6. Иерархии и приоритеты

Каждый день люди вольно или невольно принимают множество разнообразных решений. Так происходит, вероятно, с того самого момента, когда человек начал мыслить. Те или иные решения мы принимаем на основе своего предшествующего опыта и на основе аналогичного чужого опыта. То, какие решения мы примем, зависит от наших суждений о конкретных условиях и обстоятельствах, в которых мы живем, и зачастую – от суждений других людей. В зависимости от степени важности принимаемого решения приходится осмысливать большее или меньшее количество информации – причин и их последствий, близких и отдаленных. Ситуация может осложняться тем обстоятельством, что некоторые причины могут взаимно влиять друг на друга, усиливая или ослабляя влияние на исход принятого решения. По этой причине мы часто затрудняемся с ответом, что имеет первоочередной приоритет для нас в той или иной ситуации, что менее важно, и как на основании информации, порой кажущейся противоречивой, строить наши планы на будущее. Решения должны приниматься в какие-то разумные временные сроки. Слишком поспешное решение может оказаться ошибочным со всеми вытекающими из этого последствиями. Затягивание с принятием решения может означать упущенную возможность. Значительно упростить выбор того или иного решения и добиться большей точности в предвидении конечного результата можно, если формализовать математически процесс принятия решения. Для этого надо научиться измерять, т. е. сравнивать между собой степени влияния на результат отдельных причин и их совокупностей. С этой целью вводят шкалы, позволяющие производить такого рода сравнения. Наши способности оценивать влияние факторов не безграничны. Может оказаться так, что для решения задачи факторы целесообразно разделить на несколько уровней в зависимости от степени их влияния на результат. Тогда говорят, что структура решения представлена иерархией, включающей цель, критерии, участников процесса с их целями, субъекты, на которые влияют принимаемые решения, варианты решения.

6.1. Приоритеты. Измерения и согла­сованность. Идеаль­ные измерения

Измерения и согласованность. Предположим, что имеется некоторое семейство предметов (напри­мер, камней)

S₁, … , S_n,

каждый из которых легок настолько, что его нетрудно удержать в руке, и требуется оценить их относительные веса в отсутствие взве­шивающего прибора. Считается, что существует два вида сравнений: абсолютные и относительные.

Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый маленький, а значит и самый легкий (при условии, что камни состоят из одного и того же минерала), срав­нить таким образом все предметы и, разделив затем найденный вес каждого S_i на сумму весов всех n предметов, получить его относи­тельный вес.

Это потребует (n 1) сравнений.

Второй способ состоит в сравнении весов всевозможных пар пред­метов: сначала мы сравниваем вес предмета S₁ с весами предметов S₂, …, S_n, затем вес предмета S₂ с весами предметов S₃, …, S_n и т. д. до тех пор, пока у нас не сформируется суждение об относительном весе (отношении весов) для каждой пары предметов.

В этом случае общее число необходимых сравнений оказывается равным

n (n 1) / 2.

При этом каждый предмет методично сравнивается со всеми осталь­ными.

Конечно, второй способ требует большего времени, чем первый, но оказывается более информативным.

Любые измерения производятся с некоторыми ошибками. Источниками ошибок могут быть как сами приборы, с помощью которых производятся измерения, так и люди, работающие с этими приборами. Простейшим прибором является обычная линейка с ценой деления 1 мм. Невозможно идеально точно разделить линейку на множество одинаковых отрезков, это на глаз они представляются совершенно одинаковыми. В свою очередь каждый штрих деления на линейке имеет свои собственные малые, но конечные размеры. Два человека, производя измерения размеров одних и тех же предметов одной и той же линейкой, скорее всего получат несколько разные результаты. В таких случаях говорят, что измерения произведены с погрешностью. Можно с уверенностью сказать, что измерений без погрешностей не бывает. Разнятся лишь величины погрешностей, которые в основном зависят от совершенства измерительного прибора. Серьезным следствием наличия погрешностей в измерениях является то обстоятельство, что они могут привести к несогласованным выводам.

Приведем совсем простой пример ошибочного сравнения: предмет А в 1,5 раза тяжелее предмета В, который в свою очередь в 1,5 раза тяжелее предмета С, последний же по весу почти не отличается от предмета А.

Согласованность измерений является весьма важной их характе­ристикой. Согласованность подразумевает при сравнении предметов по весу не просто результат типа:

если A тяжелее В, и В тяжелее С, то А тяжелее С,

а точный количественно результат:

если A − в 1,5 раза тяжелее В, а В − в 2 раза тяжелее С, то А − в 1,5 2 = 3 раза тяжелее С.

Замечание 6.1. Чем лучше человек знаком с предметом своих суждений, тем более он в них последователен. Обратное не всегда верно — отличная согласованность в суждениях вовсе не означает, что человек хорошо разбирается в ситуации.

Замечание 6.2. Парные сравнения позволяют повысить согласован­ность оценок.

С проблемами сравнения можно столкнуться очень часто как при измерении фи­зических величин, при сравнении принимаемых решений, так и при оценке совершенных поступков.

Для того, чтобы получить приемлемые результаты при сравнениях необходимо:

1. подобрать подходящую численную шкалу сравнений;

2. иметь критерий степени несогласованности наших суждений.

Обсудим сначала вопрос, каким образом можно формализовать процесс оценки согласованности наших суждений, а затем поговорим о выборе шкалы для сравнения тех или иных величин.

Идеальные измерения. Пусть нам предложено сравнить веса камешков

S₁, … , S_n.

Предположим идеальную ситуацию, допустив, что мы знаем их идеально точные веса. Обозначим эти веса как

w₁,…,w_n

соответственно. Отношение

a_ik = w_i / w_k , i ,k = 1,…,n (6.1)

показывает, во сколько раз вес i–го камешка S_i больше веса k-го камешка S_k.

Например, если w₁ = 400 г и w₂ = 200 г, то отношение

a₁₂ = w₁ / w₂ = 400 / 200 = 2

говорит о том, что камешек S₁ в 2 раза тяжелее камешка S₂.

Запишем соотношения (6.1) в виде квадратной матрицы n × n и назовем эту матрицу идеальной матрицей сравнений.

		w1/ w1	w1 / w2	…	w1/ wn	.
А=		w2/ w1	w2 / w2	…	w2 / wn
		…	…	…	…
		wn/ w1	wn / w2		wn / wn

Проанализируем некоторые свойства этой матрицы.

1. Для любого i справедливо равенство а_ii = 1 (элемент матрицы А, расположенный на пересечении i-й строки и i-гo столбца, равен единице).

В самом деле,

a_ii = w_i / w_i = 1.

2. Для любых i и k справедливо равенство a _ki = 1 / a _ik (произведение элемента матрицы А, расположенного на пересечении i-й строки и k-го столбца, на элемент матрицы А, расположенный на пересечении k-й строки и i-го столбца, равно единице). В самом деле, из того, что

a _ki = w_k / w _i и a _ik = w _i / w _k ,

следует равенство

a _ki a _ik = (w_k / w _i )(w _i / w _k) = 1.

3. Для любых i, k и m справедливо равенство a_ik a_km = a_im (про­изведение элемента матрицы А, расположенного в i-й строке и k-м столбце, на элемент матрицы А, расположенный в k-й строке и m-м столбце, равно элементу матрицы А, расположенному в i-й строке и m-м столбце).

В самом деле,

a _ik a _km = (w_i / w _k )(w _k / w _m) = w_i / w _m = a_im.

4. Столбец

		w1
W =		…
		wn

является собственным столбцом матрицы А с собственным значением λ = n.

В самом деле,

w1/w1

w1/w2

…

w1/wn

w1

nw1

w1

A W =

w2/w1

w2/w2

…

w1/wn

w2

=

nw2

= n

w2

= nw.

…

…

…

…

…

…

…

wn/w1

wn/w2

…

wn/wn

wn

nwn

wn