых приоритетов, из условия
.
xi
|
Рис. 4.2 |
Из (4.3) видно, что, подавая очень малую либо очень большую заявку si , Потребитель получает малый ресурс xi.
Найдем, какую же заявку si должен подавать i-й Потребитель, чтобы получить максимальный ресурс хi (в условиях дефицита такая цель Потребителя представляется вполне понятной). Для выяснения этого вопроса построим зависимость хi = xi(si). На рис. 4.2 изображен график этой функции. Для начала построим зависимости хi = si и хi = Первая из них представляет собой прямую, вторая – гиперболу. Условию (4.3) удовлетворяет часть прямой, расположенная ниже гиперболы, и часть гиперболы, расположенная ниже прямой. На графике эти части выделены жирной чертой. Из графика видно, что максимум достигается в точке si*, являющейся решением уравнения
= .
Из последнего равенства получаем:
si* = .
Таким образом, равновесным является набор стратегий Потребителей
s1* = , s2* = ,…, sn* = ,
при этом
x1= s1*, x2= s2*,…, xn= sn*.
Выбирая вместо s* любую другую стратегию si, i-й Потребитель лишь уменьшает выделяемый ему ресурс хi. Осталось вычислить константу γ. Имеем:
R = = = = ,
откуда
= R / .
Замечание. Еще раз подчеркнем, что набор стратегий si* (i = 1,2,..., n) является равновесным, т. е., подавая любую заявку si si*, i-й Потребитель лишь уменьшает выделяемый ему ресурс xi.
Пример 4.2. Пусть имеется шесть Потребителей, приоритеты которых определяются числами 7, 8, 12, 5, 9, 11. Ресурс Центра составляет 67. Определить равновесные стратегии (заявки) Потребителей, если ресурс распределяется в соответствии с механизмом обратных приоритетов.
Решение. Имеем:
A1 = 7, A2 = 8, A3 = 12, A4 = 5, A5 = 9; A6 = 11; R = 68.
Вычислим константу γ:
= 68 / ( + + + + ) 3,88.
Определять γ необязательно, поскольку в формулы для si* можно подставить сразу :
s1*= 3,89 10,3;
s2*= 3,89 11,0;
s3*= 3,89 13,5;
s4*= 3,89 8,7;
s5*= 3,89 11,7;
s6*= 3,89 12,8.
Ответ: s1*= 10,3; s2*= 11,0; s3*= 13,5; s4*= 8,7; s5*= 11,7; s5*= 12,9.
Замечание 1. Из-за ошибок округления сумма заявок немного отличается от R = 68 (сумма равна 68,1).
Замечание 2. На самом деле мы рассмотрели случай, когда si* < ri для всех i, т. е. когда каждый из Потребителей вынужден, подавая заявку, занижать свою реальную потребность. Может быть и так, что для некоторых Потребителей si* ri . Тогда эти Потребители подают заявку на ресурс si* = ri и столько же получают.
Механизм обратных приоритетов обладает рядом достоинств. В частности, не происходит неоправданного завышения заявок, т. е. не возникает ситуации si > ri. Кроме того, при условии разумного поведения Потребителей (т. е. при использовании каждым из них равновесной стратегии si*) они получают столько, сколько просят.
Недостатком является то, что числа si* скорее всего оказываются меньше реальных потребностей ri. Вследствие этого Центр не получает достоверной информации о реальном дефиците
− R.
Конкурсный механизм. Конкурсный механизм применяется в тех случаях, когда нецелесообразно снизить количество заявок, поскольку Потребителям ресурс нужен на реализацию каких-либо конкретных проектов, на которые меньшего ресурса не хватит. Примером может служить конкурс грантов на проведение научных исследований, конкурс на проведение строительных или реставрационных работ и т. д. В этих условиях Центр проводит конкурс заявок. Те, кто побеждают в конкурсе, получают требуемый ресурс полностью, а проигравшие не получают ничего.
Реализация этого происходит следующим образом. Потребители сообщают Центру свои заявки si, а также величины wi, характеризующие эффект, который они намереваются получить. На основании этих данных Центр вычисляет для каждого Потребителя показатель эффективности:
ei = wi / si , i=1,2,…,n.
После этого ресурс распределяется следующим образом. Сначала рассматривается Потребитель с наибольшей эффективностью. Ему выделяется столько, сколько он просит (если у Центра хватает ресурса). Затем берется второй по эффективности и т. д. В какой-то момент оказывается, что на удовлетворение очередной заявки оставшегося у Центра ресурса не хватает. Тогда этот потребитель, равно как и все оставшиеся, ничего не получает.
Пример 4.3. Пусть имеется семь Потребителей, подавших заявки в размере 10, 12, 17, 21, 9,13, 22 и сообщивших Центру соответственно следующие показатели эффекта: 35, 29, 38, 40, 25, 22, 36. Каким должно быть распределение ресурса объемом 76 в соответствии с конкурсным механизмом?
Решение. По условию имеем
S1 = 10, s2 = 12, s3 = 17, s4 = 21, 55 = 9, s6 = 13, s7 = 22;
w1 = 35, w2 = 29, w3 = 38, w4 = 40, w5 = 25, w6 = 22, w7 = 36.
Вычислим показатели эффективности для каждого Потребителя:
e1 = 35 / 10 = 3,5; e5 = 25 / 9 = 2,78;
e2 = 29 / 12 2,42; e6 = 22 / 13 1,69;
e3 = 38 / 17 = 2,24; e7 = 36 / 22 1,64.
e4 = 40 / 21 = 1,9;
Расположим эти числа в порядке убывания:
е1 >е5 >е2 >е3> е4 > е6> е7.
Распределение ресурса начинаем с 1-го Потребителя:
х1 = 9.
Ресурса осталось 76 — 10 = 66. Дальше в порядке убывания показателей эффективности следует 5-й Потребитель:
х5 = 8.
Ресурса осталось 66 — 9 = 57. Далее:
x2 = 12.
Ресурса осталось 57 — 12 = 45. Далее,
x3 = 17.
Ресурса осталось 45 — 17 = 27. Далее,
x4 = 21.
Ресурса осталось 28 — 21 = 7. Далее, следующему, 6-му Потребителю требуется 13 единиц ресурса, а у Центра осталось лишь 7. Поэтому 6-й, а также 7-й Потребители ничего не получают:
x6 = x7 =0.
Ответ: х1 = 10, х2 = 12, х3 = 17, х4 = 21, х5 = 9, х6 = 0, х7 = 0.
Замечание. В эффективности описанного механизма могут возникнуть сомнения. Ведь Потребители могут пообещать большой эффект, получить ресурс, а затем не выполнить обещание. Поэтому при реальном применении конкурсного механизма необходима действенная система контроля, например поэтапный контроль для проектов с длительным временем реализации. На практике так всегда и поступают.