3.3. Модель управления запасами, включающая штрафы
Рассмотрим несколько усложненную основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и допускающую существование штрафов за несвоевременную поставку. График изменения запасов представлен на рис. 3.5.
k q A B
C период дефицита Q Интенсивность спроса d τ O |
Рис. 3.5 |
Пусть предприятие должно поставить q ед. товара в течение каждого промежутка времени продолжительностью L, за единицу времени поставляется d ед. товара (q = L × d).
Предположим, что в начале каждого периода τ предприятие делает запас, равный k. Это означает, что в течение периода будет наблюдаться дефицит товара, и некоторое время поставки не будут осуществляться. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q−k и будут удовлетворены, как только поступит следующая партия товара в количестве q.
За то, что предприятие доставляет товар позже необходимого срока, на него налагается штраф, который зависит от того, на какой срок была задержана поставка, и величины недопоставки. Такая модель целесообразна, поскольку иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать дополнительные средства на хранение запасов, превышающих величину k.
Задача управления запасами состоит в том, чтобы выбрать такое значение k, которое ведет к минимизации всех затрат, включая затраты на хранение и штрафы. Для определения оптимального значения k введем обозначения:
h — издержки хранения единицы товара за единицу времени;
b — затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.
Найдем издержки одного цикла: С = С1 + С2 + С3, где С1 — общие издержки содержания запасов; С2 — общие затраты на штраф, С3 − издержки организации заказа.
Так как товар находится на складе в течение периода ОА (см. рис. 3.5), средний уровень запасов за этот период равен k/2. Если продолжительность периода ОА равна k/d, то
С1
=
·
=
.
(3.8)
Поскольку штраф выплачивается в течение периода АВ = (q − k) / d, то общее число «товаро − дней», на которые налагается штраф, равно площади треугольника ABC. Площадь составляет:
,
откуда
С2
=
.
(3.9)
Окончательно получаем:
С = + + s. (3.10)
Средние
за цикл затраты на организацию заказа
партии, хранение и потери от дефицита
получим делением (3.10) на период τ =
:
H
=
+
+
. (3.11)
Возьмем частные производные по q и по k от (3.11) и, приравняв их нулю, получим систему уравнений для определения оптимальных значений q* и k*:
= −
+
−
=
0
=
+
−
= 0 . ( 3.12)
Из первого уравнения нетрудно получить, приводя к общему знаменателю:
+
=
−
,
или
,
(3.13)
а из второго −
k
=
.
(3.14)
Подставляя (3.14) в (3.13), получаем:
=
,
или:
.
Из последнего выражения нетрудно получить q*:
q*
=
(3.15)
Подставив (3.15) в (3.14) имеем:
k*
=
. (3.16)
Из (3.15) нетрудно рассчитать τ*:
τ* =
=
. (3.17)