5.4. Балансовое уравнение

Метод дисконтирования можно использовать для оценки экономической эффективности вариантов капитальных вложений.

Пусть y_k − известные нам доходы предприятия за k−й год (отрицательное значение у_k трактуется как капитальное вложение) в проекте, рассчитанном на n лет.

Используем равенство (5.65)

y₀ + q⁻¹ y₁ + …+ q⁻ⁿ y_n = 0, q = 1 + i, (5.66)

считая на этот раз, что величины y_0, y_1,..., у_n известны, а величина q (а значит, и р) подлежит определению.

Соотношение (5.66) при этих условиях называется балансовым уравнением.

Индексом прибыльности, или внутренней нормой процента i по капвложениям, называется ставка дисконта, при которой сумма всех дисконтированных капитальных затрат и дисконтированных дохо­дов равна нулю.

Обозначение: P.I. (сокращение от profitability index).

Тем самым, находя значение q = q^*, удовлетворяющее уравнению (5.66), мы определяем индекс прибыльности.

Обычная рыночная процентная ставка составляет примерно 8 %.

Вложение считается выгодным, если

P.I. ≥ 15 %.

Итак, пусть y_0, y_1,..., у_n − обсуждаемый вариант капитальных затрат и ожидаемых доходов. Для того чтобы найти P.I., составляем балансовое уравнение

y₀ + q⁻¹ y₁ + …+ q⁻ⁿ y_n = 0.

Пусть q = q^* — его решение. Тогда

P.I. = 100 (q^* − 1) %.

Пример 5.27. Обсуждаемый вариант капитальных затрат и ожидаемых доходов следующий:

y ₀ = − 5, y ₁ = − 9, у₂ = − 10, у₃ = − 5, у₄ = 0, у₅ = 5,

у₆ = 10, y ₇ = 14, у₈ = 17, у₉ = 12, у₁₀ = 5,5.

Уравнение баланса имеет вид:

− 5 – 9r – 10r² – 5r³ + 5r⁵ + 10r⁶ + 14r⁷ + 17r⁸ + 12r⁹ + 5,5r¹⁰ = 0,

где r = q ⁻¹ = (1 + 0,01 p)⁻¹ .

Решая уравнение относительно r, имеем:

r^* = 0,878 и q^* = 1 / r^* = 1,139.

Тем самым P.I. = 13,9 %.

Замечание. Решение уравнения относительно r в аналитическом виде затруднительно. Для решения можно использовать любой метод приближенного решения уравнений, например метод Ньютона. Формула для получения каждого последующего приближения решения уравнения имеет следующий вид:

x_n+1 = x_n – f (x_n) / f ′(x_n),

где x_n+1 – n+1-е приближение решения уравнения, x_n – n-е приближение решения уравнения, f (x_n) − значение функции при подстановке x_n, f ′(x_n) − значение первой производной функции при подстановке x_n. Вычисления удобно вести в таблицах Microsoft Excel.

Вопросы для самопроверки

1. Определить сумму процентов и накопленного долга, если ссуда 250 тыс. руб. взята на полгода при ставке простых процентов, равной 14 % годовых.

Ответ: Сумма процентов составляет 17,5 тыс. руб., сумма накопленного долга – 267,5 тыс. руб.

2. Найти точное и приближенное число дней между 10 февраля и 23 октября.

3. Ссуда в размере 5000 руб. положена в банк под 12 % годовых с 9 марта по 20 октября следующего года (год не високосный). Определить тремя способами наращенную сумму. Какой вариант наращения выгоден банку, а какой – вкладчику?

4. В договоре, рассчитанном на год, ставка простых процентов на 1 квартал установлена в размере 10 % годовых, а на каждый из последующих кварталов – на 0,5 % больше, чем в предыдущем. Определить множитель наращения К_нар за весь срок договора.

5. На сумму 150 тыс. руб. начисляются 15 % годовых. Проценты простые, точные (год не високосный). Определить наращенную сумму в двух случаях: если реинвестирование производится за 2 квартал ежемесячно и если реинвестирование не проводится.

6. Заемщик получил от банка кредит на 10 месяцев под 15 % простых годовых процентов с условием вернуть 450 тыс. руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

7. Владелец векселя на сумму 100 тыс. руб. со сроком уплаты 30 декабря учел его в банке 29 сентября по учетной ставке 9 % годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, приняв K = 360 дней.

8. Платежное обязательство уплатить через 90 дней 300 тыс. руб. с процентами, начисленными по ставке простых процентов p = 14 % годовых, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 10 % . Определить сумму, получаемую при учете.

Ответ. Владелец платежного обязательства получит при учете 308,195 тыс. руб.

9. Определить доходность операции для кредитора, если он предоставил ссуду в размере 350 тыс. руб. на 90 дней и контрактом предусмотрена сумма погашения долга, равная 375 тыс. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу K принять равной 360 дням.

Ответ: доходность операции, выраженная в виде простой ставки, составляет 28 %, а виде простой учетной ставки – 26,7 %.

10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 12 % годовых, плюс переменная маржа: 8 % в первые два года, 9 % в третий год и 10 % в четвертый год. Определить величину множителя наращения за четыре года.

Ответ: множитель наращения за четыре года составляет 2,126.

11. Рассчитать за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5 % процентам годовых. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Сравнить результаты.

12. Банк предоставляет ссуду в размере 175 тыс. руб. на 20 месяцев под 25 % сложных годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть заемщику банку по истечении срока ссуды? Расчет провести тремя способами.

13. В банк вложены деньги в сумме 7 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением сложных процентов по ставке 22 % годовых. Определить наращенную сумму и сравнить ее со случаем, когда проценты начисляются ежеквартально.

Ответ: наращенная сумма при полугодовом начислении процентов составит к концу второго года 10,626 тыс. руб., а при ежеквартальном начислении – 10,743 тыс. руб.

14. Ссуда в размере 30 тыс. руб. предоставлена на 32 месяца. Номинальная ставка равна 40 % сложных процентов годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех случаях:

• на дробную часть начисляются сложные проценты;

• на дробную часть начисляются простые проценты;

• дробная часть не учитывается.

Ответ: наращенная сумма в заданных трех случаях будет 82,917 тыс. руб. в первом, 83,000 тыс. руб. во втором и 77,812 тыс. руб. в третьем случае.

15. Предприниматель может получить ссуду на условиях:

• ежемесячного начисления процентов из расчета 25 % годовых;

• ежеквартального начисления процентов из расчета 26 % годовых.

Какой вариант предпочтителен для предпринимателя?

Ответ: эффективная годовая ставка при ежемесячном начислении процентов равна 28,07 %, а при ежеквартальном начислении – 28,65 %. Первый вариант выгоднее.

16. Определить какой должна быть номинальная ставка при полугодовом начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 15 % годовых.

Чтобы обеспечить эффективную ставку 15 % годовых, номинальная ставка при полугодовом начислении процентов должна быть 14,5 %.

17. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов (m = 1,2,3,4,6,12,365), если номинальная ставка составляет 7 %.

Ответ привести в виде таблицы:

m	1	2	3	4	6	12	365
iэ

18. Какую суму следует проставить в векселе, если выданная сумма равна 250 тыс. руб., срок погашения – 3 года. Вексель рассчитывается исходя из сложной годовой учетной ставки 14 %.

Ответ: в векселе следует проставить суму, равную 393,047 тыс. руб.

19. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке производится поквартально.

Ответ: если наращение по сложной учетной ставке производится поквартально, то в векселе следует проставить сумму 383,365 тыс. руб.

20. На первоначальную сумму долга 15 тыс. руб. непрерывно начисляются проценты с силой роста 5,5 % в течение 15 лет. Определить наращенную сумму.

Ответ: наращенная сумма составит 34,228 тыс. руб.

21. Годовая ставка сложных процентов равна 18 %. Чему равна эквивалентная сила роста?

Ответ: 16,55 %.

22. Предполагается, что темп инфляции составит 25 % в год. Какую ставку сложных процентов следует проставить в договоре, чтобы реальная доходность составляла 15 %. Чему равна инфляционная премия?

Ответ: в договоре следует проставить ставку сложных процентов, равную 44 %, инфляционная премия составит 29 %.

23. Пусть кредит в размере 750 тыс. руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 15 % годовых по сложной ставке процентов. Ожидается уровень инфляции 6 % в год. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Ответ: множитель наращения, компенсирующий инфляцию, будет равен 1,486, а наращенная сумма − 1114,471 тыс. руб.

24. Предположим, что две стороны, кредитор и заем­щик, договариваются о плане погашения кредита:

кредит в 12 млн руб. берется на 5 лет при годовой ставке 10 % с условием, что через 2 года в счет погашения кредита будет внесено 5 млн руб., через год — 3 млн руб. и еще через год — 4 млн руб.

Какая сумма должна быть внесена через 5 лет для полного погашения кредита?

Какую сумму надо будет выплатить в счет погашения кредита по схеме погашения, предусматривающей выплату всего долга в конце срока? Какую сумму нужно будет выплачивать ежегодно в счет погашения кредита, если выплачивать долг равными суммами? Как изменятся суммы выплат, если предположить наличие годовой инфляции 5 %?

Ответ: для полного погашения кредита по первой схеме необходимо внести сумму 2 881 770 руб., по второй схеме необходимо внести сумму

19 326 120 руб., по третьей схеме необходимо внести сумму 3 165 570 руб. Суммы при наличии годовой инфляции 5 % будут соответственно: 4 057 235, 24 665 571, 3 622 258 руб.